2023成都中考数学真题 (含详细解析)

这是一份2023成都中考数学真题 (含详细解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题，共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)
1. 在3，－7，0， eq \f(1,9) 四个数中，最大的数是( )
A. 3 B. －7 C. 0 D. eq \f(1,9)
2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3 000亿次．将数据3 000亿用科学记数法表示为( )
A. 3×108 B. 3×109
C. 3×1010 D. 3×1011
3. 下列计算正确的是( )
A. (－3x)2＝－9x2 B. 7x＋5x＝12x2
C. (x－3)2＝x2－6x＋9 D. (x－2y)(x＋2y)＝x2＋4y2
4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数(AQI)：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是( )
A. 26 B. 27 C. 33 D. 34
5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
第5题图
A. AC＝BD B. OA＝OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC＝∠BCD
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(1,3) C. eq \f(1,4) D. eq \f(1,6)
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为( )
A. eq \f(1,2) (x＋4.5)＝x－1 B. eq \f(1,2) (x＋4.5)＝x＋1
C. eq \f(1,2) (x＋1)＝x－4.5 D. eq \f(1,2) (x－1)＝x＋4.5
8. 如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法正确的是( )
第8题图
A. 抛物线的对称轴为直线x＝1
B. 抛物线的顶点坐标为(－ eq \f(1,2) ，－6)
C. A，B两点之间的距离为5
D. 当x<－1时，y的值随x值的增大而增大
第Ⅱ卷(非选择题，共68分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
9. 因式分解：m2－3m＝________．
10. 若点A(－3，y1)，B(－1，y2)都在反比例函数y＝ eq \f(6,x) 的图象上，则y1________y2(填“>”或“<”).
11. 如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为____________________________________________________________________．
第11题图
12. 在平面直角坐标系xOy中，点P(5，－1)关于y轴对称的点的坐标是________．
13. 如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E.若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21，则 eq \f(BE,CE) 的值为________．
第13题图
三、解答题(本大题共5个小题，共48分)
14. (本小题满分12分，每题6分)
(1)计算： eq \r(4) ＋2sin 45°－(π－3)0＋| eq \r(2) －2|.

(2)解不等式组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（x＋2）－x≤5，①,\f(4x＋1,3)>x－1.②))
15. (本小题满分8分)
文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
第15题图
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有________人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
16. (新考法·真实问题情境) (本小题满分8分)
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．(结果精确到0.1米；参考数据：sin 16°≈0.28，cs 16°≈0.96，tan 16°≈0.29)

第16题图
17. (本小题满分10分)
如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE.
(1)求证：AC＝BC；
(2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长．
第17题图
18. (本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋5与y轴交于点A，与反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象的一个交点为B(a，4)，过点B作AB的垂线l.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

第18题图
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19. 若3ab－3b2－2＝0，则代数式(1－ eq \f(2ab－b2,a2) )÷ eq \f(a－b,a2b) 的值为________．
20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有________个．
第20题图
21. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳________名观众同时观看演出．(π取3.14， eq \r(3) 取1.73)
第21题图
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若 eq \f(AG,GE) ＝ eq \f(7,3) ，则tan A＝________．
第22题图
23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52－32，16就是一个智慧优数，可以利用m2－n2＝(m＋n)(m－n)进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
24. (本小题满分8分)
2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
25. (本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋c经过点P(4，－3)，与y轴交于点A(0，1)，直线y＝kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点M(0，m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E.试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

第25题图
26. (新考法·综合与实践)(本小题满分12分)
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且 eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(1,n) (n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.
【初步感知】
(1)如图①，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE＋BF＝ eq \f(\r(2),2) AB，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图②，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明).
【拓展运用】
(3)如图③，连接EF，设EF的中点为M.若AB＝2 eq \r(2) ，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示).
第26题图
2023成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试
数学解析
快速对答案
A卷
B卷
详解详析
A卷
一、选择题
1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A
8. C 【解析】∵二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，∴0＝9a－3－6，∴a＝1，∴二次函数解析式为y＝x2＋x－6＝(x＋ eq \f(1,2) )2 － eq \f(25,4) ，对称轴为直线x＝－ eq \f(1,2) ，顶点坐标为(－ eq \f(1,2) ，－ eq \f(25,4) )，故A，B选项不正确，不符合题意；∵a＝1>0，抛物线开口向上，当x<－1时，y的值随x值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；当y＝0时，x2＋x－6＝0.即x1＝－3，x2＝2，∴B(2，0)，∴AB＝5，故C选项正确．
二、填空题
9. m(m－3) 10. > 11. 3 12. (－5，－1)
13. eq \f(2,3) 【解析】由题意得∠BDE＝∠A，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∵△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21，∴ eq \f(S△BDE,S△BAC) ＝ eq \f(4,21＋4) ＝( eq \f(BE,BC) )2，∴ eq \f(BE,BC) ＝ eq \f(2,5) ，∴ eq \f(BE,CE) ＝ eq \f(2,3) .
三、解答题
14. 解：(1)原式＝2＋2× eq \f(\r(2),2) －1＋2－ eq \r(2) (4分)
＝3；(6分)
(2)解不等式①，得x≤1，(2分)
解不等式②，得x>－4，(4分)
∴原不等式组的解集为－415. 解：(1)300； (2分)
(解法提示) 由题可知，本次调查的师生共有60÷20%＝300(人)，∴“文明宣传”的人数为300－60－120－30＝90(人).
补全条形统计图如解图．(4分)
第15题解图
(2)在扇形统计图中，“敬老服务”对应的圆心角度数为 eq \f(120,300) ×360°＝144°；(6分)
(3)估计参加“文明宣传”项目的师生人数为1500×80%× eq \f(90,300) ＝360(人).
答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数有360人．(8分)
16. 解：如解图，过点A作AG⊥BC于点G，AF⊥CE于点F，则四边形AFCG是矩形．
由题可知，∠BAG＝16°，AB＝5 m，
在Rt△ABG中，GB＝AB·sin ∠BAG＝5·sin 16°≈5×0.28＝1.4 m，AG＝AB·cs 16°≈5×0.96＝4.8 m，则CF＝AG＝4.8 m，(3分)
∵BC＝4 m，
∴AF＝CG＝BC－BG＝4－1.4＝2.6 m，(6分)
∵∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝2.6 m，(7分)
∴CD＝CF－DF＝4.8－2.6＝2.2 m.
答：阴影CD的长为2.2米．(8分)
第16题解图
(命题立意)试题以“遮阳篷”为背景，考查学生建立几何模型解决实际问题的能力，通过作辅助线构造直角三角形进行求解，评价其数学建模、推理能力、几何直观、运算能力等数学素养的发展水平，指向六个维度中的“立足学科素养”“加大开放探究”“落实活动建议”的考查．
17. (1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，
∵＝，∴∠ACE＝∠ADE，(2分)
∴∠BAC＝∠ADE，
又∵∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠BAC，
∴AC＝BC；(4分)
(2)解：设BD＝x，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tan B＝2, ∴ eq \f(AD,BD) ＝2，即AD＝2x，(5分)
根据(1)中的结论，可得AC＝BC＝BD＋DC＝x＋3，
根据勾股定理，可得AD2＋DC2＝AC2，即(2x)2＋32＝(x＋3)2，解得x1＝2，x2＝0(舍去)，
∴BD＝2，AD＝4，AB＝ eq \r(AD2＋BD2) ＝2 eq \r(5) ；(6分)
如解图，过点E作DC的垂线，交DC的延长线于点F，
第17题解图
∵BC＝AC，∴∠ACB＝180°－2∠B，
又∵CE∥AB，∴∠ECF＝∠B，(7分)
∵EF⊥CF，∴tan ∠ECF＝tan B＝2，即 eq \f(EF,CF) ＝2，(8分)
∵∠B＋∠BAD＝90°，∠ADE＋∠EDF＝90°，∠B＝∠ADE，∴∠BAD＝∠EDF，
∴∠DEF＝90°－∠EDF＝90°－∠BAD＝∠B，
∴ eq \f(DF,EF) ＝2，(9分)
设CF＝a，则DF＝DC＋CF＝3＋a，∴EF＝2a，
可得方程 eq \f(3＋a,2a) ＝2，解得a＝1，
经检验a＝1是分式方程的解，
∴EF＝2，DF＝4，DE＝ eq \r(DF2＋EF2) ＝2 eq \r(5) .(10分)
18. 解：(1)令x＝0，则y＝5，
∴点A的坐标为(0，5)，(1分)
将点B(a，4)代入y＝－x＋5，得4＝－a＋5，解得a＝1.
∴B(1，4)，(2分)
将点B(1，4)代入y＝ eq \f(k,x) ，得4＝ eq \f(k,1) ，解得k＝4.
∴反比例函数的表达式为y＝ eq \f(4,x) ；(3分)
(2)如解图，设直线l与y轴交于点M，直线y＝－x＋5与x轴交于点N，
第18题解图
令y＝－x＋5＝0，解得x＝5，
∴N(5，0)，∴OA＝ON＝5，
又∵∠AON＝90°，∴∠OAN＝45°，
∵A(0，5)，B(1，4)，
∴AB＝ eq \r(（1－0）2＋（4－5）2) ＝ eq \r(2) .(4分)
又∵直线l是AB的垂线即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴AB＝BM＝ eq \r(2) ，∴AM＝ eq \r(AB2＋BM2) ＝2，∴M(0，3).
设直线l的解析式是y＝k1x＋b1，
将点M(0，3)，点B(1，4)代入y＝k1x＋b1得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＋b1＝4,b1＝3)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝1,b1＝3)) ，
∴直线l的解析式是y＝x＋3，(5分)
设点C的坐标是(t，t＋3)，
∵S△ABC＝ eq \f(1,2) ×2×|1－ eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(t|)) ＝5，解得t＝－4或6，
当t＝－4时，t＋3＝－1；当t＝6时，t＋3＝9；
∴点C的坐标为(6，9)或(－4，－1)；(6分)
(3)∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线y＝ eq \f(4,x) 的另一个交点．
将直线l与双曲线的解析式联立得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,x)，,y＝x＋3))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝4)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4,y＝－1)) ，
∴E(－4，－1).(7分)
又∵△PAB∽△PDE，∴∠PAB＝∠PDE.
∴AB∥DE.
∴直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，
设直线DE的解析式是y＝－x＋b2，
将点E(－4，－1)代入y＝－x＋b2，得－1＝－(－4)＋b2，解得b2＝－5，
∴直线DE的解析式是y＝－x－5.(8分)
∵点D在双曲线y＝ eq \f(4,x) 上，
∴点D是直线DE与双曲线y＝ eq \f(4,x) 的另一个交点，
将直线DE与双曲线y＝ eq \f(4,x) 联立得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,x),y＝－x－5)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝－4)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4,y＝－1)) ，∴D(－1，－4).
设直线AD的解析式为y＝k3x＋b3，
将点A(0，5)，D(－1，－4)代入y＝k3x＋b3得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－k3＋b3＝－4,b3＝5)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k3＝9,b3＝5)) ，
∴直线AD的解析式是y＝9x＋5.
将直线AD的解析式与直线l的解析式联立得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝9x＋5,y＝x＋3)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,4),y＝\f(11,4))) ，
∴点P的坐标为(－ eq \f(1,4) ， eq \f(11,4) ).(9分)
∴BP＝ eq \r(（－\f(1,4)－1）2＋（\f(11,4)－4）2) ＝ eq \f(5,4) eq \r(2) ，
EP＝ eq \r([－\f(1,4)－（－4）]2＋[\f(11,4)－（－1）]2) ＝ eq \f(15,4) eq \r(2) .
∴m＝ eq \f(EP,BP) ＝3.(10分)
B卷
一、填空题
19. eq \f(2,3) 【解析】(1－ eq \f(2ab－b2,a2) )÷ eq \f(a－b,a2b) ＝( eq \f(a2－2ab＋b2,a2) )× eq \f(a2b,a－b) ＝ eq \f(（a－b）2,a2) × eq \f(a2b,a－b) ＝ab－b2，∵3ab－3b2－2＝0，∴3ab－3b2＝2，∴ab－b2＝ eq \f(2,3) .
20. 6 【解析】根据主视图和俯视图可得第一列最多有2个小立方块，第二列最多有1个小立方块，如解图，共有2＋2＋1＋1＝6个．
第20题解图
21. 184 【解析】如解图，过点O作AB的垂线，交AB于点C，∵圆心O到栏杆AB的距离是5 m，∴OC＝5 m，∵OC⊥AB，∴sin ∠OBC＝ eq \f(OC,OB) ＝ eq \f(1,2) ，∴∠OBC＝30°，AB＝2BC＝2AC＝10 eq \r(3) m，∵OA＝OB，∴∠AOB＝180°－2∠OBA＝120°，∴可容纳的观众＝阴影部分面积×3＝3×(S扇形AOB－S△AOB)＝3×( eq \f(120°,360°) ×π×102－ eq \f(1,2) ×10 eq \r(3) ×5)≈184.25(人)，∴最多可容纳184名观众同时观看演出．
第21题解图
eq \f(3\r(7),7) 【解析】如解图，过点G作GM⊥DE于M，
第22题解图
∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴ED＝EC.∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠DGE＝∠CGD，∴△DGE∽△CGD，∴ eq \f(DG,CG) ＝ eq \f(GE,GD) ，∴DG2＝GE·GC，∵∠ABC＝90°，DE∥BC，则AD⊥DE，∴AD∥GM.∴ eq \f(AG,GE) ＝ eq \f(DM,ME) ，∠MGE＝∠A，∵ eq \f(AG,GE) ＝ eq \f(7,3) ＝ eq \f(DM,ME) ，设GE＝3，AG＝7，EM＝3n，则DM＝7n，则EC＝DE＝10n，∵DG2＝GE·GC，∴DG2＝3×(3＋10n)＝9＋30n，在Rt△GMD中，GM2＝DG2－DM2，在Rt△GME中，GM2＝GE2－EM2，DG2－DM2＝GE2－EM2，即9＋30n－(7n)2＝32－(3n)2，解得n＝ eq \f(3,4) (不符合题意的值已舍)，∴EM＝ eq \f(9,4) ，GE＝3，则GM＝ eq \r(GE2－ME2) ＝ eq \r(32－（\f(9,4)）2) ＝ eq \f(3\r(7),4) ，∴tan A＝tan ∠MGE＝ eq \f(ME,MG) ＝ eq \f(\f(9,4),\f(3\r(7),4)) ＝ eq \f(3\r(7),7) .
23. 15；57 【解析】第一个智慧优数为32－12＝8，第二个智慧优数为42－22＝12，第三个智慧优数为42－12＝16－1＝15，以此类推，m为5，6，7，8时，分别有3，4，5，6个智慧优数，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.又∵两数相差越小，智慧优数越小，m、n相差2的智慧优数有8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，…；m、n相差3的智慧优数有15，21，27，33，39，45，51，57，…；m、n相差4的智慧优数有24，32，40，…；m、n相差5的智慧优数有35，45，55，65，…；m、n相差6的智慧优数有48，60，72，…，∴综合排序得第23个智慧优数为57.
二、解答题
24. 解：(1)设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，(1分)
根据题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝68,5a＋3b＝280)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝38,b＝30)) ，(3分)
∴A种食材的单价为38元/千克，B种食材的单价为30元/千克，(4分)
(2)设A种食材购买x千克，则B种食材购买(36－x)千克，(5分)
根据题意得x≥2(36－x)，解得x≥24.
设总费用为y元，根据题意，y＝38x＋30(36－x)＝8x＋1 080，(6分)
∵8>0，∴y随x的增大而增大，
即当x＝24，36－x＝12时，y最小，(7分)
∴最少总费用为8×24＋1 080＝1 272(元).
答：当购买A种食材24千克，B种食材12千克时，总费用最少，最少总费用为1272元．(8分)
25. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋c经过点P(4，－3)且与y轴交于点A(0，1)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a＋c＝－3,c＝1)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,4),c＝1)) ，
∴抛物线的函数表达式为y＝－ eq \f(1,4) x2＋1；(3分)
(2)设B(t，－ eq \f(1,4) t2＋1)，
根据题意，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，有两种情况：
①当AB＝AP时，点B和点P关于y轴对称，
∵P(4，－3)，∴B(－4，－3)；
②当AB＝BP时，则AB2＝BP2，
∴(t－0)2＋(－ eq \f(1,4) t2＋1－1)2＝(t－4)2＋(－ eq \f(1,4) t2＋1＋3)2，整理得t2＋4t－16＝0，(4分)
解得t1＝－2－2 eq \r(5) ，t2＝－2＋2 eq \r(5) .
当t＝－2－2 eq \r(5) 时，－ eq \f(1,4) t2＋1＝－ eq \f(1,4) ×(－2－2 eq \r(5) )2＋1＝－5－2 eq \r(5) ，B(－2－2 eq \r(5) ，－5－2 eq \r(5) ).(5分)
当t＝－2＋2 eq \r(5) 时，－ eq \f(1,4) t2＋1＝－ eq \f(1,4) ×(－2＋2 eq \r(5) )2＋1＝－5＋2 eq \r(5) ，B(－2＋2 eq \r(5) ，－5＋2 eq \r(5) )，(6分)
综上所述，满足题意的点B的坐标为(－4，－3)或(－2－2 eq \r(5) ，－5－2 eq \r(5) )或(－2＋2 eq \r(5) ，－5＋2 eq \r(5) )；
(3)存在常数m，使得OD⊥OE.理由如下：
设抛物线y＝－ eq \f(1,4) x2＋1与直线y＝kx(k≠0)的交点坐标为B(a，ka)，C(b，kb)，
由y＝－ eq \f(1,4) x2＋1＝kx得x2＋4kx－4＝0，
∴a＋b＝－4k，ab＝－4，设直线AB的表达式为y＝px＋q，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ap＋q＝ka,q＝1)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝\f(ka－1,a),q＝1)) ，
∴直线AB的表达式为y＝ eq \f(ka－1,a) x＋1，
令y＝m，由y＝ eq \f(ka－1,a) x＋1＝m得x＝ eq \f(a（m－1）,ka－1) ，
∴D( eq \f(a（m－1）,ka－1) ，m).(7分)
同理可得直线AC的表达式为y＝ eq \f(kb－1,b) x＋1，则E( eq \f(b（m－1）,kb－1) ，m)，(8分)
过点E作EQ⊥x轴于点Q，过点D作DN⊥x轴于点N，
则∠EQO＝∠OND＝90°，EQ＝ND＝m，QO＝－ eq \f(b（m－1）,kb－1) ，ON＝ eq \f(a（m－1）,ka－1) ，
若OD⊥OE，则∠EOD＝90°，
∴∠QEO＋∠QOE＝∠DON＋∠QOE＝90°，
∴∠QEO＝∠DON，∴△EQO∽△OND，
∴ eq \f(EQ,ON) ＝ eq \f(QO,ND) ，∴ eq \f(m,\f(a（m－1）,ka－1)) ＝ eq \f(－\f(b（m－1）,kb－1),m) ，(9分)
整理得m2(ka－1)(kb－1)＝－ab(m－1)2，
即m2[abk2－k(a＋b)＋1]＝－ab(m－1)2，
将a＋b＝－4k，ab＝－4代入，得m2(－4k2＋4k2＋1)＝4(m－1)2，
第25题解图
即m2＝4(m－1)2，则m＝2(m－1)或m＝－2(m－1)，
解得m1＝2，m2＝ eq \f(2,3) .(10分)
综上所述，存在常数m.使得OD⊥OE，m的值为2或 eq \f(2,3) .
26. 【初步感知】
(1)证明：如解图①，连接CD，
第26题解图①
当n＝1时， eq \f(AD,BD) ＝1，即AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠FCD＝ eq \f(1,2) ∠ACB＝45°，
∴CD＝AD，∠A＝∠FCD，AB＝ eq \r(2) BC，
∴BC＝ eq \f(\r(2),2) AB，(1分)
∵DE⊥FD，∴∠ADE＋∠EDC＝∠FDC＋∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF.
在△ADE与△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADE＝∠CDF,DA＝DC,∠DAE＝∠DCF)) ，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，(2分)
∴AE＝CF，∴BC＝CF＋BF＝AE＋BF＝ eq \f(\r(2),2) AB；(3分)
【深入探究】
(2)解：①AE＋ eq \f(1,2) BF＝ eq \f(\r(2),3) AB，证明如下：
如解图②，取BD的中点G，作HG∥BC，交DF于点J，交AC于点H，
第26题解图②
当n＝2时， eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(1,2) ，即2AD＝DB.
∵G是DB的中点，∴AD＝DG，AG＝ eq \f(2,3) AB，
∵HG∥BC，∴∠AHG＝∠C＝90°，∠HGA＝∠B＝45°.
∵∠A＝45°，
∴△AHG是等腰直角三角形，∵△DJG∽△DFB，
∴ eq \f(JG,FB) ＝ eq \f(DG,DB) ＝ eq \f(1,2) ，(4分)
根据(1)中的结论可得AE＋JG＝ eq \f(\r(2),2) AG，
∴AE＋JG＝AE＋ eq \f(1,2) BF＝ eq \f(\r(2),2) AG＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(2,3) AB＝ eq \f(\r(2),3) AB.
∴线段AE，BF，AB之间的数量关系为AE＋ eq \f(1,2) BF＝ eq \f(\r(2),3) AB；(6分)
②当点F在射线BC上时，AE＋ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB，当点F在CB延长线上时，AE－ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB；(8分)
(解法提示)当点F在射线BC上时，如解图③，在DB上取一点G使得AD＝DG，过点G作HG∥BC，交DF于点J，交AC于点H，同①，可得AE＋JG＝ eq \f(\r(2),2) AG，∵ eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(1,n) ，AD＝DG，∴ eq \f(DG,BD) ＝ eq \f(1,n) ，AG＝ eq \f(2,n＋1) AB，同①可得 eq \f(JG,FB) ＝ eq \f(DG,DB) ＝ eq \f(1,n) ，∴AE＋JG＝AE＋ eq \f(1,n) FB＝ eq \f(\r(2),2) AG＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(2,n＋1) AB＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB，即线段AE，BF，AB之间数量关系为AE＋ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB；
第26题解图③
当点F在CB延长线上时，如解图④，在DB上取一点G使得AD＝DG，过G作HJ∥BC，交DF于点J，交AC于点H，连接HD.同(1)中原理，可证明△DHE≌△DGJ(ASA)，∴HE＝GJ，可得AE－GJ＝AE－HE＝ eq \f(\r(2),2) AG，
∵ eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(1,n) ，AD＝DG，∴ eq \f(DG,BD) ＝ eq \f(1,n) ，AG＝ eq \f(2,n＋1) AB，同①可得 eq \f(JG,FB) ＝ eq \f(DG,DB) ＝ eq \f(1,n) ，
∴AE－JG＝AE－ eq \f(1,n) FB＝ eq \f(\r(2),2) AG＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(2,n＋1) AB＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB，即线段AE，BF，AB之间数量关系为AE－ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB.综上所述，当点F在射线BC上时，AE＋ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB；当点F在CB延长线上时，AE－ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB.

第26题解图④
【拓展运用】
(3)解：如解图⑤，当E1与A重合时，取E1F1的中点M1，当E2与C重合时，取E2F2的中点M2，可得点M的轨迹长度即为M1M2的长度，
第26题解图⑤
如解图⑥，以点D为原点，DF1为y轴，DB为x轴建立平面直角坐标系，过点E2作AB的垂线段，交AB于点G，过点F2作AB的垂线段，交x轴于点H，
∵AB＝2 eq \r(2) ， eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(1,n) ， ∴AD＝ eq \f(2\r(2),n＋1) ，DB＝ eq \f(2\r(2)n,n＋1) ，
∴E1(－ eq \f(2\r(2),n＋1) ，0)，
∵∠F1BD＝45°，∴F1D＝BD，∴F1(0， eq \f(2\r(2)n,n＋1) )，
∵M1是E1F1的中点，∴M1(－ eq \f(\r(2),n＋1) ， eq \f(\r(2)n,n＋1) )，(9分)
∵GB＝GC＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \r(2) ，∴DG＝DB－BG＝ eq \f(－\r(2)＋\r(2)n,n＋1) ，
∴E2( eq \f(－\r(2)＋\r(2)n,n＋1) ， eq \r(2) )，(10分)
根据(2)中的结论AE2－ eq \f(1,n) BF2＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB，
∴BF2＝n(AE2－ eq \f(\r(2),n＋1) AB)＝ eq \f(2n2－2n,n＋1) ，
∴BH＝F2H＝ eq \f(\r(2),2) BF2＝ eq \f(\r(2)n2－\r(2)n,n＋1) ，∴DH＝DB＋BH＝ eq \r(2) n，
∴F2( eq \r(2) n，－ eq \f(\r(2)n2－\r(2)n,n＋1) )，(11分)
∴M2( eq \f(\r(2)n2＋2\r(2)n－\r(2),2n＋2) ， eq \f(－\r(2)n2＋2\r(2)n＋\r(2),2n＋2) )，∴M1M2＝ eq \r(n2＋1) .(12分)

第26题解图⑥一、选择题
1－5 ADCCB 6－8 BAC
二、填空题
9. m(m－3) 10. > 11. 3 12. (－5，－1) 13. eq \f(2,3)
三、解答题标准答案及评分标准：
14～18题见详解详析
一、填空题
19. eq \f(2,3) 20. 6 21. 184 22. eq \f(3\r(7),7) 23. 15；57
二、解答题标准答案及评分标准：
24～26题见详解详析