山西省吕梁市2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1.已知复数z满足,则复数在复平面对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知等边的边长为1,点D,E分别为,的中点,若,则( )
A.B.C.D.
3.设,则对任意实数是的( )
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点O出发,每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度,设经过5次移动后,该质点位于x的位置,则( )
A.B.C.D.
5.已知实数a,b满足,,则b的可能值为( )
A.6B.3.5C.2.5D.4.5
6.设,当m,n变化时的最小值为( )
A.B.C.D.
7.在四面体中,与互相垂直,,且,则四面体体积的最大值为( )
A.4B.6C.8D.4.5
8.设函数.若实数a,b,使得对任意恒成立,则( )
A.-1B.0C.1D.
二、多项选择题
9.已知等差数列的首项为,公差为d,前n项和为,若,则下列说法正确的是( )
A.当,最大
B.使得成立的最小自然数
C.
D.中最小项为
10.已知椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,两曲线有公共焦点,,P是椭圆与双曲线的一个公共点,,以下结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.是公差为-1的等差数列
11.已知正方体的棱长为2,O是空间中的一动点,下列结论正确的是( )
A.若点O在正方形内部,异面直线与所成角为,则的范围为
B.平面平面
C.若,则的最小值为
D.若,则平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题
12.在的展开式中,x的系数为__________.(用数字作答)
13.设抛物线的焦点为F,过点的直线l与抛物线交于A,B两点,与y轴的负半轴交于C点,已知,则__________.
14.对任意闭区间I,用表示函数在I上的最大值,若正实数a满足,则a的值为________.
四、解答题
15.国家高度重视食品、药品的安全工作,某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核,通过随机抽样抽取其中的50家,统计其考核成绩(单位:分),并制成如下频率分布直方图.
(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);
(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会,并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言,记抽到的企业中考核成绩在的企业数为Y,求Y的分布列与数学期望;
(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布,其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x,近似为样本方差,经计算得,利用该正态分布,估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式:,,则,
,
16.已知函数,
(1)讨论函数的单调性
(2)若对任意的,,倠恒成立,则实数a的取值范围.
17.如图,P为圆锥的顶点,O为圆锥底面的圆心,为底面直径,为底面四O的内接正三角形,且的边长为,点E在母线上,且,.
(1)求证:,并求三棱锥的体积;
(2)若点M为线段上的动点,当直线与平面所成角的正弦值最大时,求此时点M到平面的距离.
18.如图,已知,分别为椭圆的左,右焦点,椭圆M上的动点,若P到左焦点距离的最大值为,最小值为.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)过动点作椭圆M的切线,分别与直线和相交于D,C两点,记四边形的对角线,相交于点N,问:是否存在两个定点S,T,使得为定值?若存在,求S,T的坐标;若不存在,说明理由.
19.对于无穷数列,若对任意且,存在,使得成立,则称为“G数列”.
(1)若数列的通项公式为,试判断数列是否为“G数列”,并说明理由;
(2)已知数列为等差数列,
①若是“G数列”,,且,求所有可能的取值;
②若对任意,存在,使得成立,求证:数列为“G数列”.
参考答案
1.答案:D
解析:因为,则
则其对应的点为,所以在第四象限.故选:D.
2.答案:B
解析:在中,取为基底,
则,,
因为点D,E分别为,的中点,
所以,
所以.
故选:B.
3.答案:C
解析:的定义域为R,
且,
因为为奇函数,
当时,函数,均为单调递增函数,所以在单调递增.
进而可得在R上单调递增,,
故对任意实数是的充要条件,故选:C
4.答案:C
解析:题意当时,X的可能取值为1,3,5,且
故选:C.
5.答案:B
解析:因为实数a,b满足,
所以,则,即.
令,,
则,.
所以函数的图象与直线在上有两个不同的交点.
令,解得:;令,解得:,
所以函数在区间上单调递增;在区间上单调递减.作出函数的图象:又因为,,所以.故选:B
6.答案:C
解析:在上,在上,设P到准线做墼线交准线于点G,x轴于H.
,
又为焦点F到上点的最小值,故
,,,故选C.
7.答案:A
解析:由题可知,点B在平面内以为焦点的椭圆上,点C在平面内以为焦点的椭圆上,所以,即,由椭圆定义可知,即,所以B,C到中点M距离的最大值为,所以中,
时的最大值为3,
8.答案:B
解析:函数,
依题意,对任意的恒成立,
即对恒成立,
因此对恒成
立,于是,显然,否则且,矛盾,
则,显然,否则且,矛盾,
从而,解得,
所以.故选:B.
9.答案:BD
解析:根据题意:,,即,两式相加,
解得:,,,,当时,最大,故A错误
由,可得到,所以,
,所以,故C错误;
由以上可得:,
,而,
当时,;当时,;要使得成立的最大自然数,故B正确.当,或时,;当时,;
由,
所以中最小项为,故D正确.故选:BD.
10.答案:BCD
解析:设,,
由于椭圆与双曲线有公共焦点,所以,所以A选项错误.
根据椭圆和双曲线的定义得:
所以,,
由余弦定理得,
,
,B选项正确.
,,C选项正确.
,,
,D选项正确.故选:BCD.
11.答案:BCD
解析:对于A,选项A,以D为坐标原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
则,
则
因为,
所以,,
故,则的取值范围为,故A不正确;对于B,在正方体中,平面平面显然成立.故B正确;对于C,如图所示,在上取点,使得,
在上取点K,使得,则由,即,故点O是线段上一点.将平面沿展开至与平面共面,此时,当,O,D三点共线时(如图),
取得最小值,故C正确;对于D,因为,所以,又,可知O是线段上一点,如图所示,
连接并与交于点Z.当O与D重合时,平面与平面重合,此时截面面积为4.当O在线段(不含点D)上时,平面截正方体所得截面为三角形,且当O与Z重合时,截面为,此时截面面积最大,由三边长均为,故此时截面面积最大值为.当O在线段(不含点B,Z)上时,如图所示,
延长异与交于点W,作平行于并与交于点R,则截面为等腰梯形,设,则,,梯形的高,面积为.当O与B重合时,截面为矩形,面积为.故平面截正方体所得截面面积的最大值为,故D正确,故选BCD.
12.答案:15
解析:在的展开式的通项公式:
令,解得,故x的系数为.故答案为:15.
13.答案:
解析:由,可得,所以①,且,又可设直线的方程为:,与抛物线联立得:,,,,
故,从而②,
结合①②可得,从而.
故答案为:
14.答案:或
解析:当时,,
由可得,此时;
当时,,或.
若,则由可得,因,故无解;
若,则由可得,此时,即;
当时,,
因区间的长度至少为,故,,
而显然不成立,故舍去;
综上,a的值为或.
故答案为:或.
15.答案:(1)84.67;
(2)11
解析:(1)这50家食品生产企业考核成绩的平均数为:
由频率分布直方图得内,
,
解得中位数(分).
(2)这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有
家
其中考核成绩在内的企业有家,
由题意可知,Y的可能取值为0,1,2,
,,,
Y的分布列为:
(3)由题意得,,
,(家)
估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.
16.答案:(1)单调性见解析;
(2)
解析:(1)的定义域为,,
令,
又,
①,当,即时,,此时,在上单调递增
②,当,即时,
令,解得,
其中,当时,,,
在,单调递增,在单调递减;
当时,,,,,,
故在单调递减,单调递增.
综上:
,在上单调递增;
,在,上单调递增;
,在上单调递减,在上单调递增.
(2)法一:不妨设,则,同除以得,所以令在
①,若,恒成立,符合题意.
②,当,恒成立,
令则,
所以在单调递增,在单调递减,
所以,所以
③,若,同理恒成立,由②知,当,
所以不存在满足条件的a.
综上所述:
法二:.
令,则只需在单调递增,
即恒成立
,令,则恒成立;
又
①当时,在单调递增成立;
②当时,在单调递增,又,,故不恒成立.不满足题意;
③当时,由得,在单调递减,在单调递增,
因为恒成立,所以
解得;
综上,.
17.答案:(1)证明见解析;;
(2)
解析:(1)设,连接,
为底面圆O的内接正三角形,
,F为中点,
又,
,;
,,,,
,,,,;
平面,平面,平面平面,
平面平面,平面,平面,
又面,,
又,,面,又面,
所以
又平面,,
平面,平面,平面;
F为中点,,即,
又平面,平面,平面,,,
,平面,平面,
,,
,
又,平面,
.
(2),F为中点,又,
E为中点,,
,,
以F为坐标原点,,,正方向为x,y,z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
,,
,,,
,,
设,
;
设平面的法向量,
则
则
令,解得:,,,
设直线与平面所成角为,
,
令,则,,
,
,当,
即时,,
,此时,
,
点M到平面的距离.
18.答案:(1);
(2)存在,定点,
解析:(1)由题知,设为椭圆上任意一点,
由得
又,得
又,
,得,,,
所以椭圆M的标准方程为.
(2)因为点在椭圆上,
则,即,
又因为,
取,
所以,
所以切线的斜率,
所以切线方程为
由,可得,
假设,
所以切线方程为:,
即,
所以切线的方程为,
令得,令知:得,
,则直线,①
,则直线,②
由①②知:,
点N的轨迹方程为,
即存在定点,,使得为定值6.
19.答案:(1)是“G数列”,理由见解析;
(2)①9,10,12,16;②证明见解析
解析:(1)数列的通项公式为,
对任意的,,都有,,,
取,则,所以是“G数列”.
(2)数列为等差数列,
①若是“G数列”,,且,,,
则,
对任意的,,,,
,由题意存在,使得,
即,显然,,
所以,即,
.所以d是8的正约数,即,
时,,,;时,,;
时,,;时,,.
综上,的可能值为9,10,12,16.
②若对任意,存在,使得成立,
所以存在,,,
设数列公差为d,则,,
可得,
对任意,,,,
则,取,
可得,
所以数列是“G数列”.
Y
0
1
2
P
山西省吕梁市2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案): 这是一份山西省吕梁市2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案),共21页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
数学-山西省吕梁市2024届高三下学期三模考试: 这是一份数学-山西省吕梁市2024届高三下学期三模考试,共14页。
山西省吕梁市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试卷(含答案): 这是一份山西省吕梁市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试卷(含答案),共13页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。