2024年四川省泸州市中考数学试卷（含答案）

这是一份2024年四川省泸州市中考数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题.等内容，欢迎下载使用。
1．下列各数中，无理数是（ ）
A．B．3.14C．0D．π
2．第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21﹣24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.6×107B．2.6×108C．2.6×109D．2.6×1010
3．下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
5．下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a3＝5a4B．3a2•2a3＝6a6
C．（﹣2a3）2＝4a6D．4a6÷a2＝4a3
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝90°B．∠B＝∠CC．AC＝BDD．AC⊥BD
7．分式方程﹣3＝的解是（ ）
A．x＝﹣B．x＝﹣1C．x＝D．x＝3
8．已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（ ）
A．56°B．60°C．68°D．70°
10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．1≤a＜B．0＜a＜C．0＜a＜D．1≤a＜
12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+FG的最小值是（ ）
A．4B．5C．8D．10
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.
13．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
14．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 ．
16．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a＞0）个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ（a，θ）变换．如：点A（2，0）按照ρ（1，90°）变换后得到点A'的坐标为（﹣1，2），则点B（，﹣1）按照ρ（2，105°）变换后得到点B'的坐标为 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分。
17．（6分）计算：|﹣|+（π﹣2024）0﹣2sin60°+（）﹣1．
18．（6分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．
19．（6分）化简：（+x﹣2y）÷．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。
20．（7分）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如表．
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2）c＝ ，d＝ ；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是 （填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在10≤x＜13（单位：cm）的株数．
21．（7分）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分。
22．（8分）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与x轴相交于点A（﹣2，0），与反比例函数y＝的图象相交于点B（2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线x＝m（m＞2）与反比例函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点C，D，且S△OBC＝2S△OCD，求点C的坐标．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。
24．（12分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，AC＝CE，CE交AB于点F．
（1）求证：∠CAE＝∠D；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，若OA＝3，BD＝3，求FG的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
2024年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．【解答】解：﹣是分数，3.14是有限小数，0是整数，它们都不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
2．【解答】解：260000000＝2.6×108．
故选：B．
3．【解答】解：A．主视图和左视图都为三角形，所以A选项不符合题意；
B．主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项不符合题意；
C．主视图为矩形，左视图也是矩形，所以C选项符合题意；
D．主视图是矩形，左视图是三角形，所以D不符合题意．
故选：C．
4．【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠1＝45°，
∵∠2+∠DAE＝∠BAD，∠DAE＝30°，
∴∠2＝15°，
故选：B．
5．【解答】解：A、3a与2a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、3a2•2a3＝6a5，故此选项不符合题意；
C、（﹣2a3）2＝4a6，故此选项符合题意；
D、4a6÷a2＝4a4，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，
∴选项A可以判定▱ABCD为矩形，
故选项A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时▱ABCD为矩形，
故选项B可以判定▱ABCD为矩形，
故选项B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
当 AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，
∴选项C可以判定▱ABCD为矩形，
故选项C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，
∴选项D不能判定▱ABCD为矩形，
故选项D符合题意．
故选：D．
7．【解答】解：﹣3＝，
去分母，得1﹣3（x﹣2）＝﹣2，
整理，得﹣3x＝﹣9，
∴x＝3．
经检验，x＝3是原方程的解．
所以原方程的解为：x＝3．
故选：D．
8．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣k＝0无实数根，
∴Δ＝4﹣4（1﹣k）＜0，
解得k＜0，
则函数y＝kx图象经过第二、四象限，函数y＝的图象分布在第一、三象限，
两个函数没有交点．
故选：A．
9．【解答】解：连接AD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAE+∠BCD＝236°，
∴∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°，
∴∠EAD＝56°，
∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，
∴EA＝ED，
∴∠EDA＝∠EAD＝56°，
∴∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
故选：C．
10．【解答】解：由题知，
令AD＝BC＝（）a，AB＝CD＝2a，
由翻折可知，
∠EAC＝∠BAC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AE＝EC．
令DE＝x，
则AE＝EC＝2a﹣x，
在Rt△ADE中，
[（）a]2+x2＝（2a﹣x）2，
解得x＝，
∴DE＝，AE＝2a﹣＝．
在Rt△DAE中，
sin∠DAE＝．
故选：A．
11．【解答】解：∵图象经过第一、二、四象限，
∴a﹣1≥0，Δ＝（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）＞0，
解得1≤a＜，
∴a的取值范围为1≤a＜．
故选：A．
12．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°，
∵点M是DF的中点，
∴，
如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，
∵FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH，
∴△FBG≌△FBH（SAS），
∴FH＝FG，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半，
∵AG＝2GB，AB＝6，
∴BH＝BG＝2，
∴AH＝8，
在Rt△ADH中，由勾股定理得．
∴的最小值为5，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.
13．【解答】解：由题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣2，
所以函数y＝的自变量x的取值范围是x≥﹣2，
故答案为：x≥﹣2．
14．【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：＝，
解得x＝3，
经检验：x＝3是原分式方程的解，
∴黄球的个数为3个．
故答案为：3个．
15．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5．
∴（x1﹣x2）2+3x1x2
＝+x1x2+
＝（x1+x2）2﹣x1x2
＝32﹣（﹣5）
＝9+5
＝14．
故答案为：14．
16．【解答】解：由题知，
将点B（）向上平移2个单位所得点M的坐标为（）．
如图所示，
过点M作x轴的垂线，垂足为F，
则OF＝，MF＝1．
在Rt△MOF中，
tan∠MOF＝，OM＝，
所以∠MOF＝30°．
由旋转可知，
B′O＝MO＝2，∠MON＝105°，
所以∠B′OF＝135°．
过点B′作y轴的垂线，垂足为E，
则∠B′OE＝135°﹣90°＝45°，
所以△B′OE是等腰直角三角形．
又因为B′O＝2，
所以B′E＝OE＝，
所以点B′的坐标为（）．
故答案为：（）．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分。
17．【解答】解：|﹣|+（π﹣2024）0﹣2sin60°+（）﹣1
＝+1﹣2×+2
＝+1﹣+2
＝3．
18．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠1＝∠2．
19．【解答】解：原式＝÷
＝•
＝．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。
20．【解答】解：（1）由表格可知，a＝2，b＝4．
故答案为：2；4．
由题意知，乙种小麦苗高在13≤x＜16的频数为7，
补全乙种小麦的频数分布直方图如图所示．
（2）将甲种16株小麦的苗高按照从小到大的顺序排列，排在第8和第9的苗高为13，14，
∴c＝（13+14）÷2＝13.5．
由表格可知，d＝13．
故答案为：13.5；13．
（3）∵甲种小麦的方差大于乙种小麦的方差，
∴甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙．
故答案为：乙．
1200×＝375（株）．
∴估计苗高在10≤x＜13（单位：cm）的株数约375株．
21．【解答】解：（1）设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件；
（2）设购进m件A商品，则购进（60﹣m）件B商品，
根据题意得：，
解得：19≤m≤20，
∴m的最大值为20．
答：购进A商品的件数最多为20件．
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分。
22．【解答】解：过C作CH⊥AB于H，
∵∠CAB＝45°，AC＝30n mile，
∴AH＝CH＝15n mile，
∵∠CBH＝60°，
∴BC＝＝＝10（n mile），
过D作DG⊥AB于G，
∴∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，
∴∠BDG＝60°，
∴∠CDB＝60°，
∴CD＝＝＝20（n mile），
答：C，D间的距离为20n mile．
23．【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
a＝2×3＝6，
所以反比例函数的解析式为y＝．
（2）将x＝m分别代入y＝和y＝﹣得，
点C的坐标为（m，），点D的坐标为（m，），
所以．
又因为S△OBC＝2S△OCD，
所以S△OBC＝8．
令直线CD与x轴的交点为M，
过点B作x轴的垂线，垂足为N，
因为S△BON+S梯形BNMC＝S△BOC+S△COM，且S△BON＝S△COM，
所以S梯形BNMC＝S△BOC＝8，
所以，
解得．
因为m＞2，
所以m＝6，
则点C的坐标为（6，1）．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。
24．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D+∠CBD＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝∠D，
∵＝，
∴∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∴∠CAE＝∠D；
（2）解：过点C作CH⊥AE于H，如图：
∵OA＝3，
∴AB＝2OA＝6，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝3，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴BG＝2；
∵AC＝CE，CH⊥AE，
∴AE＝2AH，
由（1）可得∠ABC＝∠CAH，∠ACB＝∠CHA＝90°，
∴△ACB∽△CHA，
∴，
∴，
∴，
∴，
设FG＝x，则AF＝4+x，
∵∠E＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF﹣△CBF，
∴，即 ，
∴，
∵CF2＝CG2+FG2，
∴，
解得：或x＝4（舍去），
∴FG的长为．
25．【解答】解：（1）A（3，0），抛物线的对称轴为x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）当﹣1≤x≤t时，
x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值，
则x＝t（t小于3）时，y取得最大值，
而抛物线的顶点处取得最大值，
抛物线的顶点坐标为：（1，4），
即2t﹣1＝4，
解得：t＝2.5；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点B（0，3），
当BC是边时，对应菱形为BDCE′，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点C（x，﹣x2+2x+3），点D（x，﹣x+3），
则CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝BC＝x，
解得：x＝3﹣，
则BC＝x＝3﹣2，
即菱形的边长为：3﹣2．
当BC为边时，
同理可得：BC＝CD，则x2+（﹣x2+2x）2＝（﹣x2+3x）2，
解得：x＝2（不合题意的值已舍去），
则CD＝﹣22+6＝2，
菱形的边长为：2．
综上，菱形的边长为：3﹣2或2．
甲
7
8
10
11
11
12
13
13
14
14
14
14
15
16
16
18
乙
7
10
13
11
18
12
13
13
10
13
13
14
15
16
11
17
苗高分组
甲种小麦的频数
7≤x＜10
a
10≤x＜13
b
13≤x＜16
7
16≤x＜19
3
小麦种类
统计量
甲
乙
平均数
12.875
12.875
众数
14
d
中位数
c
13
方差
8.65
7.85