2024年河北省石家庄市裕华区石家庄外国语学校（43中）中考二模数学试题

这是一份2024年河北省石家庄市裕华区石家庄外国语学校（43中）中考二模数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，数轴上点表示向东走了，则点表示（ ）
A．向东走B．向南走C．向西走D．向北走
2．如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．没有量角器，无法确定
3．估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
4．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ）
A．B．1C．D．2
5．下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A．B．C．D．
7．长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于（ ）

A．1B．C．D．
9．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为( )
A．3B．C．11D．7
10．如图，是由沿AD方向平移得到的，其中点D为BC的中点，当的面积为18cm2，的面积为8cm2，时，则的长为（ ）
A．B．C．D．
11．某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（ ）
A．26，10，24B．10，16，6C．17，30，8D．13，24，5
12．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
13．如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可直接判定四边形为菱形的条件是（ ）
A．有一组邻边相等B．对角线平分一组对角
C．对角线互相垂直D．四条边相等的四边形
14．某班开展了两次跳绳比赛，从班级里随机抽取了20名学生两次跳绳的成绩（单位：个/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．如图是这些学生第一次和第二次比赛成绩情况统计图，设每名学生两次跳绳的平均成绩是x个/分钟，落在的范围内的数据有（ ）

A．6个B．5个C．4个D．3个
15．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2024次运动后，蚂蚁的坐标是（ ）
A．B．C．D．
16．已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、填空题
17．比较大小： （填“＞”或“＜”＝）．
18．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的关系近似满足．小宇原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，则小宇的眼镜度数 （填“上涨”或“下降”）了 度．
19．《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知．
（1）四边形的外接圆半径为 ．
（2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为 ．

三、解答题
20．如图，某花园护栏是直径为90厘米的半圆形条钢组制而成，且每增加一个半圆形条钢，护栏长度增加，设半圆形条钢的个数为（为正整数），护栏总长度为厘米．
(1)若，，求护栏总长度；
(2)若时，测得护栏总长度是2235厘米，求半圆形条钢的个数．
21．“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
(1)请用此方法拆分．
(2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的．
(3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度．
22．某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得分的人数所对圆心角为，回答下列问题：
(1)条形统计图有一部分污损了，求得分分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数；
(2)一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩．
(3)已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆；②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率．
23．如图，直线：与轴、轴分别交于两点，将直线向上平移4个单位后得到直线，交轴于点．
(1)求两点的坐标；
(2)求直线的函数表达式，并求直线与直线之间的距离；
(3)动点从点沿轴向左移动．直接写出：点移动距离为多少时，线段的中点落在直线上．
24．如图1是嘉琪家走廊内摆放的一张桌子，其桌面为半圆形，图2是走廊和桌子的部分俯视图．其中，表示走廊的两面墙，且，AB是半圆的直径且长为2米，O是半圆的圆心，C，D是半圆上两动点，且米．
(1)求弧的长；
(2)若E是弦的中点，求的最小值和最大值；
(3)已知半圆O可以绕点B顺时针旋转，若点A在旋转过程中到的最大距离为1.2m，求，之间的距离．
25．如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线恰好经过和两点，解决下列问题．
(1)求与抛物线相对应的b、c的值；
(2)若把抛物线相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线，求抛物线与x轴交点的坐标，并说明抛物线是否经过的顶点；
(3)另有直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
26．如图1~图3，在中，，，．为边上一点，，连接，并作交线段或射线于点（在右侧）．
(1)如图1，若，求证：，并求此时的值；
(2)如图2，若点恰好落在点上，琪琪认为：“此时是等腰三角形，并且”，请通过计算的值，说明琪琪的说法是否正确；
(3)当点位于如图3所示的位置时，若，求的值；
(4)用含的式子表示长，直接写出结果．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了相反意义的量，根据数轴可得点、点分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，得出表示相反意义的量，即可得出答案．
【详解】解： 数轴可得，点、点分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，
点表示向东走了，则点表示向西走，
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了角的大小比较．依据，即可得出和的大小关系．
【详解】解：由图可得，，
∴，
故选：B．
3．A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解：，
，
，即，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
4．D
【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，得AC＝2，∠CAC'＝60°，再根据旋转的性质可推出△CAC'为等边三角形，从而得到CC'＝AC＝2．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AC＝2，∠CAC'＝60°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点落在边上，
∴AC'＝AC＝2，
∴△CAC'为等边三角形，
∴CC'＝AC＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形性质，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．
5．B
【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．
【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；
B．，符合题意；
C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；
D．，不符合题意，
故选B
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．
6．B
【详解】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，
故选B．
考点：简单几何体的三视图．
7．B
【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解：长方形的面积是，一边长是，
另一边长是，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问题的关键．
8．A
【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的正切值，先根据网格判断是等腰直角三角形，得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，即可得出．
【详解】解：由图可知，，，
，即，
，
，
故选A．
9．D
【分析】先将方程变形为，进而可得，即得答案．
【详解】解：∵
∴，即，
则，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握配方的方法是关键．
10．A
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平移的性质等知识，先证明，，则，根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵是由沿AD方向平移得到的，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，
故选：A
11．A
【分析】如图，记等腰三角形的腰长为，底长为，底边上的高为，由勾股定理得，，即记录的数据应该满足，对各选项计算判断即可．
【详解】解：如图，记等腰三角形的腰长为，底长为，底边上的高为，
由勾股定理得，，即记录的数据应该满足，
A中，记录错误，故符合要求；
B中，记录正确，故不符合要求；
C中，记录正确，故不符合要求；
D中，记录正确，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质．解题的关键在于正确的运算求解．
12．C
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
13．D
【分析】利用基本作图得到，则根据菱形的判定方法可判断四边形为菱形．从而可对各选项进行判断．本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、菱形的判定．
【详解】解：由作法得，
所以四边形为菱形．
故选：D．
14．B
【分析】本题考查统计图，加权平均数，解答时需要观察统计图，从中获取相关信息，分析数据的能力要求高．观察统计图得出落在的范围内的数据即可．
【详解】解：观察统计图，是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．即某一个点的横坐标代表第一次成绩，纵坐标代表第二次成绩，

点A横坐标是110，纵坐标在150到155之间，其平均数落在的范围内，
点B横坐标在120到130之间，，纵坐标在140到150之间，其平均数落在的范围内，
点C横坐标是130，纵坐标是140，其平均数落在的范围内，
点D横坐标是140，纵坐标是140，其平均数落在的范围内，
点E横坐标是140，纵坐标是130，其平均数落在的范围内，
左下角的5个点的横坐标不超过120，纵坐标也不超过120，其平均数都落在的范围外，
右上角的8个点的横坐标超过140，纵坐标不小于140，其平均数都落在的范围外，
所以两次活动平均成绩在的范围内的数据有5个，
故选：B
15．D
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据前几次运动的坐标特点可得规律横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，据此求解即可．
【详解】解：第1次：，
第2次：，
第3次：，
第4次：，
第5次：，
…，
以此类推可知，横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，
纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，
∵，
∴第2024次运动后，蚂蚁的横坐标为，纵坐标为
∴第2024次的坐标是，
故选D．
16．D
【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D
17．>
【分析】先将两个数平方，再比大小即可．
【详解】∵，，
又∵18>12，
∴．
故答案为：>．
【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较．掌握比较二次根式大小的方法是解题关键．
18． 下降 150
【分析】根据眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式满足，小宇原来佩戴400度近视眼镜，矫正治疗后所配镜片焦距调整为，可求出现在小宇佩戴的眼镜度数，两次比较，即可求解．
【详解】解：根据题意得，矫正治疗后所配镜片焦距调整为，
∴，即矫正治疗后小宇佩戴的眼镜度数是，小宇原来佩戴400度，
∴，即下降了度
故答案为：下降；150
【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，将矫正治疗后所配镜片焦距调整为代入反比例函数求出矫正后的度数，再与原来的度数比较是解题的关键．
19．
【分析】本题考查位似图形的性质，正方形与圆的性质，旋转的性质；
（1）根据正方形的边长为4和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长；
（2）根据题意证明，设，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
∴是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为4，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
（2）∵，
∵点在线段延长线上，
又
∴
又
∴
∴
设，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
故答案为：．
20．(1)护栏总长度为170厘米
(2)半圆形条钢的个数为40
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一次函数的应用，理解题意，找出题中的等量关系是解此题的关键．
（1）根据图形可得当，时，护栏总长度，即可求解；
（2）由图形可得当时，厘米，令，求解即可．
【详解】（1）解：当，时，护栏总长度（厘米），
护栏总长度为170厘米；
（2）解：由图形可得：当时，厘米，
由题意得：当时，，
解得：，
半圆形条钢的个数为40．
21．(1)
(2)，证明见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键．
（1）依据材料中等式的规律解答即可；
（2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可．
（3）根据题意画出图形即可．
【详解】（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
∴第2023个等式：
（2）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
则含n的等式是．
理由：∵右边，
左边，
∴左边＝右边，
∴成立．
（3）如图，满足要求，
22．(1)得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分
(2)补测成绩为分或分
(3)小明和小亮选择同一项目的概率为
【分析】（1）由题意知，调查总人数为（人），则得分分的人数为（人），根据中位数为第位数的平均数求解即可，根据众数是出现次数最多的数进行求解即可；
（2）根据中位数的意义求解作答即可；
（3）由题意画树状图，然后求概率即可．
【详解】（1）解：由题意知，调查总人数为（人），
∴得分分的人数为（人），
∵，，
∴中位数为第位数的平均数，即（分），
众数为分；
∴得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分；
（2）解：∵中位数变大了，
∴该名同学的补测成绩为分或分；
（3）解：由题意画树状图如下；
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一项目共有3种等可能的结果，
∵，
∴小明和小亮选择同一项目的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，列举法求概率．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，列举法求概率是解题的关键．
23．(1)，
(2)直线与直线之间的距离为
(3)移动距离为12时，线段的中点落在直线上
【分析】（1）令，则，令，则，解得，即可得解；
（2）由（1）可得，，得出，，由勾股定理可得，由平移的性质得出直线的解析式为，则，，作于，则，证明，由相似三角形的性质得出的长即可；
（3）设点移动距离为时，线段的中点落在直线上，则，求出线段的中点坐标为，代入直线计算即可得解．
【详解】（1）解：在中，令，则，令，则，解得，
，；
（2）解：由（1）可得，，
，，
，
将直线向上平移4个单位后得到直线，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
如图，作于，则，
，，
，
，
，即
，
，
直线与直线之间的距离为；
（3）解：设点移动距离为时，线段的中点落在直线上，则，
由（2）可得，
线段的中点坐标为，
线段的中点落在直线上，
，
解得：，
点移动距离为时，线段的中点落在直线上．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数的平移、相似三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
24．(1)
(2)最小值为，的最大值为
(3)，之间的距离为
【分析】（1）连，证明为等边三角形，可得，再利用弧长公式计算即可；
（2）如图，连接，，求解，可得E在以O为圆心．为半径的弧上，当，重合时最大．如图，连接，当，重合时，的最小值为，从而可得答案．
（3）由A与最大距离为1.2 ，可得此时与相切过作于，作于，过 作于，交于，则，，，证明，求解，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：连，
，
，
，
∴为等边三角形，
（2）如图，连接，，
∵为的中点，为等边三角形，
∴，，
∴，
E在以O为圆心．为半径的弧上
当，重合时最大．如图，连接，
∵为直径

， ，
，
E为CD中点，
，
在中，
，
当，重合时，的最小值为，如图，
（3）A与最大距离为1.2
此时与相切
过作于，作于，过 作于，交于，
则，，，
∴，而，
∴，
∴，而，
，

．
∴，之间的距离为．
【点睛】本题考查的是俯视图的含义，切线的性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
25．(1)，
(2)；经过的顶点
(3)n的最大值为
【分析】（1）把和代入抛物线中解答即可；
（2）确定抛物线的顶点坐标，确定物线的解析式，令，解方程的根即可求抛物线与x轴交点的坐标，把抛物线的顶点坐标代入抛物线的解析式，验证说明即可；
（3）当时，得，，解得,,计算,，
得，令，根据反比例函数性质解答即可．
本题考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，解方程，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）把和代入抛物线，得
，
解得．
（2）∵,
∴的解析式为，
故抛物线的顶点坐标为；
根据题意，得抛物线的解析式，
令，
得，
解得，
故抛物线与x轴交点的坐标为；
当，
，
故抛物线经过的顶点．
（3）∵直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，
∴,
∴,
当时，
得，，
解得,,
∴,，
∴，
令，
根据反比例函数的性质，得当越小时，越大，
∵的值是整数，
∴y是整数，且是整数，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
∴的最小值是3，此时最大，此时，
故n的最大值为．
故n的最大值是．
26．(1)证明见解析，
(2)，淇淇的说法不正确
(3)
(4)当点在上时，；当点在的延长线上时，
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，，证明，得出，解直角三角形得出，最后由勾股定理计算即可得出答案；
（2）作于，于，则，推出四边形为矩形，求出，，，，证明，得出，求出的值即可得解；
（3）作于，于，则，证明出，由角平分线的性质定理得出，求出，由勾股定理结合解直角三角形得出，得到，求解即可；
（4）分两种情况：当点在上时，当点在的延长线上时；分别利用相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形求出的长即可．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：如图，作于，于，则，
，四边形为平行四边形，
，，，
，
四边形为矩形，
，，
∴，
，
设，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
是等腰三角形，但；
∴淇淇的说法不正确；
（3）解：如图，作于，于，则，
，
由（2）可得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
令，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值舍去），
，
，
解得：；
（4）解：如图，当点在上时，作于，于，则，
，
由（2）可得：，，
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，作于，于，于，则，
，
由（2）可得：，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
令，，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
综上所述，当点在上时，；当点在的延长线上时，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定了、矩形的判定与性质、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．