山西省吕梁市2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)

这是一份山西省吕梁市2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足，则复数在复平面对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知等边的边长为1，点D，E分别为，的中点，若，则( )
A.B.C.D.
3．设，则对任意实数是的( )
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于x的位置，则( )
A.B.C.D.
5．已知实数a，b满足，，则b的可能值为( )
A.6B.3.5C.2.5D.4.5
6．设，当m，n变化时的最小值为( )
A.B.C.D.
7．在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为( )
A.4B.6C.8D.4.5
8．设函数.若实数a，b，使得对任意恒成立，则( )
A.-1B.0C.1D.
二、多项选择题
9．已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是( )
A.当，最大
B.使得成立的最小自然数
C.
D.中最小项为
10．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点，，P是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.是公差为-1的等差数列
11．已知正方体的棱长为2，O是空间中的一动点，下列结论正确的是( )
A.若点O在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为
B.平面平面
C.若，则的最小值为
D.若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题
12．在的展开式中，x的系数为__________.（用数字作答）
13．设抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，与y轴的负半轴交于C点，已知，则__________.
14．对任意闭区间I，用表示函数在I上的最大值，若正实数a满足，则a的值为________.
四、解答题
15．国家高度重视食品、药品的安全工作，某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图.
（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到0.01）；
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为Y，求Y的分布列与数学期望；
（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？（结果保留整数）.
附参考数据与公式：，，则，
，
16．已知函数，
（1）讨论函数的单调性
（2）若对任意的，，倠恒成立，则实数a的取值范围.
17．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面四O的内接正三角形，且的边长为，点E在母线上，且，.
（1）求证：，并求三棱锥的体积；
（2）若点M为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面的距离.
18．如图，已知，分别为椭圆的左，右焦点，椭圆M上的动点，若P到左焦点距离的最大值为，最小值为.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）过动点作椭圆M的切线，分别与直线和相交于D，C两点，记四边形的对角线，相交于点N，问：是否存在两个定点S，T，使得为定值？若存在，求S，T的坐标；若不存在，说明理由.
19．对于无穷数列，若对任意且，存在，使得成立，则称为“G数列”.
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“G数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“G数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“G数列”.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，则
则其对应的点为，所以在第四象限.故选：D.
2．答案：B
解析：在中，取为基底，
则，，
因为点D，E分别为，的中点，
所以，
所以.
故选：B.
3．答案：C
解析：的定义域为R，
且，
因为为奇函数，
当时，函数，均为单调递增函数，所以在单调递增.
进而可得在R上单调递增，，
故对任意实数是的充要条件，故选：C
4．答案：C
解析：题意当时,X的可能取值为1,3,5,且
故选：C.
5．答案：B
解析：因为实数a，b满足，
所以，则，即.
令，，
则，.
所以函数的图象与直线在上有两个不同的交点.
令，解得：；令，解得：，
所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减.作出函数的图象：又因为，，所以.故选：B
6．答案：C
解析：在上，在上，设P到准线做墼线交准线于点G，x轴于H.
，
又为焦点F到上点的最小值，故
，，，故选C.
7．答案：A
解析：由题可知，点B在平面内以为焦点的椭圆上，点C在平面内以为焦点的椭圆上，所以，即，由椭圆定义可知，即，所以B，C到中点M距离的最大值为，所以中，
时的最大值为3，
8．答案：B
解析：函数，
依题意，对任意的恒成立，
即对恒成立，
因此对恒成
立，于是，显然，否则且，矛盾，
则，显然，否则且，矛盾，
从而，解得，
所以.故选：B.
9．答案：BD
解析：根据题意：，，即，两式相加，
解得：，，，，当时，最大，故A错误
由，可得到，所以，
，所以，故C错误；
由以上可得：，
，而，
当时，；当时，；要使得成立的最大自然数，故B正确.当，或时，；当时，；
由，
所以中最小项为，故D正确.故选：BD.
10．答案：BCD
解析：设，，
由于椭圆与双曲线有公共焦点，所以，所以A选项错误.
根据椭圆和双曲线的定义得：
所以，，
由余弦定理得，
，
，B选项正确.
，，C选项正确.
，，
，D选项正确.故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：对于A，选项A，以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，
则
因为，
所以，，
故，则的取值范围为，故A不正确；对于B，在正方体中，平面平面显然成立.故B正确；对于C，如图所示，在上取点，使得，
在上取点K，使得，则由，即，故点O是线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，此时，当，O，D三点共线时（如图），
取得最小值，故C正确；对于D，因为，所以，又，可知O是线段上一点，如图所示，
连接并与交于点Z.当O与D重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4.当O在线段（不含点D）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当O与Z重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为.当O在线段（不含点B，Z）上时，如图所示，
延长异与交于点W，作平行于并与交于点R，则截面为等腰梯形，设，则，，梯形的高，面积为.当O与B重合时，截面为矩形，面积为.故平面截正方体所得截面面积的最大值为，故D正确，故选BCD.
12．答案：15
解析：在的展开式的通项公式:
令,解得,故x的系数为.故答案为：15.
13．答案：
解析：由，可得，所以①，且，又可设直线的方程为：，与抛物线联立得：，，，，
故，从而②，
结合①②可得，从而.
故答案为：
14．答案：或
解析：当时，，
由可得，此时；
当时，，或.
若，则由可得，因，故无解；
若，则由可得，此时，即；
当时，，
因区间的长度至少为，故，，
而显然不成立，故舍去；
综上，a的值为或.
故答案为：或.
15．答案：（1）84.67；
（2）11
解析：（1）这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：
由频率分布直方图得内，
，
解得中位数（分）.
（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有
家
其中考核成绩在内的企业有家，
由题意可知，Y的可能取值为0，1，2，
，，，
Y的分布列为：
（3）由题意得，，
，（家）
估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.
16．答案：（1）单调性见解析；
（2）
解析：（1）的定义域为，，
令，
又，
①，当，即时，，此时，在上单调递增
②，当，即时，
令，解得，
其中，当时，，，
在，单调递增，在单调递减；
当时，，，，，，
故在单调递减，单调递增.
综上：
，在上单调递增；
，在，上单调递增；
，在上单调递减，在上单调递增.
（2）法一：不妨设，则，同除以得，所以令在
①，若，恒成立，符合题意.
②，当，恒成立，
令则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以
③，若，同理恒成立，由②知，当，
所以不存在满足条件的a.
综上所述：
法二：.
令，则只需在单调递增，
即恒成立
，令，则恒成立；
又
①当时，在单调递增成立；
②当时，在单调递增，又，，故不恒成立.不满足题意；
③当时，由得，在单调递减，在单调递增，
因为恒成立，所以
解得；
综上，.
17．答案：（1）证明见解析；；
（2）
解析：（1）设，连接，
为底面圆O的内接正三角形，
，F为中点，
又，
，；
，，，，
，，，，；
平面，平面，平面平面，
平面平面，平面，平面，
又面，，
又，，面，又面，
所以
又平面，，
平面，平面，平面；
F为中点，，即，
又平面，平面，平面，，，
，平面，平面，
，，
，
又，平面，
.
（2），F为中点，又，
E为中点，，
，，
以F为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，，，
，，
设，
；
设平面的法向量，
则
则
令，解得：，，，
设直线与平面所成角为，
，
令，则，，
，
，当，
即时，，
，此时，
，
点M到平面的距离.
18．答案：（1）；
（2）存在，定点，
解析：（1）由题知，设为椭圆上任意一点，
由得
又，得
又，
，得，，，
所以椭圆M的标准方程为.
（2）因为点在椭圆上，
则，即，
又因为，
取，
所以，
所以切线的斜率，
所以切线方程为
由，可得，
假设，
所以切线方程为：，
即，
所以切线的方程为，
令得，令知：得，
，则直线，①
，则直线，②
由①②知：，
点N的轨迹方程为，
即存在定点，，使得为定值6.
19．答案：（1）是“G数列”，理由见解析；
（2）①9，10，12，16；②证明见解析
解析：（1）数列的通项公式为，
对任意的，，都有，，，
取，则，所以是“G数列”.
（2）数列为等差数列，
①若是“G数列”，，且，，，
则，
对任意的，，，，
，由题意存在，使得，
即，显然，，
所以，即，
.所以d是8的正约数，即，
时，，，；时，，；
时，，；时，，.
综上，的可能值为9，10，12，16.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，，，
设数列公差为d，则，，
可得，
对任意，，，，
则，取，
可得，
所以数列是“G数列”.
Y
0
1
2
P