2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第6节因式分解2（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第6节因式分解2（含答案），共35页。试卷主要包含了已知，，则的值是，已知三角形的三边，，满足，则是，若实数满足，则的值为，分解因式，若，，则代数式的值为　　 ，若实数满足，则　　 ，化简等内容，欢迎下载使用。

目标层级图
课前检测
1．已知，，则的值是
A．100B．110C．120D．125
2．已知三角形的三边，，满足，则是
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形
3．若实数满足，则的值为
A．B．C．D．
4．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
课中讲解
一、十字相乘法
（1）二次项系数为1
1．定义：对于的因式分解则．这就是说，对于二次三项式，如果常数项可以分解为的积()，并且有，那么，这就是分解因式的十字相乘法．
2．方法：特征是“拆常数项，凑一次项”
①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
例1．将下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1．将下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
例2．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
（2）二次项系数不为1
1．定义：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成 的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数，，使得：，，，
注意：若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解
2．方法：它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
注意：不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式 ．
例3．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
例4．分解因式
（1） （2）
过关检测
1．分解因式
（1） （2）
二、分组分解法
1.定义：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解．
2.方法：一般对于四项多项式，且各项没有公因式时，可想到用分组分解法进行因式分解，但要注意分组的合理性。可能是二、二分组，也可能是一、三分组．
3.因式分解的一般解题步骤：（一提二用三分组）
（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；
（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式法或十字相乘法；
①如果多项式有两项，应考虑用平方差公式；
②如果多项式有三项，应考虑用完全平方公式或十字相乘法；
③如果多项式超过三项，应考虑分组分解；
（3）分解因式时必须要分解到不能再分解为止．
例5．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
例6．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
例7．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1．分解因式
（1） （2）
（3）
三、综合应用
例8．（1）若，，则代数式的值为 ．
（2）已知，则的值为 ．
过关检测
1．已知，，则的值为 ．
2．已知，，（1）求的值（2）求的值（3）求的值．
例9．（1）若实数满足，则 ．
（2）已知，则 ．
过关检测
1．如果，那么代数式的值为
A．6B．8C．D．
2．已知，求的值．
例10．（1）化简：，结果是 ．
（2）运用因式分解简便计算 ．
（3）
过关检测
1．利用因式分解计算：
（1） （2） （3）
例11．（1）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状．
（2）若的三边长分别为，，．满足条件，则判断的形状．
过关检测
1．已知，，是的三边，且满足，则的形状是 ．
2．已知、、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状．
例12．（1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，，因此的最小值是2，这时相应的的的值是-1．尝试探究并解答：
①求代数式的最小值，并写出相应的值．
②求代数式的最大值，并写出相应的的值．
（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
过关检测
1．（1）代数式的最小值是 ，这时相应的的值是 ；
（2）代数式的最大值是 ，这时相应的的值是 ．
（3）求多项式的最大值．
学习任务
1．分解因式
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
2．已知，，求代数式的值．
3．已知，求：的值．
4．利用因式分解进行简便计算：
（1） （2）
5．已知，，是三角形三边长，且，试判断三角形形状．
6．当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
第6讲 因式分解2（解析版）
目标层级图
课前检测
1．已知，，则的值是
A．100B．110C．120D．125
【解答】解：，，．
故选：．
2．已知三角形的三边，，满足，则是
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：，，
，，
则或，则或，
故是等腰三角形或直角三角形．
故选：．
3．若实数满足，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：
故选：．
4．分解因式
（1）
【解答】解：原式；
（2）
【解答】解：原式；
（3）
【解答】解：原式；
（4）
【解答】解：原式；
（5）
【解答】解：原式．
（6）
【解答】解：原式；
课中讲解
一、十字相乘法
（1）二次项系数为1
1．定义：对于的因式分解则．这就是说，对于二次三项式，如果常数项可以分解为的积()，并且有，那么，这就是分解因式的十字相乘法．
2．方法：特征是“拆常数项，凑一次项”
①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
例1．将下列各式分解因式：
（1）
【解答】解：原式；
（2）
【解答】解：原式；
（3）
【解答】解：原式
（4）
【解答】解：原式
过关检测
1．将下列各式分解因式：
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式．
（3）
【解答】解：原式
（4）
【解答】解：原式
例2．分解因式
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式．
（3）
【解答】解：原式
（4）
【解答】解：原式
过关检测
1．分解因式
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式．
（3）
【解答】解：原式．
（4）
【解答】解：原式
（2）二次项系数不为1
1．定义：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成 的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数，，使得：，，，
注意：若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解
2．方法：它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
注意：不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式 ．
例3．分解因式
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式．
（3）
【解答】解：原式．
（4）
【解答】解：原式．
过关检测
1．分解因式
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式．
（3）
【解答】解：原式．
（4）
【解答】解：原式．
例4．分解因式
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式．
过关检测
1．分解因式
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式．
二、分组分解法
1.定义：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解．
2.方法：一般对于四项多项式，且各项没有公因式时，可想到用分组分解法进行因式分解，但要注意分组的合理性。可能是二、二分组，也可能是一、三分组．
3.因式分解的一般解题步骤：（一提二用三分组）
（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；
（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式法或十字相乘法；
①如果多项式有两项，应考虑用平方差公式；
②如果多项式有三项，应考虑用完全平方公式或十字相乘法；
③如果多项式超过三项，应考虑分组分解；
（3）分解因式时必须要分解到不能再分解为止．
例5．分解因式
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式．
（3）
【解答】解：原式．
（4）
【解答】解：原式
过关检测
1．分解因式
（1）；
【解答】解：原式；
（2）
【解答】解：原式．
（3）
【解答】解：原式
（4）
【解答】解：原式
例6．分解因式
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式
（3）
【解答】解：原式
（4）
【解答】解：原式．
过关检测
1．分解因式
（1）
【解答】解：原式
（2）
【解答】解：原式
（3）
【解答】解：原式
（4）
【解答】解：原式
例7．分解因式
（1）
【解答】解：原式
（2）
【解答】解：原式
（3）．
【解答】解：原式．
（4）
【解答】解：原式．
过关检测
1．分解因式
（1）．
【解答】解：原式．
（2）．
【解答】解： 原式．
（3）
【解答】解： 原式
三、综合应用
例8．（1）若，，则代数式的值为 ．
【解答】解：，，
，，．
故答案为：．
（2）已知，则的值为 4 ．
【解答】解：，．
故答案为：4．
过关检测
1．已知，，则的值为 ．
【解答】解：，，，
故答案为：．
2．已知，，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
．
例9．（1）若实数满足，则 ．
【解答】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）已知，则 2012 ．
【解答】解：，
．
故答案是：2012．
过关检测
1．如果，那么代数式的值为
A．6B．8C．D．
【解答】解：由得，
，
，
，
，
．
故选：．
2．已知，求的值．
【解答】解：，
，
．
例10．（1）化简：，结果是 ．
【解答】解：原式
．
（2）运用因式分解简便计算 180000 ．
【解答】解：原式故答案为：180000
（3）．
【解答】解：原式
．
答：原式．
过关检测
1．利用因式分解计算：
（1）
（2）
（3）．
【解答】解：（1） 原式
（2）原式；
（3）原式．
例11．（1）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状．
【解答】解：，
，
，
，
得：或，
即为直角三角形或等腰三角形．
（2）若的三边长分别为，，．满足条件，则判断的形状．
【解答】解：，
，
，，，
，，，
，
，
是直角三角形．
过关检测
1．已知，，是的三边，且满足，则的形状是 等腰三角形 ．
【解答】解：，
，
因式分解得：，
，，是的三边，
，
，
，
是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形．
2．已知、、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状．
【解答】解：
且
即，故该三角形是等边三角形．
例12．（1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，，因此的最小值是2，这时相应的的的值是-1．
尝试探究并解答：
①求代数式的最小值，并写出相应的值．
②求代数式的最大值，并写出相应的的值．
【解答】解：①，
代数式的最小值是10，相应的的值是5；
②，
的最大值是31，相应的的值是；
（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【解答】解：原式
，
过关检测
1．（1）代数式的最小值是 ，这时相应的的值是 ；
（2）代数式的最大值是 ，这时相应的的值是 ．
（3）求多项式的最大值．
【解答】解：（1）原式
，是非负数，即，
这个代数式的最小值是-7，这时相应的的值是2．
（2）原式
是非负数，，
这个代数式的最大值是59，这时相应的的值是．
（3）原式，
，，多项式的最大值是16．
学习任务
1．分解因式
（1）
【解答】解：原式；
（2）
【解答】解：原式；
（3）
【解答】解：原式；
（4）
【解答】解：原式．
（5）
【解答】解：原式．
（6）；
【解答】解：原式
（7）；
【解答】解：原式；
（8）
【解答】解：原式；
2．已知，，求代数式的值．
【解答】解：
而，，
．
3．已知，求：的值．
【解答】解：，
，
．
4．利用因式分解进行简便计算：
（1）
【解答】解：原式．
（2）
【解答】解：原式．
5．已知，，是三角形三边长，且，试判断三角形形状．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
三角形为等腰三角形．
6．当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
【解答】解：（3），
当，时，多项式有最小值，这个最小值是5．