2024 河北数学中考备考重难专题：三角形、四边形综合题旋转问题（课件）

这是一份2024 河北数学中考备考重难专题：三角形、四边形综合题旋转问题（课件），共31页。PPT课件主要包含了课件说明，课堂练兵，课后小练，典例精讲，考情分析等内容，欢迎下载使用。

一、课件设计初衷 基于老师在总复习过程中对重难题型有较大的需求，以及纸质图书和板书展示二次函数图象与几何图形等重难点效果不佳而设计重难专题课件. 在制作过程中结合课件能使题图动态化且分步骤展示的特性，有助于学生题图结合梳理题意，理解平面图形的变化过程.二、课件亮点1.依据区域考情，针对性选题 按照本地区考情及考法选题，针对性强，有效提高老师备课效率2.贴近学生实际解题情境，形式符合教学习惯 审题时对题目数字、符号、辅助线、动图等关键信息进行题图批注，帮助学生梳理关键信息，激发学生兴趣，调动积极性3.含解题思路引导与方法总结，提高课堂互动性 通过问题启发式解题思路点拨，激发学生数学思考与探索. 方法总结使学生复习一类题，会一类题，取得有效的复习成果三、课件使用场景适用于中考专题复习或题位复习
三角形、四边形综合题 旋转问题
例 （2022河北逆袭卷）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4，O是对角线BD的中点，P是平面内一点，且OP＝1.
(1)点P到AB的最小距离是________；
说明P在以点O为圆心，1为半径的圆上(线圆最值)
点P与AB位于圆心同侧时取最小值，
(2)如图②，当P点落在BD上时，求CP的长；
连接OC，构造直角三角形，用勾股定理求
(2)如解图①，连接OC，
∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，∠BOC＝90°，OC＝ BD，∴BD＝4 ，∴OC＝2 . ∵OP＝1，∠BOC＝90°，∴CP＝ ；
(3)如图③，连接BP，把BP绕点P顺时针旋转90°得到 B′P，连接CP，DB′，求B′D的最大值．
连接BB′，观察图形，有什么发现？
参考(1)中，P在以点O为圆心，1为半径的圆上。点B′的轨迹是以点P为圆心，圆心角为90°的弧上
(3) 如解图②，连接BB′，
由旋转的性质可知，BP＝B′P，∠BPB′＝90°，∴∠PBB′＝45°，∴BB′＝ BP，∴ .∵∠ABD＝∠DBC＝45°， ∴∠ABB′＝∠PBD，∴∠DBB′＝∠PBC.∵ ，∴ ， ,∴△DBB′∽△CBP，
∴ ，∴B′D＝ CP，∵CP≤OP＋OC＝1＋2 ，∴当点P，O，C在同一条直线上，且O点在P点，C点之间时，CP最大，最大值为1＋2 ，此时B′D有最大值，最大值为4＋ .
练习 （2022河北黑白卷）在正方形ABCD中，边BC的中点为E，点F为边CD上一个动点(不与C，D重合)，连接EF，将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°＜α≤360°)，旋转后的三角形为△CE′F′，连接EE′和FF′.(1)如图①，求证：△CEE′∽△CFF′；
∠FCF′=∠CEE′
(1)证明：由旋转的性质可得：CE＝CE′，CF＝CF′，∠ECE′＝∠FCF′＝α，∴ ，∴△CEE′∽△CFF′；
练习 （2022河北黑白卷）在正方形ABCD中，边BC的中点为E，点F为边CD上一个动点(不与C，D重合)，连接EF，将△CEF绕点C逆时针旋转α(0°＜α≤360°)，旋转后的三角形为△CE′F′，连接EE′和FF′.
(2)如图②，当点F为CD的中点时，判断线段EE′和线段FF′的数量关系和位置关系，并证明；
猜想数量关系：相等位置关系：垂直
作辅助线将EE′和FF′构造在两条有关联的线段中
由(1)可知，△CEE′≌△CFF′
∠P=360°－∠CE′E－ ∠CFF′－∠FCE′
(2)解：当点F为CD的中点时，EE′＝FF′，且EE′⊥FF′，证明：∵在正方形ABCD中，E是边BC的中点，点F为边CD的中点，∴CE＝CF，
由(1)得△CEE′∽△CFF′，CE＝CE′，∴EE′＝FF′；如解图①，分别延长E′E和FF′，交点为P，由旋转可知：∠ECE′＝∠FCF′＝α，∴∠FCE′＝90°＋α，∵CE＝CE′，CF＝CF′，∴∠CE′E＝∠CFF′＝ ，∵在四边形CFPE′中，∠P＋∠CE′P＋∠FCE′＋∠CFP＝360°，∴∠P＝360°－2(90°－ )－(90°＋α)＝90°，∴EE′⊥FF′；
(3)如图③，若∠CEF＝60°，在旋转过程中，当点E恰好在△CE′F′的一条边上时(不包含顶点)，求α的度数；
(3)解：分两种情况：情况一：如解图②，当点E在E′F′上时，∵∠CEF＝∠CE′E＝60°，CE＝CE′，∴△CEE′为等边三角形，∴此时旋转角α＝60°，情况二：如解图③，当点E在CF′上时，此时旋转角α＝90°，综上所述，若∠CEF＝60°，在旋转过程中，当点E恰好在△CE′F′的一条边上时(不包含顶点)，α为60°或90°；
(4)如图④，若正方形ABCD的边长为4，当∠CEF＝30°时，取EF的中点M，E′F′的中点M′，连接AM，AM′，请直接写出在旋转过程中，AM′的取值范围．
当CM′和AC在同一条直线上时，AM′取得最大和最小值
E′F′=EF为定值→F′M为定值
即在旋转过程中，点M′的运动轨迹是以点C为圆心，CM′为半径的圆
CM′和AC在同侧，取最小
CM′和AC在异侧，取最大
【解法提示】如解图④，连接AC，CM′，在Rt△CE′F′中，∠E′CF′＝90°，∠CE′F′＝∠CEF＝30°，CE′＝CE＝ BC＝ ×4＝2，∴E′F′＝ ，∴CM′＝ 为定值，即在旋转过程中，点M′的运动轨迹是以点C为圆心，CM′为半径的圆，∴当CM′和AC在同一条直线上时，AM′取得最大和最小值，∵在正方形ABCD中，边长为4，∴AC＝4 ，∴AM′min＝4 － ，AM′max＝4 ＋ ，即在旋转过程中，4 － ≤AM′≤4 ＋ .
练习 （2022山西逆袭卷）综合与实践问题情境：如图①所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，对角线AC⊥BC，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，已知CD＝CE.(1)试判断线段AD与AE的数量关系，并证明；
操作探究：将△ACD沿直线AB向右平移，点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′.(2)①如图②，当点A′与点E重合时，连接DD′，试判断四边形AED′D的形状，说明理由；并求出此时△ACD平移的距离；
(2)①四边形AED′D是菱形．理由：由平移的性质可知：AD∥A′D′，且AD＝A′D′，∴四边形AED′D是平行四边形．由(1)可知：AD＝AE，∴四边形AED′D是菱形；在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝4，∴根据勾股定理，得AC＝ ，∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴ ，∴AE＝ ，∴△ACD平移的距离为 ；
操作探究：将△ACD沿直线AB向右平移，点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′.(2)②当点D′恰好落在BC上时，请在图①中画出平移后的△A′C′D′，并求出此时△ACD平移的距离；
②如解图，过点D作DD′∥AB，交BC于点D′，过点D′作D′A′∥DA，交AB于点A′，过点D′作D′C′∥DC，过点A′作A′C′∥AC，D′C′交A′C′于点C′，则△A′C′D′即为所求．
由平移的性质可知：∠3＝∠4，AC∥A′C′，AD＝A′D′，∴∠1＝∠2，∵AC⊥BC，∴A′C′⊥BC，由(1)知∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴∠B＝∠5，∴A′B＝A′D′；由①可知：AD＝AE＝A′D′＝A′B＝ ，∴A′A＝AB－A′B＝5－ ，∴此时△ACD平移的距离为 ；
拓展创新：(3)如图③，在(2)①的条件下，将△A′C′D′绕点E旋转，在旋转的过程中，记C′D′所在直线与边BC交于点M，与边AB交于点N，当BN＝MN时，请求出BN的长度．
练习2 (2022河北预测卷)已知正方形ABCD和等腰Rt△DEF,且∠EDF＝90°,将△DEF绕点D旋转．(1)当△DEF绕点D旋转到图①的位置时,连接AF,AE,CE.①求证：AF＝EC；
①证明：∵四边形ABCD是正方形,∴CD＝AD,∠ADC＝90°.∵△DEF是等腰直角三角形,∠EDF＝90°,∴DE＝DF,∵∠ADF＋∠ADE＝∠CDE＋∠ADE,∴∠CDE＝∠ADF,∴△CDE≌△ADF, ∴AF＝CE；
练习2 (2022河北预测卷)已知正方形ABCD和等腰Rt△DEF,且∠EDF＝90°,将△DEF绕点D旋转．(1)当△DEF绕点D旋转到图①的位置时,连接AF,AE,CE.
②若DE∶AE∶CE＝1∶ ∶3,求∠AED的度数；
练习2 (2022河北预测卷)已知正方形ABCD和等腰Rt△DEF,且∠EDF＝90°,将△DEF绕点D旋转．
(2)如图②,点M是边AB的中点,连接DM､AC交于点O,当DF与DM重合时,FE交DC于点N,若BC＝4，OF＝ ,请直接写出点N到AC的距离．
【解法提示】∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD＝DC＝BC＝4，AC＝ .∵M是AB的中点,∴AM＝ AB＝2.∵AB∥CD,∴△AOM∽△COD,∴ ,∵在Rt△DAM中，DM＝ ,∴DO＝ DM＝ ,OM＝ DM＝ .∵OF＝ ,∴DF＝ .∵∠DFN＝∠DCO＝45°,∠FDN＝∠CDO,∴△DFN∽△DCO,