2023-2024学年江苏省扬州市各名校高二数学下期中易错题强化训练（含答案）

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A．B．﹣10C．D．10
2．（2023春•高邮市期中）（x﹣3y）（x+y）5的展开式中x4y2的系数是（ ）
A．﹣5B．5C．15D．25
3．（2023春•高邮市期中）甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240B．192C．96D．48
4．（2023春•泰安期末）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣mx在区间[2，4]上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（ ）
A．[4e4，+∞）B．（2e2，4e4）C．[2e2，+∞）D．（2e2，+∞）
5．（2024•宁波二模）如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆x2+y2＝c2上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线C2交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为k1、k2，若椭圆C1的离心率为，则k1•k2的值为（ ）
A．2B．C．D．4
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2022•杭州模拟）一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用A1，A2表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”．则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）7．（2023春•高邮市期中）已知图1中，正方形EFGH的边长为，A、B、C、D是各边的中点，分别沿着AB、BC、CD、DA把△ABF、△BCG、△CDH、ΔDAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）
A．平面AEF⊥平面CGH
B．直线AF与直线CG所成的角为60°
C．直线CG与平面AEF所成角的正切值为
D．多面体ABCD﹣EFGH的体积为
（多选）8．（2023春•广陵区校级期中）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为A1，B1，∠A1AB的平分线与l相交于点P，O为坐标原点，则（ ）
A．AF⊥PF
B．三点A、O、B1共线
C．原点O可能是△PAB的重心
D．△OBF可能是正三角形
（多选）9．（2023秋•滕州市期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P满足，其中λ∈（0，1），μ∈R，且μ≠0，则（ ）
A．对于任意的λ∈（0，1），μ∈R且μ≠0，都有平面ACP⊥平面A1B1D
B．当λ+μ＝1时，三棱锥B﹣A1PD的体积为定值
C．当时，存在点P，使得∠A1PB＞90°
D．当时，不存在点P，使得AP⊥平面PCD
三．填空题（共4小题）
10．（2023春•高邮市期中）已知（m＞1），则的值为 ．（结果用数字作答）
11．（2023春•高邮市期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是线段DD1的中点，点M是正方形B1BCC1所在平面内一动点，若D1M∥平面A1BE，则M点轨迹在正方形B1BCC1内的长度为 ．
12．（2023春•广陵区校级期中）已知直线ax+by+c＝0中的a，b，c是取自集合{﹣2，﹣1，0，1，2}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是 ．
13．（2023春•广陵区校级期中）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，，AB＝2BC＝2，二面角P﹣AB﹣C的大小为．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，球O的体积为 ．
四．解答题（共5小题）
14．（2023春•高邮市期中）如图，在四面体ABCD中，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝45°，，AB＝AC＝3．
（1）求的值；
（2）已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长．
15．（2023春•高邮市期中）甲、乙两位同学参加学校组织的数学文化知识答题游戏，规则如下：甲同学先回答2道题，至少答对一道题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次答题机会．两位同学每答对一道题可获得5积分，答错不得分，甲同学每道题答对的概率均为，乙同学每道题答对的概率均为，每道题答对与否互不影响．
（1）求乙同学有机会答题的概率；
（2）记X为甲和乙同学一共拿到的积分，求X的分布列和数学期望．
16．（2023秋•杭州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．
（1）求证：A1C⊥平面BDE；
（2）若点F为棱B1C1的中点，求点F到平面BDE的距离；
（3）若点F为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角F﹣BD﹣E的余弦值的取值范围．
17．（2023春•广陵区校级期中）如图，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F到上顶点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E，记△ABF，△DEF的面积分别是S1，S2，求的取值范围．
18．（2023春•广陵区校级期中）已知函数f（x）＝ax和g（x）＝ex+1+x+b，a，b∈R．
（1）若直线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在（﹣1，g（﹣1））处相切，求实数a，b的值；
（2）若不等式f（x）≤g（x）恒成立，求的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：由题意得，则（x，﹣1，2）＝λ（1，2，﹣4），即x＝λ，﹣1＝2λ，2＝﹣4λ，解得．
故选：A．
2．【解答】解：多项式的展开式中含x4y2的项为x﹣3y＝（10﹣15）x4y2＝﹣5x4y2，
所以x4y2的系数为﹣5．
故选：A．
3．【解答】解：先将甲乙捆绑在一起，然后和余下除丙以外的4人排成一排，最后再将丙插在正中间，同时减去甲、乙在丙两侧的情况，
故不同的坐法的种数为﹣＝240﹣48＝192．
【另解】丙在正中间（4号位），
甲乙两人只能坐12，23，56，67号位，有4种情况，
考虑甲乙的顺序有种情况，
剩下的4个位置其他四人全排列有种情况，
故不同的坐法的种数为4＝192．
故选：B．
4．【解答】解：因为f（x）＝（x﹣1）ex﹣mx，所以f'（x）＝xex﹣m，
因为f（x）在区间[2，4]上存在单调递减区间，所以存在x∈[2，4]，使得f′（x）＜0，即m＞xex，
令g（x）＝xex，x∈[2，4]，则g'（x）＝（x+1）ex＞0恒成立，所以g（x）＝xex在[2，4]上单调递增，
所以，所以m＞2e2，即实数m的取值范围为（2e2，+∞）．
故选：D．
5．【解答】解：由题意设椭圆标准方程为 ，（a＞b＞0），
双曲线标准方程为，则a2﹣b2＝s2+t2＝c2，
由＝，∴4a2＝5c2，
∵c2＝a2﹣b2，∴b2＝a2，
故椭圆方程为x2+5y2＝a2，联立x2+y2＝c2，可得：4y2＝a2﹣c2＝b2，
∴y＝±b，x2＝c2﹣b2＝b2，
则A（b，b），
由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、B两点关于x轴对称，
则B（b，﹣b），C（﹣b，﹣b），
∴P（b，0），
故kCP＝＝，直线CP：y＝（x﹣b）．
将A点代入 中得，﹣＝1．①
s2+t2＝a2﹣b2＝4b2，②
②①结合得到 s2＝3b2或5b2，
∵a2＝5b2，显然s＜a，
故s2＝3b2，∴t2＝4b2﹣3b2＝b2
故双曲线的方程为﹣＝1．
联立CP：y＝（x﹣b）与﹣＝1，
化为76x2+4bx﹣255b2＝0，
设Q（x0，y0），解得x0＝b，y0＝﹣b，
∴Q（b，﹣b），
∴k1＝kAC＝，k2＝kAQ＝，
∴k1k2＝．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
6．【解答】解：由题意得，P（A1）＝，P（A2）＝，
A选项，P（A2B）＝＝，P（B|A2）＝，A正确；
B选项，P（A1C）＝＝，P（C|A1）＝，B正确；
C选项，P（B|A1）＝，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝＝，C错误；
D选项，P（A2C）＝，D正确．
故选：ABD．
7．【解答】解：取CD、AB的中点O、M，连接OH、OM，如图，∵A、B、C、D是正方形EFGH各边的中点，
则CH＝DH，O为CD的中点，
∴OH⊥CD．
∵平面CDH⊥平面ABCD，平面CDH∩平面ABCD＝CD，OH⊂平面CDH，
∴OH⊥平面ABCD，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
∵O、M分别为CD、AB的中点，则OC∥BM且OC＝BM，且∠OCB＝90°，
所以四边形OCBM为矩形，所以OM⊥CD，
以点O为坐标原点，OM、OC、OH所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），
E（1，﹣1，1），F（2，0，1），G（1，1，1），H（0，0，1）．
选项 A，设平面AEF的一个法向量为 ，
由，取 z1＝1，则x1＝1，y1＝﹣1，则 ．
设平面 CGH 的一个法向量为，
由，取z2＝1，可得 x2＝1，y2＝﹣1则，
，所以平面AEF与平面 CGH不垂直，故A错误；
选项B，，
所以直线AF与CG所成的角为60°，故B正确；
选项D，以ABCD为底面，以|OH|为高将几何体ABCD﹣EFGH 补成长方体ABCD﹣A1B1C1D1，
则 E、F、G、H 分别为A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中点，
因为AB＝1，OH＝，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V＝12×＝，
＝＝，
因此，多面体ABCD﹣EFGH的体积为＝，故D错误；
选项C，，设直线CG与平面 AEF 所成角为θ，
则，
所以，故C正确．
故选：BC．
8．【解答】解：如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，
又AP平分∠A1AB，∴△AFP≌△AA1P，
∴∠AFP＝∠AA1P＝90°，即AF⊥PF，A正确；
设A（x1，y1），B（x2，y2），
AB方程为，代入C的方程得y2﹣2pmy﹣p2＝0，
∴y1+y2＝2pm，，
点，直线OA斜率，直线OB1的斜率，
∴A、O、B1三点共线，B正确；
若原点O是△PAB的重心，而点P的横坐标为，
则，即，
又，又p＞0，
∴，C错误；
∵，∴△OBF不可能是正三角形，D错误．
故选：AB．
9．【解答】解：对于A选项，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，
以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0）、C（a，a，0）、D（0，a，0）、A1（0，0，a）、B1（a，0，a），
设平面A1B1D的法向量为，
则，取y1＝1，可得＝（0，1，1），
因为，
，设平面ACP的法向量为，
则，取x2＝1，可得＝（1，﹣1，1），
因为，即，
对于任意的λ∈（0，1），μ∈R且μ≠0，都有平面ACP⊥平面A1B1D，A对；
对于B选项，当λ+μ＝1时，点P（λa，a，μa），
设平面A1BD的法向量为，
则，取x3＝1，可得，且，
所以，点P到平面A1BD的距离为，
又因为△A1BD的面积为定值，故三棱锥P﹣A1BD的体积为定值，B对；
对于D选项，当时，，
假设存在点P，使得AP⊥平面PCD，因为DC⊂平面PCD，则AP⊥DC，
，则，可得λ＝0，与题设条件不符，
假设不成立，故当时，不存在点P，使得AP⊥平面PCD，D正确；
对于C选项，当时，则，
则，
，故∠A1PB为锐角，C错误．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题）
10．【解答】解：（m＞1），
则m+2m﹣1＝5，解得m＝2，
则
＝
＝
＝
＝
＝126．
故答案为：126．
11．【解答】解：根据题意，取BB1的中点P，连接CP、PD1和CD1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易得BA1∥CD1，则CD1∥平面A1BE，
P为BB1的中点，E为线段DD1的中点，易得CP∥A1E，则CP∥平面A1BE，
而CP∩CD1＝C，
则平面PCD1∥平面A1BE，
若D1M∥平面A1BE，则M∈平面PCD1，
又由M∈平面B1BCC1，则M的轨迹为线段PC，
又由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则CP＝＝，
即M点轨迹在正方形B1BCC1内的长度为．
故答案为：．
12．【解答】解：设倾斜角为θ，则tanθ＝﹣＞0．ab＜0．集合{﹣2，﹣1，0，1，2}中元素是相反数．
（1）c＝0，a有两种取法，b有两种取法，排除1个重复（2x﹣2y＝0与x﹣y＝0为同一直线），故这样的直线有2×2﹣1＝3条；
（2）c≠0，则a＝1，b＝﹣2与a＝2，b＝﹣1以及a＝﹣1，b＝2，或a＝﹣2，b＝1时，c有2种取法，满足题目要求的直线有4×2＝8条．
a＝1，b＝﹣1与a＝2，b＝﹣2以及a＝﹣1，b＝1，或a＝﹣2，b＝2时，c有两种取法，但是化简后与上面的直线相同，
从而，符合要求的直线有3+8＝11条．
故答案为：11．
13．【解答】解：设点P在平面ABC内的射影为H，连接AH，
考虑到二面角P﹣AB﹣C的大小为，则点H与点C在直线AB的两侧，
因为PH⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以PH⊥AB，又PA⊥AB，PA∩PH＝P，PA，PH⊂平面PAH，
所以AB⊥平面PAH，AH⊂平面PAH，
所以∠PAH为二面角P﹣AB﹣C的平面角的补角，
所以，又，
所以PH＝AH＝2，从而三棱锥P﹣ABC的高为2．
又△ABC的面积．
所以当AB⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值为1，
所以当AB⊥BC时，三棱锥P﹣ABC的体积最大，
因此点C和点P在图中两全等长方体构成的大长方体的体对角线的顶点上，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
因为球O的球心O与△ABC的外接圆的圆心的连线垂直平面ABC，
△ABC为AC为斜边的直角三角形，所以其外接圆的圆心为AC的中点，
所以球O的球心O在底面ABC内的射影为线段AC的中点，
于是设．又A（0，0，0），P（﹣2，0，2），
由|OA|＝|OP|，得，
解得z＝，则球O的半径R＝，
所以球O的体积．
故答案为：5π．
四．解答题（共5小题）
14．【解答】解：（1）在四面体ABCD中，解：（1）设＝，＝ ＝，
则||＝||＝3，||＝，＜，＞＝∠BAC＝60°，＜，＞＝∠BAD＝45°，＜，＞＝∠CAD＝45°，
＝（﹣）•（﹣）＝（﹣）•（﹣）＝•﹣•﹣•+
＝||•||cs45°﹣||•||cs60°﹣||•||cs45°+||2＝3×﹣32×﹣3×+32＝；
（2）由（1）知，因为＝2，则＝＝，
因为F是CD中点，则＝＝（﹣＝﹣，
如图，于是＝++＝﹣++﹣＝﹣++，
因||2＝（﹣++）2＝++﹣•﹣•+•＝
×9+×9+×2﹣×9×cs60°﹣×3×ccs45°+×3×ccs45°＝，
即有||＝，所以线段EF的长为．
15．【解答】解：（1）乙同学有机会答题的概率为．
（2）X的所有可能取值为0，5，10，15，20，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
．
16．【解答】证明：（1）法一：连结AC1，∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，
又C1D⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴C1D⊥BD
∵AC∩C1D＝D，AC，C1D⊂平面AA1C1C
∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，
由题设知四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1，
∵D，E分别为AC，CC1中点，∴DE∥AC1，∴A1C⊥DE，
∵BD∩DE＝D，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，
∴A1C⊥平面BDE．
法二：由C1D⊥平面ABC，BD，AC⊂平面ABC，∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，
又△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，
则以D为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
∴，，
∵，
∴BD⊥A1C，DE⊥A1C
又∵BD∩DE＝D，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，∴A1C⊥平面BDE．
解：（2）由（1）坐标法得，
平面BDE的一个法向量为，
∵
∴点到F到平面BDE的距离d＝＝＝．
解：（3）∵，
设，则，
∴，∴，∴；
由（1）知A1C⊥平面BDE，
∴平面BDE的一个法向量
设平面FBD的法向量，
则•＝0，•＝0，即，令，则a＝0，c＝﹣λ，∴，
∴|cs＜＞|＝＝＝＝•，
令3﹣λ＝t∈（2，3），则λ＝3﹣t，
∴|cs＜＞|＝•＝•＝•，
∵，∴，∴|cs＜＞|∈（，），
即锐二面角F﹣BD﹣E的余弦值的取值范围为．
17．【解答】解：（1）由题意可得，，a2＝b2+c2，
解得b＝1，c＝1，所以椭圆的方程为；
（2）设A（x1，y1），y1≠0，B（﹣x1，﹣y1），E（x2，y2），D（x3，y3），
所以直线AD的方程为，联立得，即，
所以D点的坐标为，同理，所以，
所以．
18．【解答】解：（1）g′（x）＝ex+1+1，∴g′（﹣1）＝2，∴切点坐标为（﹣1，2），
得g′（﹣1）＝2＝a，∴a＝2，再将切点坐标代入g（x），得b＝﹣2；
（2）设F（x）＝ex+1+（1﹣a）x+b，定义域为R，因为F′（x）＝ex+1+1﹣a，
（ⅰ）若1﹣a＞0，即a＜1时，F′（x）＞0，F（x）在R上单调递增，
∵当x＜﹣1时，F（x）＜（1﹣a）x+b+1≤（1﹣a）x+|b|+1，
∴取，则F（x0）＜（1﹣a）（﹣1﹣）+|b|+1＝a﹣1＜0，不合题意；
（ⅱ）若1﹣a＝0，即a＝1时，F′（x）＝ex+1＞0，则F（x）在R上单调递增，
若不等式F（x）＝ex+1+b≥0恒成立，则b≥0，∴，即的最小值为0；
（ⅲ）若1﹣a＜0，即a＞1时，
令F′（x）＞0，解得x＞ln（a﹣1）﹣1，令F′（x）＜0，解得x＜ln（a﹣1）﹣1，
∴F（x）在（﹣∞，ln（a﹣1）﹣1）上单调递减，在（ln（a﹣1）﹣1，+∞）上单调递增；
若不等式F（x）≥0恒成立，则F（ln（a﹣1）﹣1）＝2（a﹣1）+（1﹣a）ln（a﹣1）+b≥0，
即b≥2（1﹣a）+（a﹣1）ln（a﹣1），∴；
设a﹣1＝t（t＞0），则，
设（t＞0），则，又l（t）＝t+lnt﹣1为增函数，
l（1）＝0，∴当t∈（0，1）时，φ′（t）＜0，
φ（t）单调递减，当t∈（1，+∞）时，φ′（t）＞0，φ（t）单调递增，
∴φ（t）≥φ（1）＝﹣1，此时a＝2，即的最小值为﹣1，综上所述的最小值为﹣1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/17 12X
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