中考数学（江西卷）-2024年中考数学第三次模考试

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列实数中，绝对值最大的是（ ）
A．B．0C．πD．
【答案】C
【分析】此题考查了实数比较大小，分别求出各数的绝对值，进行比较即可．
【详解】解：∵，，，，
∴绝对值最大的是．
故选：C
2．（ ）
A．7B．C．3D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘方的定义及计算方法是求解的关键．这里先计算出乘方，根据负数的偶数次方为正、奇数次方为负，去括号求解即可.
【详解】解：，
故选：C．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

A．三棱锥B．三棱柱C．圆柱D．圆锥
【答案】D
【分析】根据几何体的三视图分析解答即可．
【详解】解：由几何体的三视图可得该几何体是圆锥，
故选：D．
【点睛】此题考查由三视图判断几何体，关键是熟悉圆锥的三视图．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式计算并判定A；根据积的乘方计算并判定B；根据积的乘方和单项式乘以单项式法则、同底数幂相乘法则、负整指数幂运算法则计算并判定C；根据用平方差公式因式分解计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，单项式乘以单项式法则，积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘、负整指数幂的运算法则，用平方差公式进行因式分解．熟练掌握幂的运算法则，完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向左平移5个单位长度后，得到一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，求出新的解析式，求出新直线与y轴的交点坐标即可．
【详解】解：将直线沿x轴向左平移5个单位长度后，得到一条新的直线，
该直线的解析式为：；
∴当时，，
∴该新直线与y轴的交点坐标是；
故选C
6．抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 ．有下列说法：①；②③(t为任意实数)；④若图象上存在点和点，当 时，满足 ，则的取值范围为．其中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，对应函数值小于0判断②，利用最值判断③，利用对称性判断④即可．
【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为与之间，根据对称性可得另一个交点在和之间，
∴抛物线与y轴交点位于正半轴，
∴，
∴，
故①正确；
由图象可知，，根据对称轴，得，
∴
∴，
故②正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线的最小值为，
当时，其函数值为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③不正确；
∵和点满足，
∴和点关于对称轴对称，
∴,
∵,
∴,
解得，
故④正确；
故选C．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
8．要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
9．2024年3月12日的《政府工作报告》中指出，在过去的一年我国经济总体回升向好，其中2023年城镇新增就业1244万人，请将数字用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故答案为．
10．某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为元/斤，根据题意可列方程为
【答案】
【分析】本题主要考查了列分式方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．
设该种水果打折前的价格为元/斤，根据等量关系“对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤”列出方程即可．
【详解】解：设该种水果打折前的价格为元/斤，
依题意得：．
故答案为：．
11．若两个不同的实数m、n满足，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算即可，理解m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．
【详解】解：由题可得：，，
∴m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根，
∴，
∴，
故答案为：3．
12．如图，在中，已知，，，点P为边上一动点，若为直角三角形，则的长为 ．
【答案】2或4或10
【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．分情况讨论，当时，为直角三角形，由，设，则，利用勾股定理求得，；当时，为直角三角形，作于点，求得，利用正切函数的定义列式求解即可．
【详解】解：当时，为直角三角形，
∵，设，则，
∵，
∴，解得，
∴，；
当时，为直角三角形，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
解得或，经检验或都是方程的解，
∴或，
∴或，此时点与点重合，
综上，的长为2或4或10，
故答案为：2或4或10．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）5；（2）
【分析】本题考查实数混合运算，解不等式组．
（1）先计算负整数指数幂，并把特殊角的三角函数值代入，化简绝对值，再合并即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用确定不等式组解集的原则确定出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解①得：，
解②得：，
∴．
14．如图，点、、、在一条直线上，且，．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法．
（1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再根据，等量交换得，结合已知条件，根据全等三角形判定（边角边），得，即可得；
（2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
即，
在和中，
，
，
．
（2）证明：由（1）得，
，，
，
四边形是平行四边形．
15．如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)在图①中，若，作一个的角；
(2)在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接并延长交于点，连接，则，进而即可得．
（2）延长分别交于D、E,则根据垂径定理得到，连接相交于P点, 根据圆周角定理得到，，则点P为的内角平分线的交点, 所以点P为的内心．
【详解】（1）解：在上找一点D，连接，如图，

则是直径，
∴，
∵，
∴，
∴即为所求；
（2）解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点, 根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心；

【点睛】本题考查了作图—复杂作图，涉及到圆周角的性质，垂径定理等，灵活运用所学知识是关键．
16．“江西风景独好”是江西文旅的宣传标语．小明、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取江西四个景点（．武功山；．鄱阳湖；．滕王阁；．葛仙村）中的一个景点游玩，四支签分别标有，，，．
(1)小明抽一次签，他恰好抽到景区是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，求小明、小红抽到同一景点的概率．
【答案】(1)随机
(2)
【分析】本题考查树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，（1）根据随机事件的定义求解；（2）画出树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小明、小红抽到同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：根据随机事件的定义：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，即可判断，
故答案为：随机；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共16种等可能的结果，其中小明、小红抽到同一景点的结果有4种，
∴小明、小红抽到同一景点的概率为．
17．先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见详解
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号．
（2）解：原式
＝
＝．
∵x是满足条件的非负整数
∴，
∵由于分母不为0，
∴，
∴
∴原式或．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）．
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为：
．
八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：．
绘制了不完整的统计图．
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，上述表中________，________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为___________度；
(2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由；
(3)如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数．
【答案】(1)补图见解析，，，；
(2)七年级学生成绩好，理由见解析；
(3)名．
【分析】（）根据频数分布直方图求出，即可补全频数分布直方图，根据中位数、众数的定义即可求出的值，求出八年级学生成绩在组的人数，用乘以其占比即可求解；
（）根据平均数、中位数、众数判定即可；
（）用乘以七年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比即可求解；
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为：名，
∴补全频数分布直方图如图：
八年级在组的学生有名，
∵八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：，
∴第名和第名学生的竞赛成绩为，
∴，
∵七年级中抽取的名学生的竞赛成绩中分的最多，
∴，
∵八年级学生成绩在组的学生数为名，
∴八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为，
故答案为：，，；
（2）解：七年级学生成绩好．
理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好．
（3）解：，
答：估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数为名．
19．图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点，，，在同一直线上，支杆可绕点活动，是可伸缩横杆．已知，，．
(1)求活动宣传栏板与地面的夹角的度数；
(2)如图3，小明站在活动宣传栏板前的点处看宣传栏时（点，，在同一直线上），若视线垂直宣传栏板于点，此时测得，求小明的眼睛离地面的距离．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1）
【答案】(1)；
(2)小明的眼睛离地面的距离约．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）作交于点，交于点，利用等腰三角形的性质结合余弦函数的定义求解即可；
（2）作交于点，证明四边形为矩形，分别求得和的长，利用解直角三角形的方法求解即可．
【详解】（1）解：作交于点，交于点，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作交于点，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵视线垂直宣传栏板，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：小明的眼睛离地面的距离约．
20．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，，

(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接、，当面积为12时，求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为：，一次函数的表达式为：
(2)或
(3)
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用，涉及到面积的计算、待定系数法求函数表达式，利用图象法求不等式解集，综合性强，难度适中．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）由面积，即可求解．
【详解】（1）解：将代入双曲线，
∴，
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴，
∴，
将代入，
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）解：观察函数图象知，不等式的解集为：或；
（3）解：设直线交轴于点，设点，

由直线的表达式知，点，
则面积，
解得：，
即点的坐标为：．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．课本改编
（1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则 度， 度．
（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补．
知识运用
（3）如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线．
【答案】（1）90，180；（2）见解析；（3）见解析
【分析】此题考查了圆周角定理、切线的判定、圆内接四边形性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键.
（1）利用圆周角定理及四边形内角和进行解答即可；
（2）连接并延长，交于点E，连接根据（1）的 结论进行证明即可；
（3）证明，由四边形是圆内接四边形，进一步得到，，又由是的半径，即可证明结论．
【详解】（1）∵四边形为的内接四边形，为的直径，
∴度，
∵
∴
故答案为：90，180
(2)证明：如图，连接并延长，交于点E，连接
由(1)可知，，，
，
，
即圆内接四边形的对角互补
（3）证明:连接，如图所示.
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
是线段的中点，
是的半径，
是的切线
22．【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个直角三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，求的长；
（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线的距离；
（3）如图4，连接，为的中点，则在三角板旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是 ．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）在中，根据余弦的定义求解即可；
（2）分点E在上方和下方两种情况讨论求解即可；
（3）取的中点O，连接，从而求出，得出点G在以O为圆心，为半径的圆上，过O作于H，当G在的反向延长线上时，最大，即点G到直线的距离的最大，在中求出，进而可求．
【详解】解：由题意得∶ ，
在中，，
；
（2）当点E在上方时，
如图，过点D作于点H，
∵，
，
，
∵，，
，
∵点C、E、D在同一条直线上，且，
，
∵，
，
∴，
∵，
∴；
当点E在下方时，
∵，
∴，
∴，
过点D作于点M，
∵，
∴，
综上所述，点到直线为或；
（3）如图，取的中点O，连接，则．
∴点G在以O为圆心，为半径的圆上，
如图，过点过O作于H，当G在的反向延长线上时，最大，即点G到直线的距离的最大，
在中，，
∴即点G到直线的距离的最大值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，解直角三角形等知识，综合性强，难度大，属于压轴题，分点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）的关键．
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积
(3)求的最大值，并求此时点M的坐标；
(4)在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)5
(3)最大值为，.
(4)存在，或或
【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法和平行四边形的性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点M、N的坐标，然后利用求出面积即可；
（3）设点M的坐标是，则点，表示，然后利用二次函数的配方法求最值即可；
（4）分是对角线、是对角线和是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题．
【详解】（1）由题意得：.解得：
∴抛物线的函数解析式是：.
（2）∵.
∴当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是，点.
连接BN.
则；
（3）设点M的坐标是，则点.
∴，.
∴.
∴当时，有最大值，
这时点.
（4）存在，理由如下：
由（1）（3）抛物线的对称轴是直线，点.
设点，.
分三种情况讨论：
①当是对角线时，，解得：，这时点.
②当是对角线时，，解得：，这时点.
③当是对角线时，，解得：，这时点.
综上所述，存或或，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形. 解：原式①
②
③…
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级