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2024安徽中考数学二轮专题训练 题型八 “翻译法”解读“新定义问题” (含答案)
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这是一份2024安徽中考数学二轮专题训练 题型八 “翻译法”解读“新定义问题” (含答案)，共5页。试卷主要包含了“翻译法”解读“新定义问题”等内容，欢迎下载使用。
典例精讲
例 1定义：把经过抛物线y＝ax2＋bx＋c(ab≠0，a，b，c为常数)与y轴的交点C和顶点M的直线称为抛物线的“伴线”，若抛物线与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，经过点C和点B的直线称为“标线”．已知“伴线”为y＝2x－3，“标线”为y＝kx－3k.
(1)①求c的值并用含a的代数式表示出b；
②求抛物线的解析式；
(2)设点P为“标线”上一动点，过点P作平行于y轴的平行线，交“标线”上方的抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
【新定义解读】伴线：抛物线与y轴交点和抛物线顶点的连线；标线：抛物线与y轴交点和抛物线与x轴右交点的连线(抛物线与x轴有两个交点)．
例 2 我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图①，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中∠B＝∠C.
(1)在图①所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；
(2)如图②，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B＝∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC.求证：eq \f(AB,DC)＝eq \f(BE,EC)；
(3)在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB＝EC，请问当点E在四边形ABCD内部时(即图③所示情形)，四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．(不必说明理由)
例2题图
【新定义解读】准等腰梯形：有且只有一组相邻锐角相等的四边形为准等腰梯形．
参考答案
典例精讲
例1 解：(1)①∵“伴线”为y＝2x－3，∴点C(0，－3)，
∵“标线”为y＝kx－3k，∴点C(0，－3k)，
∴k＝1，
∴“标线”为y＝x－3，
∴点B(3，0)，
将点C(0，－3)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，
得c＝－3，b＝1－3a；
②由①得c＝－3，b＝1－3a，
∴y＝ax2＋(1－3a)x－3，
∵M为抛物线的顶点，
∴点M(eq \f(3a－1,2a)，eq \f(－9a2－6a－1,4a))，
∴将M点坐标代入“伴线”中得eq \f(－9a2－6a－1,4a)＝2×eq \f(3a－1,2a)－3，
∴3a2＋2a－1＝0，
解得a＝－1或a＝eq \f(1,3)，
当a＝eq \f(1,3)时，b＝0(舍去)，
∴a＝－1，则b＝1－3a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3；
(2)设点P(m，m－3)，则点Q(m，－m2＋4m－3)，
∵Q在P上方，
∴m－3<－m2＋4m－3，∴0∴PQ＝－m2＋4m－3－m＋3＝－(m－eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
∵－1<0，0∴当m＝eq \f(3,2)时，线段PQ有最大值，最大值为eq \f(9,4).
例2 (1)解：过点A作AE∥CD交BC于点E，或过点D作DF∥BC交AB于点F，或过点D作DG∥AB交BC于点G，作图如解图①所示；(4分)
例2题解图①
(2)证明：∵AB∥DE，AE∥DC，
∴∠AEB＝∠C，∠DEC＝∠B，
∴△ABE∽△DEC，∴eq \f(AB,DE)＝eq \f(BE,EC)，
∵∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，
∴eq \f(AB,DC)＝eq \f(BE,EC)；(8分)
(3)解：四边形ABCD是“准等腰梯形”．
理由：如解图②，过点E分别作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G，EH⊥AD于点H，
∵AE平分∠BAD，∴EF＝EH，同理EH＝EG，∴EF＝EG，
∵EB＝EC，∠BFE＝∠CGE＝90°，
∴△EBF≌△ECG，∴∠EBF＝∠ECG，
∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，
∴∠EBF＋∠EBC＝∠ECG＋∠ECB，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴四边形ABCD是“准等腰梯形”．(11分)
当点E不在四边形ABCD内部时，四边形仍然是“准等腰梯形”．(14分)
【解法提示】当点E不在四边形ABCD内部时，分两种情况，(a)如解图③，点E在四边形ABCD的边BC上时，同理可证，Rt△EBF1≌Rt△ECG1，∴∠B＝∠C，∴四边形ABCD是“准等腰梯形”；(b)如解图④，点E在四边形ABCD的外部时，同理可证，Rt△EF2B≌Rt△EG2C，∴∠F2BE＝∠G2CE，又∵BE＝CE，∴∠CBE＝∠BCE，∴∠ABC＝∠F2BE－∠CBE＝∠G2CE－∠BCE＝∠BCD，∴四边形ABCD仍为“准等腰梯形”．
图②
图③
图④
例2题解图
典例精讲
例 1定义：把经过抛物线y＝ax2＋bx＋c(ab≠0，a，b，c为常数)与y轴的交点C和顶点M的直线称为抛物线的“伴线”，若抛物线与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，经过点C和点B的直线称为“标线”．已知“伴线”为y＝2x－3，“标线”为y＝kx－3k.
(1)①求c的值并用含a的代数式表示出b；
②求抛物线的解析式；
(2)设点P为“标线”上一动点，过点P作平行于y轴的平行线，交“标线”上方的抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
【新定义解读】伴线：抛物线与y轴交点和抛物线顶点的连线；标线：抛物线与y轴交点和抛物线与x轴右交点的连线(抛物线与x轴有两个交点)．
例 2 我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图①，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中∠B＝∠C.
(1)在图①所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；
(2)如图②，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B＝∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC.求证：eq \f(AB,DC)＝eq \f(BE,EC)；
(3)在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB＝EC，请问当点E在四边形ABCD内部时(即图③所示情形)，四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．(不必说明理由)
例2题图
【新定义解读】准等腰梯形：有且只有一组相邻锐角相等的四边形为准等腰梯形．
参考答案
典例精讲
例1 解：(1)①∵“伴线”为y＝2x－3，∴点C(0，－3)，
∵“标线”为y＝kx－3k，∴点C(0，－3k)，
∴k＝1，
∴“标线”为y＝x－3，
∴点B(3，0)，
将点C(0，－3)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，
得c＝－3，b＝1－3a；
②由①得c＝－3，b＝1－3a，
∴y＝ax2＋(1－3a)x－3，
∵M为抛物线的顶点，
∴点M(eq \f(3a－1,2a)，eq \f(－9a2－6a－1,4a))，
∴将M点坐标代入“伴线”中得eq \f(－9a2－6a－1,4a)＝2×eq \f(3a－1,2a)－3，
∴3a2＋2a－1＝0，
解得a＝－1或a＝eq \f(1,3)，
当a＝eq \f(1,3)时，b＝0(舍去)，
∴a＝－1，则b＝1－3a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3；
(2)设点P(m，m－3)，则点Q(m，－m2＋4m－3)，
∵Q在P上方，
∴m－3<－m2＋4m－3，∴0
∵－1<0，0
例2 (1)解：过点A作AE∥CD交BC于点E，或过点D作DF∥BC交AB于点F，或过点D作DG∥AB交BC于点G，作图如解图①所示；(4分)
例2题解图①
(2)证明：∵AB∥DE，AE∥DC，
∴∠AEB＝∠C，∠DEC＝∠B，
∴△ABE∽△DEC，∴eq \f(AB,DE)＝eq \f(BE,EC)，
∵∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，
∴eq \f(AB,DC)＝eq \f(BE,EC)；(8分)
(3)解：四边形ABCD是“准等腰梯形”．
理由：如解图②，过点E分别作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G，EH⊥AD于点H，
∵AE平分∠BAD，∴EF＝EH，同理EH＝EG，∴EF＝EG，
∵EB＝EC，∠BFE＝∠CGE＝90°，
∴△EBF≌△ECG，∴∠EBF＝∠ECG，
∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，
∴∠EBF＋∠EBC＝∠ECG＋∠ECB，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴四边形ABCD是“准等腰梯形”．(11分)
当点E不在四边形ABCD内部时，四边形仍然是“准等腰梯形”．(14分)
【解法提示】当点E不在四边形ABCD内部时，分两种情况，(a)如解图③，点E在四边形ABCD的边BC上时，同理可证，Rt△EBF1≌Rt△ECG1，∴∠B＝∠C，∴四边形ABCD是“准等腰梯形”；(b)如解图④，点E在四边形ABCD的外部时，同理可证，Rt△EF2B≌Rt△EG2C，∴∠F2BE＝∠G2CE，又∵BE＝CE，∴∠CBE＝∠BCE，∴∠ABC＝∠F2BE－∠CBE＝∠G2CE－∠BCE＝∠BCD，∴四边形ABCD仍为“准等腰梯形”．
图②
图③
图④
例2题解图
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