2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第7节 分式（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第7节 分式（含答案），共33页。试卷主要包含了计算，先化简，再求值，若分式、为常数），则、的值为，化简，已知，求代数式的值等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．同时使分式有意义，又使分式无意义的的取值范围是
A．，且B．，或C．D．
2．分式，，的最简公分母是 ．
3．如果分式的值为5，把式中的，同时扩大为原来的3倍，则分式的值是 ．
4．计算： ．
5．先化简，再求值：，其中．
课中讲解
一、分式的概念及性质
（1）分式的概念：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子 叫做分式．
（2）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个 的整式，分式的值不变．
（3）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
例1．（1）下列各式：，，，，其中分式共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2）分式与下列分式相等的是
A．B．C．D．
（3）将分式中的，的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值
A．扩大6倍B．扩大9倍C．不变D．扩大3倍
过关检测
1．下列各式中，分式的个数是
．
A．2B．3C．4D．5
2．分式可变形为
A．B．C．D．
3．若把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值
A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变
二、分式的有意义和值为0的条件
（1）分式有意义的条件 ．
（2）分式无意义的条件 ．
（3）分式值为零的条件是 ．（注意：“分母不为零”这个条件不能少）
例2．（1）使代数式有意义的的取值范围是
A．B．且C．且D．
（2）已知分式的值为0，那么的值是
A．B．C．1D．1或
过关检测
1．代数式有意义时，应满足的条件为 ．
2．若分式无意义，则的值为
A．0B．1C．D．2
3．若分式的值为0，则的值为
A．B．2C．D．4
三、分式的约分及最简分式
（1）约分的定义：
约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做 ．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．【 】
注意：①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
例3．（1）化简 ．
（2）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
过关检测
1．约分：
（1） （2）
2．下列分式中，属于最简分式的是
A．B．C．D．
四、分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行 ，再约分．
整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
例4．（1）下列计算结果正确的有
①； ②；③； ④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2）化简： ．
过关检测
1．计算
（1）
2．化简：．
3．计算：．
五、分式的加减及混合运算
（1）最简公分母的定义：
通常 ，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）寻找最简公分母的一般方法：
①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【 】
（3）分式的加减法法则
同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
例5．下列三个分式、、的最简公分母是
A．B．C．D．
例6．计算： ．
例7．若分式、为常数），则、的值为
A．，B．，C．，D．，
过关检测
1．分式，，的最简公分母是
A．B．C．D．
2．计算： ．
3．已知，其中、是常数，则 ．
例8．化简（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1．化简：（1） （2）
（3） （4）
六、分式的化简求值
例9．先化简，再求值：，其中．
例10．已知，求代数式的值．
例11．先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
例12．设．当时，记的值为（3）；当时，记的值为（4）；；则关于的不等式的解集是 ．
过关检测
1．先化简，再求值：，其中．
2．先化简，再求值：，其中，满足：．
3．先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．
4．若设，当时，记此时的值为（3）；当时，记此时的值为（4）；则关于的不等式（3）（4）的解集为 ．
学习任务
1．在式子，，，，，，中，分式的个数是
A．5B．4C．3D．2
2．如果分式中的，都同时扩大2倍，那么该分式的值
A．不变B．缩小2倍C．扩大2倍D．扩大4倍
3．下列各式从左到右的变形正确的是
A． B． C． D．
4．当 时，分式无意义．
5．若代数式的值等于0，则 ．
6．下列分式中，最简分式是
A．B．
C．D．
7．分式，，的最简公分母为
A．B．C．D．
8．先化简，再求值：，其中，．
9．先化简，再求值：，其中满足．
第7讲 分式（解析版）
目标层级图
本节内容：
本节涉及主要板块分别是分式的概念、意义、化简、运算与化简求值。
分式是八年级下册内容，因此，在本节中是作为新课内容进行讲解，主要讲解内容是分式概念的引入及分式化简与运算。建议在此处让学生把基础概念掌握扎实，掌握分式运算方法，计算达标！
具体讲解内容如下：
分式的概念与分式存在的三种条件（有意义、无意义、值为0），需要学生一定要掌握！
最简分式与最简公分母的概念引入，涉及到约分和通分，然后进行分式加减、乘除与分式
混合运算的讲解，乘除法需要先进行因式分解与约分，加减法中若分母不相同需要进行通分，混合运算则遵循混合运算法则进行！
3.分式的化简求值，涉及到直接代入求值、根据非负性求值再代入求值、根据不等式（组）解集代入求值，若涉及到选择合适的值代入求值，注意要排除使分式无意义的值！
课前检测
1．同时使分式有意义，又使分式无意义的的取值范围是
A．，且B．，或C．D．
【解答】解：由题意得：，且，
，或，
且，或，
，故选．
2．分式，，的最简公分母是 ．
【解答】解：，
，
，
分式，，的最简公分母是，
故答案为．
3．如果分式的值为5，把式中的，同时扩大为原来的3倍，则分式的值是 ．
【解答】解：分式的值为5，把式中的，同时扩大为原来的3倍，
原式．
故答案为：．
4．计算： ．
【解答】解：原式，
故答案为：．
5．先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
课中讲解
一、分式的概念及性质（与整式区分）
（1）分式的概念：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（3）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
例1．（1）下列各式：，，，，其中分式共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：，，，，其中分式共有：，共有2个．
故选：．
（2）分式与下列分式相等的是
A．B．C．D．
【解答】解：原分式．
故选：．
（3）将分式中的，的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值
A．扩大6倍B．扩大9倍C．不变D．扩大3倍
【解答】解：把分式中的与同时扩大为原来的3倍，
原式变为：，
这个分式的值扩大9倍．
故选：．
过关检测
1．下列各式中，分式的个数是
．
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
的分子不是整式，因此不是分式．
，，的分母中含有字母，因此是分式．
故选：．
2．分式可变形为
A．B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
3．若把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值
A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变
【解答】解：用和代替式子中的和得：，
则分式的值缩小成原来的，即缩小3倍．
故选：．
二、分式的有意义和值为0的条件（分式的三种存在条件，值为0时同时考虑分母不为0）
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．（注意：“分母不为零”这个条件不能少）
例2．（1）使代数式有意义的的取值范围是
A．B．且C．且D．
【解答】解：根据题意可知：
，且，
解得且或，
所以的取值范围是且．
故选：．
（2）已知分式的值为0，那么的值是
A．B．C．1D．1或
【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：．
故选：．
过关检测
1．代数式有意义时，应满足的条件为 ．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
2．若分式无意义，则的值为
A．0B．1C．D．2
【解答】解：由分式无意义，得
．
解得，
故选：．
3．若分式的值为0，则的值为
A．B．2C．D．4
【解答】解：根据题意，得：
且，
解得：；
故选：．
三、分式的约分及最简分式（最简分式的概念与约分）
（1）约分的定义：
约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．【大同低（最大公因数，相同字母，指数取最低）】
注意：①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
例3．（1）化简 ．
【解答】解：
故答案为：．
（2）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①④中分子分母没有公因式，是最简分式；
②中有公因式；
③中有公约数4；
故①和④是最简分式．
故选：．
过关检测
1．约分：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）；
（2）．
2．下列分式中，属于最简分式的是
A．B．C．D．
【解答】解：、，故选项错误．
、是最简分式，不能化简，故选项，
、，能进行化简，故选项错误．
、，故选项错误．
故选：．
四、分式的乘除法（同乘除法的运算，注意要强调先进行因式分解与约分）
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
例4．（1）下列计算结果正确的有
①； ②；③； ④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①； 正确；
②；正确；
③；正确；
④．错误．
故选：．
（2）化简： ．
【解答】解：原式
，故答案为：．
过关检测
1．计算
（1）
【解答】解：（1）原式；
2．化简：．
【解答】解：原式
3．计算：．
【解答】解：原式
五、分式的加减（先引入最简公分母的定义，寻找最简公分母，通分）
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）寻找最简公分母的一般方法：
①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【小全高（最小公倍数，全部字母，相同字母指数取最高）】
（3）分式的加减法法则
同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
例5．下列三个分式、、的最简公分母是
A．B．C．D．
【解答】解：分式、、的分母分别是、、，故最简公分母是．
故选：．
例6．计算： ．（加减运算）
【解答】解：
．
故答案为：．
例7．若分式、为常数），则、的值为 （加减运算中通分的逆运用）
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：已知等式整理得：，
可得，即，
解得：，，
故选：．
过关检测
1．分式，，的最简公分母是
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
所以分式，，的最简公分母是．即
故选：．
2．计算： ．
【解答】解：，
故答案为：．
3．已知，其中、是常数，则 ．
【解答】解：分式的最简公分母是，
方程两边同时乘以最简公分母，得
，
，，
，，
，
故答案为．
例8．化简（混合运算）
（1）． （2）．
（3） （4）．
【解答】解：原式．
【解答】解．
【解答】解：原式．
【解答】解：原式．
过关检测
1．化简：（1）． （2）
（3）． （4）．
【解答】解：原式
．
【解答】解：．
【解答】解：原式．
【解答】解：
六、分式的化简求值
例9．先化简，再求值：，其中．
【解答】解：
，
当时，原式．
例10．已知，求代数式的值．
（先配完全平方，根据非负性列方程组求值，再化简，代入求值）
【解答】解：，即，
，
解得，
原式
．
例11．先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．（解不等式组求解集，注意要排除使原分式无意义的解）
【解答】解：
，
由不等式组得，，
，，
，，
当时，原式．
例12．设．当时，记的值为（3）；当时，记的值为（4）；；则关于的不等式的解集是 ．
（先化简，代入后原式可以进行裂项相消）
【解答】解：
，
当时，记的值为（3）；当时，记的值为（4）；；
（3）（4）
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过关检测
1．先化简，再求值：，其中．（此处需要进行分母有理化）
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
2．先化简，再求值：，其中，满足：．
【解答】解：原式
．
，满足：，
，解得，
当，时，原式．
3．先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．
【解答】解：原式
，
，
，
是整数，
或1或2或3，
由分式有意义的条件可知：且且，
，
原式
4．若设，当时，记此时的值为（3）；当时，记此时的值为（4）；则关于的不等式（3）（4）的解集为 ．
【解答】解：
，
当时，记此时的值为（3）；当时，记此时的值为（4）；，
（3）（4）
，
不等式（3）（4），
不等式，
解得，，
故答案为：，
学习任务
1．在式子，，，，，，中，分式的个数是
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：，，，这4个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：．
2．如果分式中的，都同时扩大2倍，那么该分式的值
A．不变B．缩小2倍C．扩大2倍D．扩大4倍
【解答】解：分式中的，都同时扩大2倍，
，
该分式的值扩大2倍．
故选：．
3．下列各式从左到右的变形正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：、扩展了10倍，没有扩展，故错误；
、符号变化错误，分子上应为，故错误；
、正确；
、约分后符号有误，应为，故错误．
故选：．
4．当 0或1 时，分式无意义．
【解答】解：根据题意得，，
解得，．
故答案为：0或1．
5．若代数式的值等于0，则 2 ．
【解答】解：由分式的值为零的条件得，，
由，得或，
由，得，
，
故答案为2．
6．下列分式中，最简分式是
A．B．
C．D．
【解答】解：、原式为最简分式，符合题意；
、原式，不合题意；
、原式，不合题意；
、原式，不合题意，
故选：．
7．分式，，的最简公分母为
A．B．C．D．
【解答】解：分式，，的最简公分母为，
故选：．
8．先化简，再求值：，其中，．
【解答】解：原式
，
当，时，
原式．
9．先化简，再求值：，其中满足．
【解答】解：原式
，
，
，
则原式．