2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第11节几何综合（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第11节几何综合（含答案），共72页。试卷主要包含了在四边形中，对角线平分，已知中，，如图，，平分等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．在四边形中，对角线平分．
（1）如图①，当，时，求证：．
（2）如图②，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
课中讲解
一.中点问题
例1．已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．
（1）求证：； （2）求证：；
（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．
过关检测
1．如图所示，在中，，．
（1）点在边上，，垂足为，，垂足为，求证：．
（2）如图2，点在边上，点关于直线的对称点恰落在边上，，垂足为，求的值．
例2．已知中，
（1）如图1，点为的中点，连并延长到点，使得，直接写出和的关系；
（2）如图2，若，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连，若，求证：；
（3）如图3，点在内部，且满足，，点在的延长线上，连交的延长线于点，若点为的中点，求证：．
过关检测
1．如图3，已知和都为等腰直角三角形，，。是的中点，连接并延长至点，．求证：．
二.对角互补模型
例3．如图，，平分．将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点．
（1）如图1，当与边垂直时，证明：；
（2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论： （填，，，
（3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点．在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
例4．四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积．
过关检测
1．【感知】如图①，，平分．于点，于点，可知．（不要求证明）
【拓展】在图①中，作，，分别交射线，于，两点，求证：．
【应用】如图②，与均为直角三角形，平分，，两点在的异侧．已知，，，求线段的长．
2．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ．
例5．如图，，平分，，与射线相交于点，与直线相交于点．把绕着点旋转．
（1）如图1，当点在射线上时，求证：；
（2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是
（直接写出结论，不必证明）
过关检测
1．如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交与点，与交于点．
（1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系．
（2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积．
例6．如图，在中，，点是的中点，、分别是、上的点，且和互补．
（1）当，如图1，线段、、之间的数量关系是 ；
（2）当，如图 2 ，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，设线段交直线于点，求的长．
过关检测
1．在中，，，，，分别交直线、于点、．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，问线段、、之间有何数量关系，并证明；
（3）如图3，当时，旋转，问线段之间、、有何数量关系？并证明．
例7．如图所示，，平分，点是射线上的一个定点，点在直线上运动，连接，将的两边射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
（1）如图1所示，当点在射线上时，
①请判断线段与的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2所示，当点在射线的反向延长线上时，交射线于点，若，，请直接写出线段的长．
三.手拉手模型
例8．（青羊区校级期末）在等腰与等腰中，，，，且点、、三点在同一条直线上，连接．
（1）如图1，求证：
（2）如图2，当时，试猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当时，请直接写出线段，，之间的数量关系式为： （不写证明过程）
例9．【问题背景】如图1，是正三角形外一点，，则．小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请帮助小明完成他的作图；
【迁移应用】如图2，在等腰中，，，点在外部，使得，若，求；
【拓展创新】如图3，在四边形中，，点在四边形内部，且，，，，，直接写出的长．
过关检测
1．如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接．
（1）如图1，若
①求证：；
②求的度数．
（2）如图2，若，为中边上的高，为中 边上的高，试证明：．
2．（1）方法探索
如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长．
小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把绕着点顺时针旋转得到△，连接，分别证明△和△是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．
解：把绕着点顺时针旋转得到△，连接．
接着写下去：
（2）方法应用
请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：
①如图2，点在等边外，且，，，若，求度数．
②如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已如，．请直接写出的长．
四.半角模型
例10．如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）在图1中，连接，为了证明结论“ “，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？
（3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．
过关检测
1．探究：如图①，点、分别在正方形的边、上，，连结，求证：．
应用：如图②，在四边形中，点、分别在、上，，，，若，，则 ．
学习任务
1．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的结论有 ．
2．（成都期末）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，等腰中，，，作于点，则为的中点，，，在直角三角形中，，且；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，、、三点在同一条直线上，连接．
（1）求证：；（2）请直接写出线段，，之间的等量关系式；
（3）如图2，若，，求线段的长．
3．如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．
（1）如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；
（2）如图②，当点在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点在线段上，若，，当时，请直接写出的长．
第11讲 几何综合（解析版）
目标层级图
本节内容主要讲解几何综合部分，课程目标为带领学生回顾常见几何模型和辅助线做法，加深对模型和对几何知识点（比如三线合一）的理解，提升学生的几何思维和解决综合类几何问题的能力。本节内容一共分为4个板块，分别为中点问题的处理策略（本节主例题主要中点所引发的三线合一与倍长中线），对角互补模型，手拉手模型和半角模型，其中对角互补模型定位为新课，其余3个板块在前面学员都有学习，定位为复习内容。几何综合部分一直属于学生得分率较低的部分，建议授课中多加强模型关键点的梳理，增加对学生思路的引导，确保学生切实掌握每种模型。
本讲义容量偏大，教师可根据实际情况删减例题，半角模型和手拉手模型学生相对熟悉，如果学生掌握的不错，这两个板块可以所见例题和练习量。
注：具体的例题设计逻辑在每个例题处会有标注说明。
课前检测
1．在四边形中，对角线平分．
（1）如图①，当，时，求证：．
（2）如图②，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当，与互补时，线段、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
【分析】（1）由平分，，可得，又由，即可得，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可得；
（2）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、，由平分，可得，又由与互补，可证得，则可得，又由，则可得线段、、有怎样的数量关系为；
（3）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、，与（2）同理可得，则可得，即可求得线段、、有怎样的数量关系为．
【解答】证明：（1）在四边形中，
平分，，
．
又，
．
，
即．
（2）．
证明如下：如图②，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、．
平分，
．
，
，
．
又，
．
．
．
为角平分线，，
，
，
，
．
．
（3）．
证明如下：如图③，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、．
平分，
，，
．
，
，
．
又．
．
．
延长至，使，连接．
，，
．
．
．
．
．
．
课中讲解
一.中点问题
（例1考查三线合一，第（3）问的辅助线也是常见的中垂线辅助线作法，最后一问的结论也可写成是）
例1．已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．
【分析】（1）利用判定，从而得出．
（2）利用判定，得出，又因为，所以．
（3）利用等腰三角形“三线合一”和勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：，，是等腰直角三角形．．
，，且，．
在和中，
．
；
（2）证明：平分，．
在和中
，．
．
又由（1），知，
；
（3）证明：，垂直于，则．
为中点，则（等腰三角形“三线合一”
连接，则，，．
又垂直，
，．
是直角三角形，
，
垂直平分，
，
；即，，
．
方法2，证明：，垂直于，则．
为中点，则（等腰三角形“三线合一”
连接，则，，．
又垂直，．．
过关检测
（第（2）问核心突破点为B关于AQ的对称点恰落在AC上，说明AQ平分∠BAC，又CN⊥AQ，因此想到三线合一，才有了答案中的辅助线作法）
1．如图所示，在中，，．
（1）点在边上，，垂足为，，垂足为，求证：．
（2）如图2，点在边上，点关于直线的对称点恰落在边上，，垂足为，求的值．
【分析】（1）利用证明，可得；
（2）如图2，延长、，交于，先证明，可得，再证明，则，可得结论．
【解答】证明：（1）如图1，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图2，延长、，交于，
点关于直线的对称点恰落在边上，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（例2第（3）考查倍长中线，辅助线还涉及截取法，难度较大，答案给出的辅助线是过点作交的延长线于，建议改成延长BN至点T，使得NT=BN,连接MT，有意识地让学生知道是在利用倍长中线）
例2．已知中，
（1）如图1，点为的中点，连并延长到点，使得，直接写出和的关系；
（2）如图2，若，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连，若，求证：；
（3）如图3，点在内部，且满足，，点在的延长线上，连交的延长线于点，若点为的中点，求证：．
【分析】（1）结论：，．证明，可得结论；
（2）如图2中，过点作于，过点作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，即可解决问题；
（3）过点作交的延长线于，交于，在上取一点，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，即可解决问题．
【解答】（1）解：结论：，．理由：如图1中，
，，，，
，，．
（2）证明：如图2中，过点作于，过点作交的延长线于．
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）证明：过点作交的延长线于，交于，在上取一点，使得，连接．
，，
，，，
，，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
．
过关检测
（要注意隐藏的手拉手模型）
1．如图3，已知和都为等腰直角三角形，，。是的中点，连接并延长至点，．求证：．
【分析】延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可得结论．
【解答】
如图3，延长至，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
又易证（手拉手模型），
又，
，
，
．
二.对角互补模型
对角互补模型知识点由于学生版篇幅限制所以没有放置，教师需要把该内容给学生进行补充讲解，对角互补模型的常见处理策略包括2个，一是引垂线构造全等，二是利用旋转构造全等
类型一：含90°的对角互补模型
（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：
；
；
作法1 作法2
（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：
；
；
作法1 作法2
类型二：含120°的对角互补模型
（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：
；
；
作法1 作法2
（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：
；
；
作法1 作法2
（含90°的对角互补模型）
例3．如图，，平分．将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点．
（1）如图1，当与边垂直时，证明：；
（2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论： （填，，，
（3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点．在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）先判断出四边形是矩形，得出，进而得出，判断出，即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【解答】（1）证明：，，
，
是的平分线，
，
，
，
；
（2）解：，理由：如图2，
过点作于，于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图3，
过点作于，于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
（含90°的对角互补模型面积的计算）
例4．四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积．
【分析】将绕点旋转，使与重合，到点，由条件可得出是等腰直角三角形，且可证明，可得出四边形的面积等于的面积，利用条件可求得四边形的面积．
【解答】解：将绕点旋转，使与重合，到点，
则有，
所以、、在同一直线上，则是三角形，
又因为，
所以是等腰直角三角形，
在和中
，
四边形的面积等于等腰直角三角形的面积，
所以．
过关检测
1．【感知】如图①，，平分．于点，于点，可知．（不要求证明）
【拓展】在图①中，作，，分别交射线，于，两点，求证：．
【应用】如图②，与均为直角三角形，平分，，两点在的异侧．已知，，，求线段的长．
【分析】拓展如图①，证明；证明；证明，得到．
应用如图②，作辅助线；类比（1）中的结论得到：；结合，，得到，；运用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：【拓展】
平分，，，
，；
，
四边形为正方形，
，；
，
；
在与中，
，
，
．
【应用】如图②，过点作；
，交的延长线于点；
由（1）知：（设为，
四边形为正方形，
；而，，
，，
；
由勾股定理得：，
．
2．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 1 ．
【分析】根据题意可得：，所以，从而可求得其面积．
【解答】解：如图，正方形和正方形的边长都是，
，，，
在和中，
，
，
；
则图中重叠部分的面积是，
故答案为：1．
（含120°的对角互补模型）
例5．如图，，平分，，与射线相交于点，与直线相交于点．把绕着点旋转．
（1）如图1，当点在射线上时，求证：；
（2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是 （直接写出结论，不必证明）
【分析】（1）作，交于，证明是等边三角形，得出，，证出，证明，得出，即可得出结论；
（2）作，交于，证明是等边三角形，得出，，证出，证明，得出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：作，交于，如图1所示：
，平分，，
，，是等边三角形，
，，，，
在和中，，，
，，；
（2）解：，理由如下：
作，交于，如图2所示：，平分，
，，，
，是等边三角形，，，
，，
，在和中，，
，，
，；
故答案为：
过关检测
1．如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交与点，与交于点．
（1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系．
（2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积．
【分析】（1）根据角平分线定义得到，推出是等边三角形，得到；
（2）过点作，，根据角平分线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1），平分，，，
，是等边三角形，；
（2）过点作，，平分，，，
，，，，
在与中，，
，，，，平分，
，，，，
四边形的面积．
（没有邻边等的对角互补模型，通常采用旋转构造全等）
例6．如图，在中，，点是的中点，、分别是、上的点，且和互补．
（1）当，如图1，线段、、之间的数量关系是 ；
（2）当，如图 2 ，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，设线段交直线于点，求的长．
【分析】（1） 过作交于，由点是的中点， 得到，，证得，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论；
（2）连接，由，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论；
（3） 连接，，通过，由全等三角形的性质得到，于是得到是等腰直角三角形， 根据勾股定理得到，可得，设，，由勾股定理列方程，即可得到结论 ．
【解答】解： （1）；
如图 1 ，过作交于，
点是的中点，
，，
，
，，，
在与中，
，
，
，
；
故答案为：；
（2） 如图 2 ，连接，
，
，
，
，，
，
即，
在与中，
，
，
，
；
（3） 如图 3 ，连接，，
，，，
，
在与中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
设，
，
，即，
解得：（舍 去） ，，
．
过关检测
1．在中，，，，，分别交直线、于点、．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，问线段、、之间有何数量关系，并证明；
（3）如图3，当时，旋转，问线段之间、、有何数量关系？并证明．
【分析】（1）如图1，连接，由等腰直角三角形可得，，，由“”可证，可得；
（2）如图2，在上截取，连接，，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，则；
（3）如图3，过点作，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，则．
【解答】证明：（1）如图1，连接，
，，，
，，，
，
，且，，
；
（2），
理由如下：如图2，在上截取，连接，，
，，，
，，，
，，，
，，
，
，且，
，且，，
，
；
（3），
理由如下：如图3，过点作，连接，
，，，
，，，
，
，
，
，且，，
，，
，，，
，
，
．
（含60°的对角互补模型）
例7．如图所示，，平分，点是射线上的一个定点，点在直线上运动，连接，将的两边射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
（1）如图1所示，当点在射线上时，
①请判断线段与的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2所示，当点在射线的反向延长线上时，交射线于点，若，，请直接写出线段的长．
【分析】（1）①结论：．只要证明即可．
②结论：．只要证明，再证明即可解决问题；
（2）如图2中，作于，于，于．由（1）可知，，，易知，，，，推出．
【解答】解：（1）①结论：．
理由：如图1中，作于，于．
，平分，于，于
，，
，，
，
．
②结论：．
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
（2）如图2中，作于，于，
由（1）可知，，，
易知，，，，
．
三.手拉手模型
手拉手模型为七下讲解内容，在难版讲义中放置的手拉手例题综合性较强，带领学生回顾模型时一定让学生抓住关键点：共顶点；两个顶角相等的等腰三角形；左手拉左手，右手拉右手（注意判断左右的相对位置）
（例8涉及手拉手模型和特殊角的直角三角形三边比，120度角的三角形腰比底=）
例8．（青羊区校级期末）在等腰与等腰中，，，，且点、、三点在同一条直线上，连接．
（1）如图1，求证：
（2）如图2，当时，试猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当时，请直接写出线段，，之间的数量关系式为： （不写证明过程）
【分析】（1）由“”可证；
（2）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，可得结论；
（3）由，可知，由勾股定理可求，由，，推出，由，即可解决问题；
【解答】证明：（1），，又，，
；
（2），
理由如下：，，
又，，；，
，，，，；
（3）作于．
，，又，，；
，，，，，
，，，，
，
故答案为：．
（例9属于手拉手模型的构造，难度较大）
例9．【问题背景】如图1，是正三角形外一点，，则．小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请帮助小明完成他的作图；
【迁移应用】如图2，在等腰中，，，点在外部，使得，若，求；
【拓展创新】如图3，在四边形中，，点在四边形内部，且，，，，，直接写出的长．
【分析】【问题背景】按题意画出图形即可；
【迁移应用】作线段垂直于交的延长线于点，连接，证得，证明，得出，由三角形的面积可求出答案；
【拓展创新】将绕点顺时针旋转至，连接，证得，由勾股定理求出，证明，由全等三角形的性质得出．
【解答】解：【问题背景】
如图1．
【迁移应用】
如图2，作线段垂直于交的延长线于点，连接，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【拓展创新】
如图3，将绕点顺时针旋转至，连接，
则，，，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
过关检测
1．如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接．
（1）如图1，若
①求证：；
②求的度数．
（2）如图2，若，为中边上的高，为中 边上的高，试证明：．
【分析】（1）①通过角的计算找出，再结合和均为等腰三角形可得出“，”，利用全等三角形的判定即可证出，由此即可得出结论；
②结合①中的可得出，再通过角的计算即可算出的度数；
（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段、的长度，二者相加即可证出结论．
【解答】（1）①证明：，
．
，，
．
和均为等腰三角形，
，．
在和中，有，
，
．
②解：，
．
点，，在同一直线上，且，
，
．
，且，
．
（2）证明：和均为等腰三角形，且，
．
，
，．
在中，，，
．
，，
，
．
在中，，，
．
，，
．
2．（1）方法探索
如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长．
小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把绕着点顺时针旋转得到△，连接，分别证明△和△是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．
解：把绕着点顺时针旋转得到△，连接．
接着写下去：
（2）方法应用
请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：
①如图2，点在等边外，且，，，若，求度数．
②如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已如，．请直接写出的长．
【分析】（1）如图1中，把绕着点顺时针旋转得到△，连接，证明△是直角三角形即可解解决问题．
（2）①如图2中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，证明．，共线，利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题．
②如图3中，过点作，使得，连接，．证明，推出，求出即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，把绕着点顺时针旋转得到△，连接，
由旋转不变性可知，，，，，
，
△为等边三角形，
，，
在△中，，，
．
（2）①如图2中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，
是等边三角形，
，，
由旋转不变性可知，，，，，
，
为等边三角形，
，
，
，，共线，
，，，
，
．
②如图3中，过点作，使得，连接，．
，都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
过点作于，
，，
，
在中，，，，
，
，
，
在中，，
．
解法二：把绕着点逆时针旋转得到，连接，先证明、、共线，再利用勾股定理求解即可．
四.半角模型
半角模型为七下讲解内容，在该部分主要以复习为主，半角模型的复习也要带领学生回顾半角模型的关键点：存在半角，产生半角的两边相等，有一组补角。半角模型的核心点就是通过上述条件进行能将三角形进行旋转，然后在通过半角条件在证明一组全等三角形。
（例10常见的半角模型）
例10．如图1，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）在图1中，连接，为了证明结论“ “，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？
（3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．
【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可；
（2）把绕点逆时针旋转到，交于点，证明即可求得．
（3）如图3中，在上取一点，使得，证明，推出，，证明，推出，设，则，，在中，根据，构建方程求出即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：结论：，
理由：如图2中，把绕点逆时针旋转到，交于点，
同（1）可证得，
，且，
．
（3）解：如图3中，在上取一点，使得，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
过关检测
1．探究：如图①，点、分别在正方形的边、上，，连结，求证：．
应用：如图②，在四边形中，点、分别在、上，，，，若，，则 ．
【分析】（1）如图①中，把绕点逆时针旋转得到，只要证明即可解决问题．
（2）如图②中，将绕点旋转到位置连接．，只要证明得，在△中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图①中，在正方形中，，，
把绕点逆时针旋转得到，
，
点、、共线，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图②中，因为，所以可以将绕点旋转到位置，连接．
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在△中，，，，
．
故答案为．
学习任务
1．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的结论有 ①②③ ．
【分析】如图作于，于．只要证明，，即可一一判断．
【解答】解：如图作于，于．
，，，，，平分，于，于，
，
在和中，，，，
在和中，，，，，故（1）正确，
，定值，故（3）正确，
定值，故（2）正确，
在旋转过程中，是等腰三角形，形状是相似的，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故（4）错误，
故填：（1）（2）（3）．
2．（成都期末）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，等腰中，，，作于点，则为的中点，，，在直角三角形中，，且；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，、、三点在同一条直线上，连接．
（1）求证：；
（2）请直接写出线段，，之间的等量关系式；
（3）如图2，若，，求线段的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图2，作于．根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形得到，于是得到；
（3）根据全等三角形的性质得到，，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】（1）证明：和都是等腰三角形，，
，，，
在和中，，；
（2）解：，
理由：如图2，作于．
，，
在中，，
，，，
；
（3），，，
，，
为直角三角形，，，
，，，，
，，，．
3．如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．
（1）如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；
（2）如图②，当点在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点在线段上，若，，当时，请直接写出的长．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由“”可证；
（2）过点作，交于，可证是等边三角形，可得，由“”可证，可得，即可得；
（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，与为正三角形，
，，
将射线绕点逆时针旋转，，，
，，且，，
，
（2），
理由如下：
如图②，过点作，交于，
，是等边三角形，
，，
，，且，
，，
（3）作于．，，
，
如图③中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时．
，
，
，
过点作，交于，
是等边三角形，
，
，且，
，，，，．
如图③中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时．
同法可证：，，．
如图③中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时．
同法可证：，，，，．
如图③中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时．
同法可知：，，，
综上所述，满足条件的的值为3或5或1．