精品解析：2024年河北国际学校教育集团（河北省石家庄市第四十二中学）中考三模数学试题（解析版）

这是一份精品解析：2024年河北国际学校教育集团（河北省石家庄市第四十二中学）中考三模数学试题（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题各3分，7~16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某日我市的最高气温为零上，记作（或），最低气温为零下，则可用于计算这天温差的算式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了本题考查了正负数的意义、有理数的减法，利用最高温度减去最低温度，即可得出算式．
【详解】解：由题意得：可用于计算这天温差的算式是，
故选：B ．
2. 如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在上，则的度数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角板的特点，根据三角板的特点得出，由此即可得出答案，熟练掌握三角板的特点是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：，
∴的度数可能是，
故选：C ．
3. 某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得阴影部分所在扇形圆心角为在圆周角中所占比即为所求的概率．
【详解】解：因为，所以顾客获奖的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何型概率，这是基础题．
4. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有米，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：．
故选：B．
5. 将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式即可得出答案，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴？是，
故选：A ．
6. 如图，五边形是正五边形，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
连接，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
【详解】如图, 连接,
∵五边形是正五边形，
，，
，
，
，




故选: C．
7. 化简的结果是（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同分母分式的减法，根据同分母分式的减法计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
故选：D ．
8. 如图，由5个大小相同的小正方体组成的几何体中，在几号小正方体上方添加一个相同的小正方体，其左视图可保持不变的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形判定即可．
【详解】解：原几何体从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故在几号小正方体上方添加一个相同的小正方体，其左视图可保持不变的是③，
故选：C ．
9. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（ ）
甲：设人数为人，可列方程，
乙：设羊价为元，可列方程为．
A. 只有甲对B. 只有乙对C. 甲、乙都对D. 甲、乙都错
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设人数为人，可列方程，如果设羊价为元，可列方程，然后即可作答．
【详解】设人数为人，可列方程，
如果设羊价为元，可列方程，
则甲对，乙错．
故选：A．
10. 如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，当时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
连接，由圆周角定理得，由切线的性质得到，利用同角的余角相等得到．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∵与相切于点A，是的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11. 综合实践课上，嘉嘉设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程如下
根据嘉嘉尺规作图痕迹，完成下面的证明．
证明：，，
四边形是平行四边形（①__________）（填推理依据）．
又：，
四边形是矩形（②__________）（填推理依据）．
①②应该填的内容分别是（ ）
A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形、对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形、对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定，先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证，熟练掌握矩形的判定与平行四边形的判定是解此题的关键．
【详解】证明：，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又：，
四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故选：D．
12. 已知通过电阻R的电流I和电阻两端电压满足关系式，如图所示的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个电阻在不同电路中通过电阻的电流与该电阻阻值的情况，其中描述甲、丙两个电阻的情况点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻两端的电压最小的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据反比例函数的几何意义，即可求解．
【详解】解：∵甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数为,
∴甲、丙两个电阻的电压相等，
如图所示，设丁所表示的点为，点A在反比例函数上，则点A与甲、丙的电阻的电压相等，
根据反比例函数的几何意义，矩形的面积小于的面积，即丁的电压大于A的电压，
同理，乙所表示的点在反比例函数图象左侧，则即乙的电压小于甲、丙的电压，

故选：B．
13. 如图，正方形的边长为6，点分别在上，，连接，与相交于点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，由正方形的性质结合勾股定理得出，，，证明，得出，求出，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵为的中点，
∴，
故选：A．
14. 如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、动点问题的函数图象，先证明，设，则，整理得：，由图象得出函数关系式为，从而即可得出的值，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
整理得：，
由图象可得：点从点运动到点过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴，
∴，
故选：A．
15. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（ ）
A. 增加0.5米B. 增加1米C. 增加2米D. 减少1米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则，
，
，
∴，，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
令，则，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图，
，
即，，，
∴，则，
∴米，
∴光源与小明的距离应增加米，
故选：C．
16. 如图，已知抛物线，直线，下列判断中：
①当或时，；
②当或时，；
③当时随x的增大而增大；
④使的x的值有3个．
其中正确的个数有（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由图知：抛物线与直线交于和，由此可判断①正确；求出，将和代入求值即可判断②正确；由，根据二次函数的增减性可判断③错误；由得，则可得或．根据一元二次方程根的判别式即可判断④错误．
【详解】由图知：抛物线与直线交于和，
当或时，；
故①正确；
当时，，
当时， ，
故②正确；
，开口向下，对称轴为，
∴当时随x的增大而减小；
故③错误；
由得，
∴或．
由得，
∵，
∴此方程无解；
由得，
∵，
∴此方程由两个不相等的实数根．
∴使的x的值有2个，
故④错误；
综上，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确利用数形结合得出是解题关键．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．其中17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17. 已知，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，根据，代入数据计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为： ．
18. 计算的结果为___________，这个数落在了数轴上的___________段．
【答案】 ①. ②. ②
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算、实数与数轴，先根据二次根式的乘法求出式子的值，再估算出，从而得出，即可得解．
【详解】解：，
∵，
∴，即，
∴，即，故这个数落在了数轴上的②段，
故答案为：，② ．
19. 将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放．
（1）___________；
（2）已知点在边上，则的最大值为___________．
【答案】 ①. 30 ②.
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为，
∴，
故答案为：；
（2）如图，连接交于，连接，交于，则，
，
∴当、重合时，点到线段的值最大，为，
由正六边形的性质可得：，
∴是等边三角形，
∴，故，
∵，
∴，，
∴，，
∴的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到．
（1）把放入其中，求得到的新有理数．
（2）若把放入其中，得到的新有理数为，则求n的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算：
（1）直接根据新定义代值计算即可；
（2）根据新定义可得，解方程即可．
【小问1详解】
解：将代入，得
【小问2详解】
解：将代入，得
．
21. （1）如图1，对一个正方形进行了分割，请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：
方法1：___________，方法2：___________．
（2）根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为___________；
（3）利用等量关系解决下面的问题：
①，，求；
②如图2，点是线段上的一点，分别以，为边向线段两侧作正方形，正方形，设，两正方形的面积和为20，则的面积为___________．

【答案】（1）；；（2）；（3）①13；②4
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式及其在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示大正方形的面积即可；
（2）根据（1）可以得到数量关系；
（3）利用完全平方公式的变形计算即可；
（4）利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】（1）方法一：大正方形面积等于边长的平方：即，
方法二：大正方形面积等于四个部分面积之和：即．
（2）；
（3）①当，时，
②设两个正方形的边长为，
∴．
22. 为了丰富学生的在校生活，美丽中学准备开设A：历史，B：化学，C：生涯，D：心理四个社团，并要求每个学生只能参与并且只能参与一项社团．学校随机抽查部分学生进行调查，方便了解学生参与社团的情况，根据调查结果绘制了两张统计图，但是被小明同学的墨水浸染了统计图．请结合统计图所在的信息，解决下列问题．

（1）扇形统计图中，B所对的扇形圆心角的度数是多少？
（2）补充条形统计图．
（3）估计美丽中学2000名学生中参加心理社团的学生人数是多少？
（4）美丽中学思政部要求各社团进行思想政治建设，并且要求英语素质高的学生．学校将符合条件的两名学生（2男2女）担任思想政治引领人．请用画树状图的方法，求出恰好选中1男1女的概率．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）500人
（4）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的结合，用样本估计总体，利用列表法求概率，正确地求出利用条形统计图和扇形统计图计算出各类型的人数是解题的关键．
（1）算出调查的总人数，然后求出B的占比，再乘以即可；
（2）利用调查总人数减去被调查的参与其余三类的学生人数，即可得到参与A类型的学生人数，将条形统计图补充完成即可；
（3）利用参加心理社团的学生占比乘以该中学2000名学生，即可解答；
（4）画树状图分析，根据概率公式，即可解答．
【小问1详解】
解：总人数为：，
B所对的扇形圆心角的度数是；
【小问2详解】
解：A组人数为，
补图如下：
【小问3详解】
解：，
估计美丽中学2000名学生中参加心理社团的学生人数是500人；
【小问4详解】
解：画树状图，如图，

总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中所评选2名学生为1名男生1名女生的结果有8种，所以恰好选中1名男生和1名女生的概率．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与轴，轴交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）求的面积；
（3）若直线上有一点使得的面积等于的面积，直接写出点的坐标．
【答案】（1）；直线的解析式为
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算．
（1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）先求出，再根据图象即可求解；
（3）设，根据或即可求解；
【小问1详解】
解：∵，
∴将点代入得，
∴；
∵的长为4，
∴，
设直线的解析式为，
将点和代入得：
，
解得：，
故直线的解析式为；
【小问2详解】
令，得，
∴，
∴．
【小问3详解】
根据题意得：，
设，
令，得，
∴，
如图：
，
解得：，
或，
解得：，
故或．
24. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．
（1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离；
（2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由．
（结果精确到，参考数据，，，，）
【答案】（1）
（2）不会，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）延长交于点，易得，在中，解直角三角形得出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案；
（2）过点作，交的延长线于点，由题意得出，求出，在中，解直角三角形求出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：延长交于点，
，
，，
，
在中，，，
，
，，
投影探头的端点到桌面的距离，
投影探头的端点到桌面的距离约为；
【小问2详解】
解：投影探头不会与桌面发生碰撞，
理由：过点作，交的延长线于点，
由题意得：，
，
，
在中，，
，
，
投影探头的端点到桌面的距离．
投影探头不会与桌面发生碰撞．
25. 在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为．
（1）c的值为__________，B点的坐标是__________．
（2）进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
【答案】（1）65，
（2）
（3）当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40
【解析】
【分析】（1）根据，得出当时，，将代入二次函数解析式，求出，即可得出B点的坐标；
（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先求出直线的解析式为，表示出，根据二次函数的性质得出当时，取得最大值，此时，把代入中，解得，即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
当时，，
．
将代入二次函数解析式得：
，
点的坐标为．
故答案为：65；．
【小问2详解】
解：设关于的函数解析式是，
∵点，，在该函数图象上，
∴，
解得，
关于的函数解析式是．
【小问3详解】
解：设直线的解析式为，
点，点在该直线上，
∴，
解得：，
直线AB的解析式为．
．
当时，取得最大值，此时．
将代入中，解得，即当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40．
【点睛】本题考查二次函数的应用，属抛物线与一次函数的综合题目，熟练掌握用待定系数法求抛物线的解析式、一次函数解析式，二次函数的图象性质是解题的关键．
26. 已知四边形是边长为9的正方形，点在射线上．
（1）如图1，当点位于边的中点时，以为圆心，以为半径作半圆，连接，点是半圆弧上任意一点．
①点之间的最短距离为__________；
②连接，若与相似，求的长；
（2）如图2，当点位于边的延长线上，且时，以为圆心，以5为半径作半圆，交及其延长线于点．现将半圆绕点按逆时针方向旋转度，得到半圆，点的对应点为点．
①当点、、三点共线时，求；
②当半圆与正方形的边相切时，求圆心到边的距离．
【答案】（1）①；②的长为或
（2）①；②或或
【解析】
【分析】（1）①连接交半圆于，当点运动到，即、、共线时，最小，最小值等于的长，根据正方形的性质结合勾股定理求出的长即可得解；②求出，再分两种情况：当时；当时；分别利用相似三角形的性质求解即可；
（2）①连接，作于，则为等腰直角三角形，由题意得：，，由等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出、的长，再由正切的定义计算即可得出答案；②分三种情况：当半圆与相切时；当半圆与相切时；当半圆与相切时；分别求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：①连接交半圆于，如图，
∵，
∴当点运动到，即、、共线时，最小，最小值等于的长，
∵四边形是边长为的正方形，点位于边的中点，
∴，，，
∴，
∴，
即点之间的最短距离为；
②∵四边形是边长为的正方形，点位于边的中点，
∴，，，
∴，
当时，如图，
∴，即，
∴；
当时，如图，
∴，即，
∴，
综上所述，的长为或；
【小问2详解】
解：①如图，连接，作于，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当半圆与相切时，是切点为，连接，并延长交于，如图，
∵半圆与相切，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵半圆半径为，
∴，
∴，即此时圆心到的距离是；
当半圆与相切时，设切点为，连接，作于，如图：
∵半圆与相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即此时圆心到的距离是；
当半圆与相切时，此时切点记为点，如图：
此时圆心到的距离是；
综上所述，当半圆与正方形的边相切时，圆心到边的距离为或或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两泒相交于点，作直线，直线交于点；
作射线，在上截取，使得；
连接，则四边形就是所求作的矩形．