2024年河北省石家庄十八县（市、区）部分重点中学中考一模数学试题

这是一份2024年河北省石家庄十八县（市、区）部分重点中学中考一模数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的几何体中，主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法正确的是( )
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件
5．二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，在中，，若，的面积为4，则的面积为（ ）

A．6B．8C．9D．16
7．如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A．B．2C．4D．
9．如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A．B．C．D．
10．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为B．蓄电池的电压是18V
C．当时，D．当时，
11．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
12．如图，将一个三角板，绕点A按顺时针方向旋转，连接，且，则线段（ ）

A．﹣B．C．D．1
13．如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
14．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
15．如图，在矩形中，，，点从点出发沿路径运动，点从点出发沿路径运动，两点同时出发且运动速度均为每秒1个单位长度，当，两点到达点同时停止运动，设两点的运动时间为秒，的面积为，则能反映与之间函数关系的图像大致为（ ）

A．B．
C． D．
16．用16米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成半圆形、矩形、等腰三角形（底边靠墙）这三种方案（如图），最佳方案是（ ）

A．方案一B．方案二C．方案三 D．三种方案都一样
二、填空题
17．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为 ．
18．经过某T字路口的汽车，可能向左转或向右转，如果两种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个T字路口时，“行驶方向相同”的概率是 ．
19．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2．
（1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是 ；
（2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为 ．
三、解答题
20．下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务．
(1)任务一：
①杨老师解方程的方法是 ；
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步变形的依据是 ；
(2)任务二：请你按要求解下列方程：
①；（公式法）
②．（因式分解法）
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，．

(1)将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出．
(2)请画出关于轴对称的．
(3)将着原点顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
22．某班组织开展课外体育活动，在规定时间内，进行定点投篮，对投篮命中数量进行了统计，并制成下面的统计表和如图不完整的折线统计图（不含投篮命中个数为0的数据）．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)在本次投篮活动中，投篮命中的学生共有 人，并求投篮命中数量的众数和平均数；
(2)补全折线统计图；
(3)嘉淇在统计投篮命中数量的中位数时，把统计表中相邻两个投篮命中的数量m，n错看成了n，m（）进行计算，结果错误数据的中位数与原数据的中位数相比发生了改变，求m，n的值．
23．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来．他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处．
(1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
(2)如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港B处？（参考数据：，）
24．如图1，在矩形中，点O在对角线上，以的长为半径的圆O与，分别交于点E，F，且．

(1)求证：；
(2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(3)如图2，若点E落在线段的垂直平分线上，，求的半径．
25．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m．
(1)点的坐标是_____，点的坐标是_______；
(2)求满足的函数关系；
(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
26．（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，，，点E为AB上一点，以BE为直角边，以点E为直角顶点逆时针作等腰直角三角形EBD，连接AD，连接CE并延长交AD于点F，则的度数为______；______；
（2）如图2，在（1）的条件下，若点E为平面内任意一点，以BE为直角边，以点E为直角顶点逆时针作等腰直角三角形EBD，连接CE并延长交直线AD于点F，AB与CF交于点O，则（1）中的结论是否成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出BD的取值范围．
解方程：．
解： 第一步
， 第二步
， 第三步
， 第四步
，． 第五步
投篮命中数量/个
1
2
3
4
5
6
学生人数
1
2
3
7
6
1
参考答案：
1．A
【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的特点逐项判断即可．
【详解】A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
2．B
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形解答即可．
【详解】解：从正面看看到的是
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，属于简单题，熟知主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
3．A
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
【详解】解：将将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移2个单位为：，即，
故选：A．
4．A
【分析】根据全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小分别进行判断即可．
【详解】解：A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，故此选项正确，符合题意；
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定一定会中奖，故选项错误，不符合题意；
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则＜，则甲组数据较稳定，故选项错误，不符合题意；
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7” 是不可能事件，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小，关键是熟练掌握各知识点．
5．B
【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解：，
顶点坐标为，
顶点在第二象限．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据的相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可根据此求得的面积．
【详解】解： ∵
∴，
∴，
又∵，
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积之比，理解并学会用相似比的求面积比是解题的关键．
7．D
【详解】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解答：解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选D．
8．D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
9．C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】解：四边形内接于，，
，
，
的长．
故选：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．C
【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
11．D
【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径．
【详解】解：如图，连接，
，
，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
寸，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是关键．
12．A
【分析】连接，延长交于点，由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，可证是的垂直平分线，由勾股定理可求的值，即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长交于点，
，，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，，
是等边三角形
，且，
是的垂直平分线，
，
，
，，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，证明是的垂直平分线是本题的关键．
13．D
【分析】设小菱形的边长为a，连接，利用菱形的性质判断，利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质求出、的长度，最后利用正切定义求解即可．
【详解】解：连接，
∵图是由全等的含角的小菱形组成的网格，
∴平分，，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴
∴，
设小菱形的边长为a，
则，，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
15．A
【分析】根据，两动点的位置，确定自变量的取值范围，分三段分别求出其解析式，再根据解析式即可选出正确选项．
【详解】当时，点在上，点在上，如图1，

此时，，
∴．
当时，点在上，点在上，作，如图2，

此时，，
∴．
当时，点在上，点在上，如图3，

此时，，，，，，
∴．
，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要综合考查了动点问题的函数图像，根据动点的不同位置确定自变量的取值范围，求出每一段的函数表达式是解题的关键．
16．A
【分析】先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解．
【详解】解：设围成的图形的面积为平方米，
方案一：设圆的半径为米，则：，
解得：，
（平方米）；
方案二：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米，
由题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为32平方米；
方案三：围栏的长为16米，
等腰三角形的腰为8米，
当顶角为直角时，面积最大，此时（平方米）；
，
∴最佳方案是方案一；
故选A
【点睛】本题考查了二次函数的应用，计算图形的面积是解题的关键．
17．/720度
【分析】
本题考查正多边形的内角和与外角的综合应用，根据外角和求出正多边形的边数，进而求出正多边形的内角和即可．
【详解】解：∵正多边形的一个外角是，
∴正多边形的一个内角的度数为，边数为，
∴正多边形的内角和为；
故答案为：．
18．/0.5
【分析】画树状图求出所有可能的情况，再用概率公式可得答案．
【详解】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中行驶方向相同的有2种，
∴“行驶方向相同”的概率是 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查树状图或列表法求概率，解题的关键是能画出树状图，掌握概率公式．
19． 26 7
【分析】本题考查平面镶嵌，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）采用方式1拼接，则所得图案的外轮廓的周长为，将代入计算即可；
（2）两种方式的一种或两种方式混合拼接，n越大，外轮廓周长越小，可得正六边形间重叠的边数越多，则把六个正六边形绕一个六边形拼接即可．
【详解】解：（1）有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为．
故答案为：26；
（2）按下图拼接，图案的外轮廓的周长为，此时正六边形的个数最多，即n的最大值为7．
故答案为：7．
20．(1)①B；②等式的基本性质；
(2)①，；②，．
【分析】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．
（1）①根据配方法解一元二次方程进行判断即可；②根据等式的基本性质进行判断即可；
（2）①按照公式法解方程的步骤求解即可；②按照因式分解法的步骤求解即可．
【详解】（1）解：任务一：①解方程用到的方法是配方法，故选：B；
②第二步变形的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质．
（2）解：①（公式法）
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
或，
∴，．
②（因式分解法）
，
，
，
，
或，
，．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】
（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（3）画出旋转后的图形，根据即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）如图所示，即为所求；
（3）将着原点顺时针旋转，得到，

设所在圆交于点D，交于点E，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
故线段在旋转过程中扫过的面积为．
【点睛】本题考查平移、轴对称变换作图和旋转的性质以及扇形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．(1)20，众数为4个，平均数为（个）；
(2)图见解析；
(3)，．
【分析】本题考查中位数、众数、平均数、折线统计图、理解并掌握平均数、众数、中位数的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据表格中的数据即可求得投篮命中的学生人数，根据众数及平均数的概念即可求解；
（2）结合表格中的数据即可补全折线统计图；
（3）先求正确情况下的中位数，根据，分当1和2互换时，当2和3互换时，当3和4互换时，当4和5互换时，当5和6互换时，分别求出中位数进行比较是否变化即可求解．
【详解】（1）投篮命中的学生人数为（人）；
众数为4个；
平均数为（个）．
故答案为：20；
（2）补全折线统计图如下图：
（3）原投篮命中数量的中位数是；
当1和2互换时，中位数为4，没有变化；
当2和3互换时，中位数为4，没有变化；
当3和4互换时，中位数为，没有变化，此时，；
当4和5互换时，中位数为4，没有变化；
当5和6互换时，中位数为4，没有变化．
∴，．
23．(1)避风港B处距离灯塔P的距离为海里
(2)轮船能在台风到来前赶到避风港B处
【分析】（1）过点P作于点C．根据题意可得出，，海里，再根据含30度角的直角三角形的性质和锐角三角函数即可求解．
（2）由（1）结合勾股定理可求出的长，从而可求出的长，再求出轮船行驶的时间与台风到来的时间比较即可．
【详解】（1）如图，过点P作于点C．
由题意可知，，海里，
∴海里，
∴海里．
∴避风港B处距离灯塔P的距离为海里；
（2）∵海里，海里，
∴海里，
∴海里．
∵小时小时，
∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．理解题意，正确作出辅助线是解题关键．
24．(1)见解析
(2)直线与相切，理由见解析
(3)
【分析】（1）证明，结合，可得结论；
（2）连接，证明，，，由，可得，，即，从而可得结论；
（3）证明，可得，．求解，，，，，证明，再利用相似三角形的性质可得答案.
【详解】（1）证明：四边形为矩形．
∴，
∵，
∴．
（2）判断：直线与相切．
证明：连接，

∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴直线与相切；
（3）∵点E落在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
在中，，
∴，
∴，，，
∴
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，解得.
【点睛】本题考查的是矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，锐角三角函数的应用，熟练的利用以上知识解题是关键.
25．(1)，；
(2)；
(3)
【分析】
（1），落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，即可得到点、的坐标；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）由，先求出直线的表达式，作轴交抛物线和直线于点、，用含未知数的式子表示，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】（1）解：，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，
，；
（2）解：把，代入
得，，
解得，，
；
（3）解：，
设直线的表达式为，
把代入，得，
解得，，
，
设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、，
，
，
当时，最大，即水平距离为时，运动员与着陆坡竖直方向上的距离达到最大．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
26．（1）45°；；（2）成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质证得，再证明△BCE△BAD，然后利用三角形的内角和定理即可求解；
（2）同（1）的方法证明（1），然后利用相似的性质以及三角形的内角和定理即可求解；
（3）由（2）的结论求得AD=CE=2，得到点D在以A为圆心以为半径的圆上运动，则AB- AD BD AB+ AD，据此即可求解．
【详解】解：（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴AB=，∠ABC=∠CAB=45°，
∴，
∵△BED是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴DE=BE，∠BED=90°，∠DBE=45°，
∴DB=BE，
∴，
∴，
又∵∠CBE=∠ABD=45°，
∴△BCE△BAD，
∴，∠BCE =∠BAD，
∵∠FCA +∠FAC=∠FCA +∠FAE+∠CAB
=∠FCA +∠BCE +∠CAB，
=90°+45°=135°，
∴∠CFA=180°-(∠FCA +∠FAC)= 180°-135°=45°，
故答案为：45°，；
（2）成立，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
∴
在和中，
∵，∴，
∵，∴，
（3）由题意得，，，
则点E在以C为圆心以2为半径的圆上运动，
由（2）得，，AB，
∵CE=2，
∴AD=CE=2，
则点D在以A为圆心以为半径的圆上运动，
∴AB- AD BD AB+ AD，
即 BD ，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．