浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试卷（四）

这是一份浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试卷（四），共13页。试卷主要包含了单选题等内容，欢迎下载使用。

1．已知向量，，若与平行，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．0
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（ ）
A．3B．C．D．1
4．已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α
C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
5．在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A＝“第二次摸出的球是红球”，事件B＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=25，则下列结论中错误的是（ ）
A．P(B)=25B．P（C）＝1﹣P（A）
C．P(A∪B)=45D．P(A∩B)=110
6．在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．D．5
7．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A.316B．34
C．1316D．14
8．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ）
A．6B．212
C．252D．272
多选题
9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．P(A)=14 B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立 D．P(A∪B)=34
10．下列有关复数的说法正确的是（ ）
A．若复数z=z，则z∈R B．若|z1|＝1，则|z1+1﹣i|的最小值为2-1
C．若z是复数，则一定有|z|2＝z2 D．若z1，z2∈C，则z1⋅z2=z1⋅z2
11．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．，，若，则这样的三角形有两个
C．若，则为钝角三角形
D．的面积公式为
12．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则
D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形
填空题
13．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_______________
14．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，，，，则A，B两点间的距离是__________km.
如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+12AB→(m∈R)，若AC＝2，
AB＝4，则AP→⋅CD→的值为 ．
解答题
16．（2022春·江苏南京·高一统考期末）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值和下四分位数；
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数，中位数和方差（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．
17．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在中，分别为角的对边，，且，.
(1)求角大小.
(2)为边上一点，，且__________，求的面积.
（从①为的平分线，②为的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）
18．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图所示，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的正弦值
19．（2022春·山东济南·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，，△PAD为正三角形，平面平面ABCD，G为边AD的中点．
(1)求证：平面PAD；
(2)若BG与AC交于点E，设点F是棱AP上一动点，试确定点F的位置，使得平面PBC，并证明你的结论；
(3)求二面角的正切值
20．（2022春·浙江宁波·高一统考期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷04
一、单选题
1．已知向量，，若与平行，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．0
【解】由已知，，
又与共线，所以，解得．故选：C．
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（ ）
A．B．
C．D．
【解】A. 因为，，则，无解；
B. 因为， ，则，又，则，有两解，故错误；
C. 因为，则，所以无解，故错误；
D. 因为，，则，又，且，所以，故有一解，故正确.
故选：D
3．已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（ ）
A．3B．C．D．1
【解】因为，所以.因为，为夹角为60°的两个单位向量，
所以
故选：C
4．已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α
C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
【解】对于A，由平面与平面平行的性质，可得A正确；
对于B，由直线与平面平行的判定定理，可得B正确；
对于C，m与n的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C错误；
对于D，由平面与平面垂直的性质，D正确．
故选：C．
5．在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A＝“第二次摸出的球是红球”，事件B＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=25，则下列结论中错误的是（ ）
A．P(B)=25B．P（C）＝1﹣P（A）
C．P(A∪B)=45D．P(A∩B)=110
【解】依题意，事件A，C对立，P（A）+P（C）＝1，故B正确；
设盒子中有m个红球，5﹣m个黄球，P(A)=m5⋅m-14+5-m5⋅m4=4m20=25⇒m=2
P(A∩B)=25⋅14=110，P(B)=25⋅14+35⋅24=25，故AD正确；
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=710，故C错误．
故选：C．
6．在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．D．5
【详解】

三点共线即
，故的最小值为.
故选：C.
7．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A．316B．34C．1316D．14
【解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，
∴灯泡不亮的概率是 12×12×12×12+12×12×12×12+12×12×12×12=316，
∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，
∴灯亮的概率是1-316=1316，
故选：C．
8．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ）
A．6B．212C．252D．272
【解】取BC中点E，∵∠BAC＝90°，∴E为△ABC的外接圆圆心，
过E作AD的平行线，由球的性质可知，球心O必在此平行线上，
作OF∥AE，交AD于F，如图所示：OA=OE2+AE2，OD=OF2+DF2=AE2+DF2，
OA＝OD，∴AF＝DF＝OE=12AD＝1，
∵球O的表面积为22π∴球O的半径R=222，设AB＝x，AC＝y，
由R=OC=CE2+OE2=x2+y24+1=222，得：x2+y2＝18，
∴三棱锥A﹣BCD侧面积S＝S△ABD+S△ACD+S△ABC=12•2x+12•2y+12xy＝x+y+12xy，
由x2+y2≥2xy，得：xy≤9，（当且仅当x＝y＝3时取等号），
又（x+y）2＝x2+y2+2xy≤18+x2+y2＝36（当且仅当x＝y＝3时取等号），
∴S≤6+92=212（当且仅当x＝y＝3时取等号）．
故选：B．
多选题
9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．P(A)=14
B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．P(A∪B)=34
【解】对于A，P（A）=24=12，A错误；
对于B，实验的总结果数为4×4＝16，A，B同时发生的结果数为4，
所以P（A∩B）=416=14≠0，A，B不互斥，B错误；
对于C，B发生的结果数为2×2+2×2＝8，P（B）=816=12，
P（AB）＝P（A∪B）=14=P（A）×P （B），所以事件A与事件B相互独立，C正确；
对于D，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）=12+12-14=34，D正确．
故选：CD．
10．下列有关复数的说法正确的是（ ）
A．若复数z=z，则z∈R
B．若|z1|＝1，则|z1+1﹣i|的最小值为2-1
C．若z是复数，则一定有|z|2＝z2
D．若z1，z2∈C，则z1⋅z2=z1⋅z2
【解】对于A，设z＝a+bi，（a，b∈R），则z=a﹣bi，
若z=z，则b＝0，∴z∈R，故A正确；
选项B：若|z1|＝1，设z1＝csθ+isinθ，则z1+1﹣i＝（csθ+1）+（sinθ﹣1）i，
则|z1+1-i|=(csθ+1)2+(sinθ-1)2=3+2(csθ-sinθ)=3+22cs(θ+π4)，
所以当cs(θ+π4)=-1时，|z1+1﹣i|取最小值3-22=2-1，故B正确．
对于C，当z＝1+i时，则|z|2＝2，zz2＝2im，
∴|z|2≠z2，故C错误；
对于D，令z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝m+ni（m，n∈R），
则z1•z2＝ma﹣nb+（mb+na）i，
z1⋅z2=ma﹣nb﹣（mb+na）i，
∵z1=a﹣bi，z2=m﹣ni，
∴z1⋅z2=（a﹣bi）（m﹣ni）＝ma﹣nb﹣（mb+na）i，
∴若z1，z2∈C，则z1⋅z2=z1⋅z2，故D正确．
故选：ABD．
11．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．，，若，则这样的三角形有两个
C．若，则为钝角三角形
D．的面积公式为
【解】若，则，由正弦定理得；
若，则，从而，所以A正确；
由正弦定理得，
所以，只有一解，所以B不正确；
若，则，所以为锐角，无法得出为钝角三角形，所以C不正确；
因为，所以，
所以的面积，所以D正确.
故选：AD.
12．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则
D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形
【解】由余弦定理，A正确；
，由正弦定理得，，是三角形内角，所以或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B正确；
由得，，同上得或，C错；
D中，sin2C＞sin2A+sin2B，由正弦定理c2＞a2+b2，可得csC=a2+b2-c22ab＜0，所以C为钝角，所以D正确；
故选：ABD．
填空题
13．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_______________
【解】由于，所以，即，
∴，又，
∴，
，
∴，由于，
∴.
14．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，，，，则A，B两点间的距离是__________km.
【解】由题意，△为等边三角形，即，
又，，则，
∴在△中，，可得，
∴在△中，，故.
故答案为：
15．如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+12AB→(m∈R)，若AC＝2，AB＝4，则AP→⋅CD→的值为 ．
【解】由AD→=2DB→，可得AD→=23AB→，
又C，P，D三点共线，
则有AP→=mAC→+(1-m)AD→=mAC→+2-2m3AB→，
∵AP→=mAC→+12AB→(m∈R)，
∴2-2m3=12，即m=14，
又CD→=CA→+AD→=-AC→+23AB→，
且∠BAC=π3，AC＝2，AB＝4，
故AP→⋅CD→=（14AC→+12AB→）•（-AC→+23AB→）
=-14AC→2+13AB→2-13AC→⋅AB→
=-14×4+13×16-13×2×4×12
＝3．
故答案为：3．
解答题
16．（2022春·江苏南京·高一统考期末）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和方差（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．
【详解】（1）解：由题意有，解得.
（2）解：应聘者笔试成绩的众数为，
应聘者笔试成绩的平均数为．
所以方差为
（3）解：，所以，面试成绩的最低分为百分位数，
前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，
设百分位数为，则，解得.
因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.
17．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在中，分别为角的对边，，且，.
(1)求角大小.
(2)为边上一点，，且__________，求的面积.
（从①为的平分线，②为的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）
【详解】（1）
由正弦定理得：
，
，
，
（2）选①：由平分得：
，
所以，（1）
在中，由余弦定理得：
所以，（2）
（1）（2）联立得
解得，解得，
所以，
选②：，
，得（1）
中，由余弦定理得
所以，（2）
（2）-（1）即可得，.
18．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图所示，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的正弦值．
【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连，依题意，平面，
而平面，则，又是正三角形，即有，，
平面，于是平面，因为为的中点，则，
即四边形是平行四边形，有，则四边形是平行四边形，有，
所以平面．
（2）由（1）知，，，平面，
则平面，而平面，于是平面平面，
平面平面，在平面内过作于，则平面，
连，因此是直线与平面所成的角，正的边长为2，则，
又，，于是，，又，因此，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
19．（2022春·山东济南·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，，△PAD为正三角形，平面平面ABCD，G为边AD的中点．
(1)求证：平面PAD；
(2)若BG与AC交于点E，设点F是棱AP上一动点，试确定点F的位置，使得平面PBC，并证明你的结论；
(3)求二面角的正切值．
【解】（1）连接BD，因为底面ABCD为菱形，所以，
又，所以△ABD为正三角形，又，所以，
又面面ABCD，面面，面ABCD．
所以，面PAD．
（2）当点F是棱AP上靠近点A的三等分点时，面PBC．理由如下：
连接EF，BD．因为底面ABCD为菱形，所以AC与BD互相平分，
又，所以是△ABD重心，即，
又，则，
所以，又，所以，，又平面PBC，
平面PBC，所以，面PBC，
（3）连接PG，过点G作于M，连接PM，
因为△PAD为正三角形．又，所以，
又面面ABCD，面面，面，
所以，面ABCD，所以，面ABCD，
又，所以，平面，．
所以，是二面角的平面角的补角．
又中，，正△PAD中，．
所以，，
所以，二面角的正切值为．
20．（2022春·浙江宁波·高一统考期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
解:(1)由正弦定理得：，所以，
又因为，所以，，又，所以.
(2)
由（1）知，又是锐角三角形，所以，由正弦定理得，
，
因为，所以，所以ac的取值范围为，因为，
所以面积的取值范围为