广西壮族自治区南宁市第二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份广西壮族自治区南宁市第二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.2的相反数是（ ）
A.B.C.D.2
2.点所在的象限是（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.南宁地铁1号线2016年12月28日全线通车，通车当日总客运量约19.9万人次.19.9万用科学记数法表示正确的是（ ）
A.B.C.D.
4.如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A.垂线段最短B.点到直线的距离
C.两点确定一条直线D.两点之间线段最短
5.直线a、b、c中，，，则直线a与直线c的关系是（ ）
A.相交B.平行C.垂直D.不确定
6.下列现象是平移的是（ ）
A.闹钟的钟摆的运动B.电梯从底楼上升到顶楼
C.碟片在光驱中运行D.卫星绕地球运动
7.如图，小颖同学按图中的方式摆放一副三角板，画出.依据是（ ）
A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行
C.平行于同一直线的两条直线平行D.同旁内角互补，两直线平行
8.下列说法中，错误的是（ ）
A.8的立方根是2B.的平方根是
C.4的算术平方根是D.立方根等于的实数是
9.如图，，平分.若，则的度数为（ ）
A.90°B.100°C.110°D.120°
10.把方程去分母正确的是（ ）
A.B.
C.D.
11.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A.B.C.D.
12.如图，，，则、、的关系为（ ）
A.B.
C.D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分.
13.如果电影院的5排2号座位用表示，那么该电影院的4排6号座位可以表示为______.
14.“同位角相等”是______命题填真或假
15.在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______.
16.如果一个正数的两个平方根为，，则______.
17.如图，将沿方向平移3个单位得，若的周长等于18，则四边形的周长为______.
18.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…那么点的坐标为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分.
19.解方程组：.
四、解答题：本题共7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
20.（本小题6分）
计算：.
21.（本小题10分）
如图，已知点A，B，C的坐标分别为，，，且三角形中任意一点经过平移后对应点的坐标为.
（1）将三角形作同样的平移得到三角形，请在图中画出三角形，并直接写出点，，的坐标；
（2）在（1）的条件下求三角形的面积.
22.（本小题10分）
【问题解法】：如图①，，点E是，内部一点，连接，.若，，求的度数；小明想到了如图②所示的方法，请你帮他将完整的求解过程补充完整；
解：过点E作，
（______），
，（已知），
（______），
（______）（两直线平行，内错角相等），
又（角的和与差），
（______），
，（已知），
______（等量代换）.
23.（本小题10分）
大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为.
（1）整数部分是______，小数部分是______；
（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求的立方根；
（3）已知，其中x是整数，且，求的值.
24.（本小题10分）
（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）.
图1
图2 图3
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果.无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的______线.
（2）已知，如图3，，平分，平分.
求证：（写出每步的依据）.
25.（本小题10分）
某市化工厂与A地有公路20km、铁路110km相连，与B地有公路10km、铁路120km相连.这家工厂从A地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨6000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元，铁路运价为1.2元，且这市次运输共支出公路运费16500元，铁路运费96000元.
（1）求购进原料与制成的产品各多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
26.（本小题10分）
如图，O为直线上一点，将两个直角三角板的顶点叠合在O处，其中一个直角三角板的另一顶点也叠合在直线EF上的B点处.
（1）在如图的位置，若射线是的平分线，试判断射线是否为的平分线？并说明理由；
（2）在如图的位置，若，求的大小；
（3）将直角三角板绕O点逆时针方向旋转，旋转角度不超过180度，在旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2的相反数是，
故选：C.
根据相反数的概念解答即可.
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“－”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.
2.【答案】A
【解析】解：点所在的象限是第一象限.
故选：A.
根据各象限内点的坐标特征解答.
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限.
3.【答案】B
【解析】解：19.9万，
故选：B.
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数.
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值.
4.【答案】A
【解析】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故选：A.
根据垂线段最短得出即可.
本题考查了直线的性质，线段的性质，垂线段最短，点到直线的距离等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键.
5.【答案】B
【解析】解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出，故选B.
根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
6.【答案】B
【解析】解：A、闹钟的钟摆的运动为旋转现象，故该选项不符合题意；
B、电梯从底楼上升到顶楼为平移现象，故该选项符合题意；
C、碟片在光驱中运行为旋转现象，故该选项不符合题意；
D、卫星绕地球运动为旋转现象，故该选项不符合题意.
故选：B.
平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，根据平移的定义分析即可.
本题考查了平移现象，熟练根据平移的定义联系实际生活是解题的关键.
7.【答案】B
【解析】解：，，
，
（内错角相等，两直线平行），
故选：B.
根据平行线的判定定理求解判断即可.
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键.
8.【答案】C
【解析】解：A、8的立方根是2，正确，不符合题意；
B、的平方根是，正确，不符合题意；
C、4的算术平方根是2，原说法错误，符合题意；
D、立方根等于的实数是，正确，不符合题意.
故选：C.
根据立方根、平方根及算术平方根的概念对各选项进行逐一分析即可.
本题考查的是立方根、平方根及算术平方根，熟知以上知识是解题的关键.
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，利用两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键.先利用平行线的性质易得，因为平分，所以，再利用平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，得出结论.
【解答】
解：，，
，
平分，
，
故选B.
10.【答案】C
【解析】解：，
去分母，得，
故选：C.
根据等式的性质去分母即可.
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键.
11.【答案】D
【解析】解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故选：D.
根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.
12.【答案】A
【解析】解：如图，延长交于点G，延长交于点H.
在中，；
在中，，
，
，
，
即
故选：A.
首先构造辅助线，再利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系.
此题主要考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质，解题的关键是是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角.
13.【答案】
【解析】解：电影院的5排2号座位用表示，
该影院的4排6号座位可以表示为，
故答案为：.
根据（排，号）这一有序数对，明确对应关系，排在前，号在后，即可得出结论.
本题考查了坐标确定位置，解决问题的关键是利用有序数对确定位置.
14.【答案】假
【解析】解：同位角不一定相等，所以命题“同位角相等”是假命题.
故答案为假.
根据平行线的性质进行判断.
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.
15.【答案】5
【解析】解：在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是5，
故答案为：5.
根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值判断即可.
本题考查了点的坐标，熟练掌握点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键.
16.【答案】1
【解析】解：由题意得，
，
解得，
故答案为：1.
根据正数的两个平方根互为相反数进行求解.
此题考查了平方根知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识.
17.【答案】24
【解析】解：沿方向平移3个单位得，
，，
的周长等于18，
，
四边形的周长
故答案为：24.
先根据平移的性质得，，然后，通过线段等量代换计算四边形的周长.
本题考查了平移，图形的周长，解决问题的关键是熟练掌握平移图形的全等性，连接各组对应点的线段平行或在（同一直线上）且相等，图形的周长的定义.
18.【答案】
【解析】解：根据题意可知，，，，，，，，，……，
坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半，
，
点的纵坐标为0，横坐标为，
点的坐标，
故答案为：.
动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可.
本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题.
19.【答案】解：，
由①得，③，
将③代入②得，，
解得，，
将代入③得，，
所以方程组的解为
【解析】将变形为，代入中消去x，解出y的值，再进一步将y的值代入值求解x即可.
本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，
然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去消去一个未知数的方法叫作加减消元法.
20.【答案】解：
.
【解析】首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可.
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.
21.【答案】解：（1）由题意知，三角形是向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到的三角形
如图，三角形即为所求.
点，，
（2）三角形的面积为.
【解析】（1）由题意知，三角形ABC是向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到的三角形.根据平移的性质画图，即可得出答案.
（2）利用割补法求三角形的面积即可.
本题考查作图-平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键.
22.【答案】两直线平行，内错角相等平行于同一条直线的两条直线平行等量代换100°
【解析】解：过点E作，
（两直线平行，内错角相等）
，（已知）；
（平行于同一条直线的两条直线平行）；
（两直线平行，内错角相等）；
又（角的和与差）；
（等量代换），
，（已知）；
（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；；等量代换；100°
过点E作，利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，再利用等量代换可得，即可解答.
本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.
23.【答案】
【解析】解：（1），
，
即整数部分是6，小数部分是，
故答案为：6；；
（2），
，
，，
则，
那么的立方根为3；
（3），
，
，
，其中x是整数，且，
，，
那么
（1）估算出在哪两个连续整数之间即可；
（2）分别估算出及在哪两个连续整数之间后即可求得a，b的值，然后将其代入中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案；
（3）估算出的范围后即可确定x，y的值，然后将其代入中计算即可.
本题考查无理数的估算及立方根的定义，将各数进行正确的估算是解题的关键.
24.【答案】垂
【解析】（1）解：①如图2所示：
图2
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的垂线.
故答案为垂；
（2）证明：平分，平分（已知），
，（角平分线的定义），
（已知，
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
（等式性质），
（内错角相等，两直线平行）.
（1）①过P点折纸，使痕迹垂直直线a，然后过P点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线b；
②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的垂线.
（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论.
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线的性质与判定.
25.【答案】解：（1）设购进原料x吨，制成产品y吨，
根据题意得：，
解得：.
答：购进原料400吨，制成产品300吨；
（2）根据题意得：
（元）.
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多887500元.
【解析】（1）设购进原料x吨，制成产品y吨，根据“这次运输共支出公路运费16500元，铁路运费96000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用这批产品的销售款比原料费与运输费的和多的费用＝这批产品的销售款－（原料费＋运输费），即可求出结论.
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.
26.【答案】解：（1）射线是的平分线，理由如下：
因为射线是的平分线，，
所以，
所以，
，
所以射线是的平分线；
（2）因为，
所以，
所以；
即的大小为16°；
（3）和互补，理由如下：
分情况讨论：
①当在的右侧时，如图，
由图可知，，，
所以；
②当在的左侧时，如图，
由图可知，，
因为，
所以，
③当在上方时，如图，
由图可知，，，
所以；
综上可知，和互补.
【解析】本题主要考查角度的和差计算，涉及补角的定义，余角的定义，角平分线的定义等相关知识，由图形得到角度之间的和差关系是解题关键.
（1）利用角的和差计算并判断；
（2）利用角的和差计算；
（3）读懂题意，掌握旋转的过程，发现与之间存在互补的关系.