云南省曲靖市2024届高三上学期第一次教学质量监测（一模）数学试卷(含答案)

这是一份云南省曲靖市2024届高三上学期第一次教学质量监测（一模）数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.6
3．已知等比数列的前n项和为，且，，则( )
A.36B.54C.28D.42
4．已知变量y关于x的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与x线性相关.现有一组数据如下表所示：
则当时，预测y的值为( )
A.B.C.D.
5．为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开展校园绿化活动.已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为18厘米，9厘米，母线长约为7.5厘米.现有2000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为( )（参考数据：）
立方米立方米立方米立方米
6．已知，则( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线，过其右焦点F作一条直线分别交两条渐近线于A，B两点，若A为线段的中点，且，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
8．已知，若点P为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则( )
A.
B.函数的最小正周期是
C.函数的图象关于直线对称
D.将函数的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称
10．已知函数的定义域为R，且与都为奇函数，则下列说法一定正确的是( )
A.为奇函数B.为周期函数
C.为奇函数D.为偶函数
11．下列不等式正确的是( )
A.B.C.D.
12．如图所示，正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点M，N，以下四个命题中正确的是( )
A.四边形一定为菱形
B.四棱锥体积为
C.平面平面
D.四边形的周长最小值为4
三、填空题
13．若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______.
14．如图，在第一象限内，矩形的三个顶点A，B，C分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是______.
15．已知P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则C的离心率为______.
四、双空题
16．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则______，数列的前50项和为______.
五、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）线段上一点D满足，，求的长度.
18．已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，其前n项和为，求使得成立的n的最小值.
19．2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行.树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动.比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率.
（1）若，，结束比赛时，比赛的局数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求p的取值范围.
20．在如图所示的直角梯形中，，，，
点E是边上靠近于点D的三等分点，以为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图.
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点P，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由.
21．已知斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，线段的中点Q的横坐标为2.
（1）求抛物线E的方程；
（2）设抛物线E的焦点为F，过点F的直线与抛物线E交于M、N两点，分别在点M、N处作抛物线E的切线，两条切线交于点P，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线的方程；若不存在，请说明理由.
22．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设，当时，函数的图象在函数的图象的下方，求a的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：由题设，，则，
所以向量对应的复数为.
故选：D
2．答案：C
解析：由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，，，，
故中元素的个数为4.
故选：C.
3．答案：D
解析：根据题意设等比数列的首项为，公比为q，易知；
由，可得，，
两式相除可得，即；
所以.
故选：D
4．答案：C
解析：令，由可得，如下表所示：
由表格中数据可得，，
则有，解得，故，
当时，.
故选：C.
5．答案：B
解析：令，，（单位厘米），
则花盆的高，
所以花盆的体积为，
故2000个该种花盆共需要营养土约立方厘米，即1.780立方米.
故选：B
6．答案：A
解析：因为
，
因此，.
故选：A.
7．答案：B
解析：由题设作出图形，双曲线渐近线为，，则直线，
故，可得，故，即，
又三角形BOF为等腰三角形，所以，则，
整理得，即双曲线C的渐近线方程为.
故选：B
8．答案：C
解析：设点P的横坐标为，则由可得，
又可得，
且两条曲线在点P处的切线重合，
所以切线的斜率，解得或（舍去），
即点P的横坐标为，
由点P为曲线与曲线的交点，
所以，即，
令，
则，
令可得，
由知，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当，，
则实数m的取值范围为.
故选：C.
9．答案：AC
解析：由图可知，，
函数的最小正周期T满足，则，，B错；
所以，，
，可得，
因为，所以，，则，可得，
所以，，则，A对；
，
所以，函数的图象关于直线对称，C对；
将函数的图象向左平移个单位长度以后，
得到函数的图象，所得函数为非奇非偶函数，D错.
故选：AC.
10．答案：BC
解析：根据题意由为奇函数可得，即；
由为奇函数可得，即；
所以可得，即，
即可得为周期是4的周期函数，且，
可得不是奇函数，即A错误；B正确；
由周期性可知，因为为奇函数，所以也为奇函数，即C正确；
因为，所以不是偶函数，即D.错误；
故选：BC
11．答案：ABC
解析：对于A选项，令，则，
当时，，则函数在上单调递减，
因为，则，即，即，即，
所以，，A对；
对于B选项，令，则，
当时，，即函数在上为增函数，
所以，，即，B对；
对于C选项，令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，因为，则，
所以，，C对；
对于D选项，令，其中，则，
令，
由C选项可知，对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，则，
则函数在上单调递增，
因为，则，即，
又因为，即，D错.
故选：ABC.
12．答案：ACD
解析：由题意，正方体截面的性质易知，，即为平行四边形，
取G，H为，中点，因为E，F分别是棱，的中点，则为正方形，
所以，，则，故为菱形，A对；
由M，N到面的距离之和为底面对角线为，
又定值，B错；
由菱形性质知，由正方体性质知面，面，则，
又，面，故面，
而面，所以平面平面，C对；
M，N在运动过程中，仅当它们为对应线段中点时，菱形各边最短且为1，
此时为正方形，周长为4，D对.
故选：ACD
13．答案：
解析：因为，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为.
故答案：.
14．答案：
解析：由题意，A，B纵坐标都为2，则B点横坐标为8，即C点横坐标为8，
所以A点的横坐标为，C点纵坐标为，
由为矩形及题图知：D点的坐标是.
故答案为：
15．答案：
解析：由题意，中，，，
所以其外接圆半径，内切圆的半径为，
故.
故答案为：
16．答案：①.；②.
解析：当时，①，当时，②，
由①②可得，，
所以，，，，
累加可得，，
所以，
令(且为奇数)，，当时，成立，
所以当n为奇数，，
当n为奇数，，
所以当n为偶数，，
所以
故；
根据
所以的前项的和.
故答案为：50；650
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由题设及余弦定理知：，
所以，又，，
所以.
（2）
由题设，且，，，
在中，则，
在中，则，
综上，可得，，则，故.
18．答案：（1）；
（2）10.
解析：（1）当时，，
所以，则，而，
所以，故是首项、公比都为2的等比数列，
所以.
（2）由，
所以，
要使，即，
由且，则.
所以使得成立的n的最小值为10.
19．答案：（1）分布列见解析，期望为；
（2）.
解析：（1），，即采用3局2胜制，X所有可能值为2，3，
，，
X的分布列如下，
所以.
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，
甲最终获胜的概率为，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，
甲最终获胜的概率为
，
则
，得.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）根据题意，由直角梯形边长，可知，；
又点E是边上靠近于点D的三等分点，所以，可得为等边三角形；
连接，，交于点F，如下图所示：
可得四边形为菱形，所以，
即折起后，，如下图所示：
易知，又，满足，即；
又，平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）以D为坐标原点，分别以，为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，；
可得，，
假设存在点P满足题意，设，，
所以，则，
由（1）可知平面，利用易得平面的一个法向量可取为
设平面的一个法向量为，
则，可得；
所以，解得或（舍），
此时，可得；
即线段的长度为.
21．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）解：设点、，因为直线的斜率为1，则，
因为线段的中点Q的横坐标为2，则，
，可得，
所以，抛物线E的方程为.
（2）设点、，易知点，
若直线的斜率不存在，则直线与抛物线E只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，，
由焦点弦长公式可得，
对函数求导得，则直线的方程为，即，
同理可知，直线的方程为，
联立可得，即点，
则，，
所以，，即，
且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的面积存在最小值，且最小值为4，
此时，直线的方程为.
22．答案：（1）；
（2）答案见详解；
（3）
解析：（1）由题，函数的定义域为，
则，，
由于曲线在点处的切线与直线垂直，
则，所以，
解得，.
（2），
故当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）依题知，当时，恒成立，
即恒成立，
化简为，
设，，
则，
当时，恒成立，
故在单调递增，
此时不符合题意；
当时，，
令，得，令，得，
所以在单调递增，在单调递减，
则恒成立，
化为，
设，
则恒成立，
则在上单调递增，
又，且，，
故a的最大值为.
x
1
2
3
4
5
y
e
x
1
2
3
4
5
y
e
u
1
3
4
6
7
X
2
3
P