苏教版 (2019)第1章 直线与方程1.2 直线的方程多媒体教学ppt课件

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在平面直角坐标系中，若已知直线上一点 P1(x1，y1) 和直线的斜率 k，或者已知直线 l 上不同的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则直线乙唯一确定.
在上述两种情况下，当点 P(x，y)在直线 l 上运动时，点 P 的坐标应该满足某种关系.
● 如何得到直线 l 上点 P(x，y) 的坐标 x，y 之间的关系?
1.2.1 直线的点斜式方程
直线 l 经过点 A(－1，3)，斜率为 －2 (图1－2－1(1)). 如果点 P(x，y) 在直线 l 上运动，那么，● x，y 满足什么关系?
因此，以方程 2x＋y－1＝0 的解为坐标的点 (x，y) 也都在直线 l 上.
综上，当点 P 在直线 l 上时，其坐标 (x，y) 满足方程 2x＋y－1＝0，并且以方程 2x＋y－1＝0 的解 x，y 为坐标的点(x，y) 都在直线 l 上.这时，我们将方程 2x＋y－1＝0 称为直线 l 的方程，也称直线 l 为方程 2x＋y－1＝0 的直线.
一般地，当点P在曲线C上时，其坐标(x，y)满足方程F(x，y)＝0，并且以方程 F(x，y)＝0的解为坐标的点(x，y)都在曲线C上.这时，我们将方程 F(x，y)＝0 称为曲线C的方程，也称曲线 C 为方程 F(x，y) ＝0 的曲线.
一般地，如果直线 l 经过点 P(x1，y1)，斜率为k，那么，如何建立直线 l 的方程呢?
因为点 P(x1，y1) 的坐标也满足方程(*)，所以直线 l 上的每个点的坐标都是这个方程的解；反过来，可以验证，以方程 (*) 的解为坐标的点都在直线 l 上.因此，方程 (*) 就是过点 P，斜率为 k 的直线 l 的方程.
当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是x＝x1.
已知一直线经过点 P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程.
解 由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－3＝2(x＋2)， 即 2x－y＋7＝0.
已知直线 l 的斜率为 k，与 y 轴的交点是 P(0，b)，求直线 l 的方程.
解 由直线的点斜式方程，得直线 l 的方程为 y－b＝k(x－0)， 即 y＝kx＋b.
我们把直线 l 与 y 轴的交点 (0，6) 的纵坐标 b 称为直线在 y 轴上的截距 (intercept). 这个方程由直线 l 的斜率和它在 y 轴上的截距确定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程 (equatin f slpe intercept frm).
这说明，初中学习的一次函数 y＝kx＋6，它的图象确实是一条直线，其中常数 k 是直线的斜率，常数 b 就是直线在 y 轴上的截距.
在同一直角坐标系中作出直线y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x－2，y＝－3x＋2，根据图1－2－2(1)，你能推测直线 y＝kx＋2 有什么特点吗?
尝试用计算器或计算机作出这些直线.
在同一直角坐标系中作出直线直线y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x－4，y＝2x－4，根据图1－2－2(2)，你能推测直线 y＝2x－b 有什么特点吗?
2. 直线 y＝k(x＋1) (k＞0) 可能是( ).
4. 已知直线 l1：y＝－2x＋3. 直线 l2 过点 P(1，2)，且它的斜率与直线 l1 的斜率相等. 写出直线 l2 的方程，并在同一直角坐标系中画出直线 l1 和 l2.
答案：y＝－2x＋4.
5. 分别写出经过下列两点的直线的方程：(1) P(1，2)，Q(－1，4)；(2) P(1，0)，Q(0，2).
答案：(1) x＋y－3＝0. (2) 2x＋y－2＝0.
6. 任一条直线都可以用点斜式方程表示吗?斜截式方程可以改写成点斜式方程吗?
解：斜率不存在的直线不能用点斜式方程表示，斜截式方程可以改写成点斜式方程.
1.2.2 直线的两点式方程
若直线 l 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线 l 唯一确定. 那么，● 如何建立直线 l 的方程呢?
还有其他方法可以得到直线的两点式方程吗?
当 y1＝y2 时，由 x1≠x2 知直线 l 与 y 轴垂直，它的方程为 y＝y1.如果 x1＝x2，那么 y1≠y2，直线 l 与 x 轴垂直，它的方程为 x＝x1.
已知直线 l 经过两点 A(a，0)，B(0，b) (图1-2-3)，其中 a≠0，b≠0，求直线 l 的方程.
已知三角形的顶点是 A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2) (图1-2-4)，分别求这个三角形三边所在直线的方程.
1. 分别写出经过下列两点的直线的方程：(1) (1，3)，(－1，2)； (2) (2，3)，(0，2)；(3) (3，3)，(3，4)； (4) (－2，3)，(3，3)；(5) (0，3)，(－2，0)； (6) (2，0)，(0，－2).
答案：(1) x－2y＋5＝0.(2) x－2y＋4＝0.(3) x＝3.(4) y＝3.(5) 3x－2y＋6＝0.(6) x－y－2＝0.
2. 根据下列条件，分别写出直线的方程：(1) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 3，－4；(2) 过点 P(1，5)，且在 y 轴上的截距为 6；(3) 过点 P(－3，4)，日在 x 轴上的截距为 3.
答案：(1) 4x－3y－12＝0.(2) x＋y－4＝0.(3) 2x＋3y－6＝0.
3. 已知两点 A(3，2)，B(8，12).(1) 求直线 AB 的方程；(2)设 a 为实数，若点 C(－2，a) 在直线 AB 上，求 a 的值.
答案：(1) 2x－y－4＝0.(2) a＝－8.
4. 回答下列问题： (1) 如果两条直线有相同的斜率，但在 x 轴上的截距不同，那么它们在 y 轴上的截距可能相同吗? (2)如果两条直线在 y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在轴上的截距可能相同吗? (3)任一条直线都可以用截距式方程表示吗?
解：(1)不可能.(2)可能，如当两条直线均过原点时，符合题意.(3)不都可以，当直线过原点或与坐标轴平行时，直线不能用截距式方程表示.
1.2.3 直线的一般式方程
我们已经学习了直线方程的几种特殊形式，它们都是关于，y的二元一次方程，那么，● 任意一条直线的方程都是关于 x，y 的二元一次方程吗?
事实上，在平面直角坐标系中，直线可以分成两类：一类是与 x 轴不垂直的直线，另一类是与 x 轴垂直的直线.
当直线与 x 轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点 P(x1，y1)，斜率为 k 的直线的方程为 y－y1＝k(x－x1)，即
kx－y1＋y1－kx1＝0，
此方程是关于 x，y 的二元一次方程.
当直线与 x 轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点 P1(x1，y1) 的直线的方程为 x＝x1，即 x＋0×y－x1＝0，此方程也可看作是关于 x，y 的二元一次方程.
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (A，B 不全为0) 来表示.
在平面直角坐标系中，动点由横坐标、纵坐标决定，所以方程 x＝x1也可以看成二元一次方程.
反过来，关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (A，B不全为0) 都表示平面直角坐标系中的一条直线吗?
因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 ( A，B 不全为0 ) 都表示一条直线.
方程(*)也称为关于 x，y 的线性方程.
求直线l：3x＋5y－15＝0 的斜率以及它在 x 轴、y 轴上的截距，并作图.
过两点 (5，0)，(0，3) 作直线，就得到直线 (图1-2-5).
设 m 为实数，若直线 l 的方程为 x＋my－2m＋6＝0.根据下列条件分别确定 m 的值：(1)直线 l 在 x 轴上的截距是－3；
(2) 直线 l 的斜率是1.
2. 设直线 5x－2y－10＝0 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则( ).A. a＝2，b＝5 B. a＝2，b＝－5 C. a＝－2，b＝5 D. a＝－2，b＝－5
3. 设 m 为实数，若直线 l 的方程为 mx＋(m－1)y＋3＝0，根据下列条件分别确定 m 的值：(1) 直线 l 在 y 轴上的截距为6；(2) 直线 l 的斜率为2；(3) 直线 l 垂直于 x 轴；(4) 直线 l 经过点(1，3).
4. 设 A，B，C 为实数，且 A，B 不同时为 0. 若直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，根据下列条件，分别求出 A，B，C 应满足的条件：(1)直线 l 过原点；(2)直线 l 垂直于 x 轴；(3)直线 l 垂直于 y 轴；(4)直线 l 与两条坐标轴都相交.
答案：(1) C＝0.(2) B＝0、A≠0.(3) A＝0、B≠0.(4) A≠0、B≠0.
5. 写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：
答案：(1) x－y＋2＝0.(2) x＋y－1＝0.(3) x＋3y－3＝0.(4) x＋2y＋2＝0.
1.2 直线的方程
1. 分别写出下列直线的斜率以及它们在x轴、y轴上的截距：(1) 2x＋y－4＝0； (2) 3x－6y＋10＝0.
3. 写出过点P(3，1)，且分别满足下列条件的直线 l 的方程：(1) 垂直于 x 轴；(2) 垂直于 y 轴；(3) 过原点；(4) 与直线 x＋2y－3＝0 的斜率相等.
答案：(1) x＝3.(2) y＝1.(3) x－3y＝0.(4) x＋2y－5＝0.
4. 分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积：(1) x＋y－2＝0；(2) 2x－3y－6＝0；(3) 5x＋3y＋2＝0.
5. 一根弹簧挂 4kg 的物体时，长20cm，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加 1kg，弹簧伸长1.5cm. 试写出弹簧的长度(单位：cm)和所挂物体质量 m (单位：kg) 之间的关系.
答案：l＝1.5m＋14.
6. 一根铁棒在 40℃ 时长 12.506 m，在80℃ 时长 12.512m. 已知铁棒的长度 l (单位：m) 和温度 t (单位：℃)之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在 100℃ 时的长度.
答案：方程：0.003t－20l＋250＝0. 铁棒在 100℃ 时的长度： m.
7. 已知菱形的两条对角线长分别为 8 和 6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程.
8. 已知直线 l 经过点 (3，－1)，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线 l 的方程.
答案：x－y－4＝0； x＋y－2＝0.
9. 设 k 为实数，若直线l 的方程为 2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定 k 的值：(1)直线 l 的斜率为 －1；(2)直线 l 在 x 轴、y 轴上截距之和等于1.
答案：(1) k＝5； (2) k＝2.
10. 已知点 P0(x0，y0) 不在直线 l1：2x＋3y＋4＝0上，直线 l2 过点 P0 (x0，y0)，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线 l2 的方程可以写成 2(x－x0)＋3(y－y0)＝0.
11.已知直线 l 过点 P(2，3)，根据下列条件分别求直线 l 的方程：(1) l 在 x 轴、y 轴上的截距之和等于0；(2) l 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为16.
答案：(1) ① 3x－2y＝0、② x－y＋1＝0. (2) x＋2y－8＝0 或 9x＋2y－24＝0.
12.设直线 l 的方程为 y－3＝k(x＋2)，当 k 取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点?
解：直线 l 过定点 (－2，3).
13. 已知两条直线 a1x＋b1y＋1＝0 和 a2x＋b2y＋1＝0 都过点 A(1，2)，求过两点 P1(a1，b1)，P2(a2，b2) 的直线的方程.
答案：x＋2y＋1＝0.