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    数学-2024届新高三开学摸底考试卷(九省新高考通用)03(考试及解析)

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    本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
    注意事项:
    1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
    2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
    3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
    4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.已知集合,,则( )
    A. B. C. D.
    2.在中,若,且,则( )
    A.60°B.45°C.30°D.15°
    3.已知一组数据3,5,7,x,10的平均数为6,则这组数据的方差为( )
    A.B.6C.D.5
    4.已知函数.给出下列结论:①是的最小值;②函数在上单调递增;③将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是( )
    A.①②B.①③C.②③D.①②③
    5.已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线交抛物线于两点,过点作准线的垂线,垂足为,点为准线与轴的交点,若,则四边形的面积为( )
    A.B.C.D.
    6.2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办.将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔,贾努布,阿图玛玛三座体育馆进行执法,每座体育馆至少派1名裁判,A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”;B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”;C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”,则( )
    A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件
    C.D.
    7.三棱锥中,平面,.若,,则该三棱锥体积的最大值为( )
    A.B.C.D.
    8.函数的大致图像为( )
    A. B. C. D.
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.已知O为坐标原点,点,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    10.折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9,且,则该圆台的( )
    A.高为B.体积为
    C.表面积为D.上底面积、下底面积和侧面积之比为
    11.已知向量,的夹角为,,,,则( )
    A.在方向上的投影向量的模为 B.在方向上的投影向量的模为
    C.的最小值为 D.取得最小值时,
    12.已知函数,则( )
    A.的单调递减区间是B.有4个零点
    C.的图象关于点对称D.曲线与轴不相切
    第Ⅱ卷
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.函数的图象在点处的切线方程是______.
    14.若,则______.
    15.已知是等比数列,,,则______.
    16.已知函数的最小正周期为T,,且对任意的恒成立,则一个满足题意的的值是______.
    四、解答题:本题共6小题,共70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤
    17.已知,且.
    (1)求的值;
    (2)求的值.
    18.已知抛物线,点为抛物线焦点.过点作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛物线于点与点,过点作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于、.
    (1)若直线斜率为k,证明抛物线在点处切线斜率为;
    (2)过点作直线分别交x轴和抛物线于、,过点作直线分别交x轴和抛物线于、,且,直线斜率与直线斜率互为相反数.证明数列为等差数列.
    19.如图,在四棱锥中,,,,,,,.
    (1)证明:平面;
    (2)求与平面所成角的余弦值.
    20.记为数列的前n项和,已知.
    (1)若数列为等差数列,且,求;
    (2)在(1)的条件下,若,求数列的前n项和;
    (3)在(1)的条件下,证明:当时,.
    21.已知椭圆过点,且离心率为
    (1)求椭圆E的标准方程;
    (2)若直线l与椭圆E相切,过点作直线l的垂线,垂足为N,O为坐标原点,证明:为定值.
    22.已知椭圆的左,右焦点分别为,,离心率为,M为椭圆上异于左右顶点的动点,的周长为.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)过点M作圆的两条切线,切点分别为,直线AB交椭圆C于P,Q两点,求的面积的取值范围.

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