中职数学高教版（中职）基础模块上册2.1.2 不等式的基本性质获奖教案设计

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2.1 不等式的基本性质
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课时长
2课时
授课类型
新授课
教学提示
本课由实际问题入手，引出比较两个实数大小的“做差比较法”．并将在初中所学一些不等式的性质的基础上，进一步研究不等关系，梳理不等式的基本性质．
教学目标
能熟练使用“作差比较法”，能举例说明不等式的基本性质，逐步提高数学抽象核心素养；能利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系，逐步提高逻辑推理核心素养．
教学重点
“作差比较法”，不等式的性质的简单应用
教学难点
不等式性质的应用
教学环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
同学们，与相等关系相比，不等关系在现实世界中更为普遍．我们知道，不等式就是描述不等关系的一种重要的数学表示形式，我们将通过实数大小的比较，来研究不等式的基本性质．
2.1.1实数的大小
你知道吗？两个周长相等的矩形，如图所示，它们的面积哪个更大呢？
图2-1（1）所示为正方形，面积为3cm×3cm=9cm2；图2-1（2）所示为长方形，面积为4cm×2cm=8cm2．由于9−8=1＞0，所以它们的面积不相等，且图2-1（1）所示正方形的面积大于图2-1（2）所示矩形的面积．
说明
展示情境
提出问题引导学生观察分析
体会
观察情境
思考问题
计算
分析
判断
从具体的问题引导学生发现两个实数大小比较的方法，使学生能够顺利完成比较大小的抽象过程，培养学生数学抽象的核心素养．
探索新知
一般地，对于任意实数a，b，如果那么称a大于b（或b小于a）．
因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数a，b都可以在数轴上找到对应的点A和B，如图所示．
从图中，我们容易观察到，当点A在点B的右边时，a>b；当点A在点B的左边时，a因此，关于实数a，b的大小关系，我们可以通过以下运算来表示：
由此可知，要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差与的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法．
精炼语言
讲解关键词语
数形结合
提出数轴表示的意义
强调
解释等价符号
归纳
总结
体会
理解
分析
领会
总结
记忆
师生共同总结两个实数比较大小的方法，并利用数轴进一步说明，数形结合深化“作差比较法”，培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养
例题辨析
例1 比较与的大小．
解 因为
，
所以．
例2比较与的大小．
解 因为
，
所以．
探究与发现
设a，b均为实数，试比较a²＋b²－ab与ab的大小．
提问
引导
分析
提问
引导
分析
提问
分析
观察
思考
求解
观察
思考
求解
观察
思考
理解
通过例题帮助学生掌握“作差比较法”，培养学生的数学运算、逻辑推理等核心素养
巩固练习
练习2.1.1
1．比较下列各组实数的大小．
（1）与；（2）与；（3）与0.83．
2．若，比较与的大小．
3．比较与2x2+3的大小．
提问
指导
思考
动手
求解
交流
通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
情境导入
2.1.2不等式的性质
上一节我么学习的比较两个实数大小的作差比较法为研究不等式奠定了基础．那么，如何用这个方法研究不等式的性质呢？
在义务教育阶段，我们学习过一些不等式的性质，如：
性质1 如果，那么．
性质1表明，不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变．因此性质1也称为不等式的加法法则．
利用不等式的加法法则，容易证明：
如果，那么．
这表明，不等式的任何一项可以从不等式的一边移到另一边，但同时要改变符号．这条结论也称为移项法则．
性质2 如果，，那么；
如果，，那么．
性质2表明，不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
性质2也称为不等式的乘法法则．
说明
回顾义务教育阶段学习过的不等式性质，引导学生进一步认识和思考不等式的基本性质
体会
回忆
观察
思考
计算
分析
判断
通过利用“作差比较法”让学生尝试进行一些不等式性质的证明，提高学生的数学思维能力，培养学生逻辑推理、数学抽象等核心素养
探索新知
性质1的证明
由a＞b知，a– b＞0，于是
(a＋c)–(b＋c)=a＋c–b–c=a–b＞0，
所以
a＋c＞b＋c．
当然，我们也可以借助数轴来看性质1，如图所示，实数a、b和在数轴上分别对应点A和B，a+c和b+c在数轴上分别对应点A'和点B'．当c>0时，点A和点B同时向右平移c个单位，即可到达点A'和点B'的位置；当c<0时，点A和点B同时向左平移c个单位，即可到达点A'和点B'的位置．
显然，两种情况中，点A'点B'的左右位置与点A和点B的情况相同．
性质3如果，，那么．
证明 由a＞b，b＞c，有
a−b＞0，b−c＞0；
所以
a－c＝a−b＋b−c＝(a −b)＋(b −c)＞0，
由此得a＞c．
性质3表明不等式具有传递性．
同样，我们也可以借助数轴来看不等式的传递性．如图所示，对于实数a、b和c，它们在数轴上分别对应点A、B和C，由a>b，所以点A在点B的右边，又因为b>c，即点B在点C右边，所以三个点从左到右依次为点C、点B和点A，即a>b>c．
利用已有的性质可以证明如下结论：
性质4 如果，，那么．
性质4也称为同向不等式的可加性．
证明 因为，，由性质1得
，，
由性质3得
．
尝试利用“作差比较法”证明
数形结合利用数轴说明
强调
说明
分析
引导学生证明
说明
引导
分析
说明
分析
体会
理解
分析
领会
思考
讨论
尝试证明
总结
记忆
思考
讨论
尝试证明
总结
记忆
教师引导学生了解性质的证明步骤和方法，并数形结合利用数轴进一步说明不等式性质，培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养
例题辨析
例3 用符号填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质．
（1）如果a（2）如果a>b，那么a+4 b+2；
（3）如果a（4）如果a>b，那么3a−2 3b−3．
解 （1）根据不等式性质1，不等式aa−5（2）根据不等式性质1，不等式a>b两边同时加上4，不等号方向不变，即
a+4>b+4，
又因为b+4>b+2，所以根据不等式性质3，可以得到a+4>b+2．
（3）根据不等式性质2，不等式a−a2>−b2．
（4）根据不等式性质2，不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，即
3a>3b，
再仿照（2）的方法，可以得到
3a−2>3b−3．
例4若，，试证明．
解 因为，，由不等式的性质2得
．
同理，由，，得
．
因此，由不等式的性质3可得．
例5 如果代数式与代数式的差不大于2，求x的取值范围．
解 由题可知
，
化简得
，
因此
，
故
．
所以x的取值范围是{x|}．
探究与发现
如果a>b，c>d，是否有“a-c> b-d”成立呢？如果成立，请说明理由；否则，请举出反例．
提问
引导
分析
提问
引导
分析
提问
分析
提问
分析
观察
思考
求解
观察
思考
求解
观察
思考
求解
思考
领悟
通过例题帮助学生不等式基本性质的熟练应用，培养学生的逻辑推理等核心素养
巩固练习
练习2.1.2
1．已知a＞b，用符号“＞”或“＜”填空:
（1）a+1 b+1；（2） -5a -5b；
（3） 3a+3 3b+2．
2．判断下列结论是否正确，并说明理由．
（1）如果a（2）如果a>b，那么a2>b2；
（3）如果a>b且c>d ，那么a+c>b+d ．
3．若代数式3x-5与代数式x+2的差不小于3，求x的取值范围．
提问
巡视
指导
思考
动手
求解
交流
通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
归纳总结
引导
总结
反思
交流
培养学生
总结学习
过程能力
布置作业
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾；
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．
说明
记录
巩固提高查漏补缺