北京市延庆区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份北京市延庆区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题，共7页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 若，，则， 在中，，，则等内容，欢迎下载使用。

2023.7
本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，，则（ ）
A. B. 2C. D. －2
3. 向量，，若，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D. －1
4. 已知直线a与平面，，则“”是“且”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在半径为4m的扇形中，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如果直线a和b是空间中两条不相交的直线，则必定存在平面，使得（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
7. 在中，，，则（ ）
A. －1B. 1C. D.
8. 已知一个长方体的长、宽、高分别为4、4、2，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
9. 已知一个正六棱台的两底面边长分别为2m，4m，高是2m，则该棱台的斜高为（ ）
A. 2mB. C. D. 4m
10. 如图，在正方体中，Q是棱上的动点，下列结论正确的个数是（ ）
①存在点Q，使得；
②存在点Q，使得；
③对于任意点Q，Q到的距离为定值；
④对于任意点Q，都不是锐角三角形.
A. 1B. 2C. 3D. 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 计算______.
12. 已知，且，则______.
13. 已知一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为______.
14. 已知函数，且的相邻两个对称中心的距离为2，则______.
15. 在中，，，只需添加一个条件，即可使存在且唯一.在条件：①；②；③；④中，所有可以选择的条件的序号为______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题12分）
已知中，，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求c；
（Ⅲ）求的面积.
17.（本小题15分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值.
18.（本小题15分）
已知中，.
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若，，求c.
19.（本小题15分）
如图，在三棱锥中，，，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点，平面EFG与棱BD交于点H.
（Ⅰ）求证：平面EFG；
（Ⅱ）求证：平面平面EFHG.
20.（本小题15分）
如图，在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，且底面ABCD，，点F为棱PC的中点，平面ADF与棱PB交于点E.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面AEFD.
21.（本小题13分）
已知实数集，定义.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求集合A；
（Ⅲ）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值.
延庆区2022-2023学年第二学期期末考试
高一数学参考答案
2023.7
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. D 2. A 3. D 4. B 5. C 6. C 7. A 8. B 9. C 10. A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 12. 13. 14. －1 15. ②③（注：对一个3分，对两个5分，有错误0分）
三、解答题（共6小题，共85分）
16.（本小题12分）
解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，……1分
可得，解得；……3分
（Ⅱ）由余弦定理，可得，……5分
整理得，解得（舍负），……8分
即；……9分
（Ⅲ）由的面积，……10分
可得.……12分
17.（本小题15分）
（Ⅰ）
，……4分
函数的最小正周期为，……6分
由，，……7分
解得，……9分
所以的单调递增区间为，；……10分
（Ⅱ）因为，所以，……11分
当，即时，取最大值，最大值为，……13分
当，即时，取最小值，最小值为0.……15分
18.（本小题15分）
（Ⅰ）由已知，
由正弦定理，……1分
，……2分
，……3分
在中，又因为，……4分
所以，又因为，所以；……6分
（Ⅱ）在中，由，，得，……8分
又因为，……9分
所以
，……12分
由正弦定理得
.……15分
19.（本小题15分）
（Ⅰ）证明：因为E，F分别是AC，AD的中点，
所以EF为的中位线，所以，……2分
又因为平面EFG，平面EFG，……4分
则平面EFG；……5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，
又因为，所以，……7分
又因为E，G分别是AC，BC的中点，所以，……9分
又因为，所以，……11分
又因为，所以平面EFHG，……13分
又因为平面ABC，平面平面EFHG.……15分
20.（本小题15分）
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以，……1分
平面PBC，平面PBC，……3分
所以平面PBC，……4分
又因为平面ADF与PB交于点E，所以平面平面，……5分
平面ADFE，所以；……7分
（Ⅱ）因为，，所以，……8分
又因为点F为棱PC的中点，点E为PB的中点，……9分
因为，点E为PB的中点，所以，……10分
又因为平面ABCD，面ABCD，所以，……11分
又ABCD为正方形，，……12分
又因为，所以面PAB，……13分
又因为面PAB，所以，……14分
又因为，所以平面AEFD.……15分
21.（本小题14分）
解：（Ⅰ）；（多写或少写一个元素扣1分）……2分
（Ⅱ）首先，，……3分
其次A中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记，不妨设或者……4分
①当时，，，
相乘可知，，从而，
从而，所以；……5分
②当时，与上面类似的方法可以得到，
进而，从而.……7分
所以或者；……8分
（Ⅲ）估值＋构造 需要分类讨论A中非负元素个数.
将中元素的个数记为.
先证明.考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一：A中没有负数.
不妨设，则
上式从小到大共有个数，它们都是的元素，
这表明.……11分
情况二：A中至少有一个负数.
设，，…，是A中的全部负元素，，，…，是A中的全部非负元素.
不妨设
其中s，t为正整数，，，.
于是有
以上是中的个非正数元素：
另外，注意到
它们是中的5个正数.这表明.
综上可知，总有.……12分
另一方面，当时，中恰有13个元素.……13分
综上所述，中元素个数的最小值为13.