数学-2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）（原卷及解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
4．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是（ ）
A．第三组的频数为18人
B．根据频率分布直方图估计众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
5．设，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若为等边三角形，则的离心率（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是
A． B． C． D．
9．如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）
10．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为______________．
11．在的展开式中，的系数是______________．
12．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为______________．
13．已知，，，则的最小值为______________．
14．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________．
15．已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是______________．
三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
16．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．（15分）已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（15分）已知过点的椭圆的离心率为. 如图所示，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点A作，垂足为.
(1)求四边形为坐标原点的面积的最大值；
(2)求证：直线过定点，并求出点的坐标.
19．（15分）已知为等差数列，数列满足，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)设的前项和为，证明：.
20．（15分）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)记，设，为函数图象上的两点，且．
（ⅰ）当，时，若在点处的切线相互垂直，求证：；
（ii）若在点处的切线重合，求的取值范围．