2024安徽中考数学二轮专题训练 题型三 从“几何最值问题”的本质，探究“满足特定条件问题” (含答案)

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典例精讲
例 1 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，点P为边AB上一动点，点P关于AC，BC的对称点分别为点M，N，PM，PN分别与AC，BC交于点E，F，连接MN，则线段MN的最小值为________．
例1题图①
变式探究
变式角度→点P在特定条件下，直角三角形变为等边三角形
如图②，在等边△ABC中，AB＝6，点P是AB上一动点，作点P关于直线AC、BC的对称点分别为点M、N，连接MN.若CP＝2eq \r(7)，则MN的长为________．

例1题图②
【本质】例1的本质是垂线段最短，即点C到AB的最短距离为CP⊥AB时CP的长．
【思考】①在图②中，若MN＝10时，你能判断出在AB边上有几个P点吗？②当点P在等边△ABC的三边上运动时，你能直接判断出在三角形的边上有几个P点吗？
满分技法
“垂线段最短”在最值问题中的应用：具体讲解内容详见微专题
类型二 “两点之间，线段最短”类问题
典例精讲
例 2 如图①，菱形ABCD的边长为2eq \r(3)，∠ABC＝60°，点P是AB上一点，E、F为BD的三等分点，连接PE、PF，则△PEF周长的最小值是( )
A. 4 B. 4＋eq \r(3) C. 2＋2eq \r(3) D. 6
例2题图①
变式探究
变式角度→ 设问变为求点的个数
如图②，菱形ABCD的边长为2eq \r(3)，∠ABC＝60°，点E、F将对角线BD三等分，若P是菱形边上的点，连接PE、PF，则满足△PEF的周长为eq \f(11,2)的点P的个数是( )
0 B. 4 C. 8 D. 12、

例2题图②
【本质】例2的本质是利用“两点之间、线段最短”求△PEF周长的最值问题，即点P的位置具有唯一性．
【思考】当△PEF的周长为某一定值，点P的位置及个数会怎样呢？
满分技法
利用“两点之间，线段最短”求最值：具体讲解内容详见微专题
安徽近年真题精选
如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝eq \f(1,3)S矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( )
A.eq \r(29) B.eq \r(34) C．5eq \r(2) D.eq \r(41)
第1题图
2.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12.点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( )
A. 0 B. 4 C. 6 D. 8
第2题图
变式探究
3. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6，点P是菱形ABCD边上的点，则满足PE＋PF＝eq \r(13)的点P的个数是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第3题图
类型三 “点圆最值，线圆最值”类问题
典例精讲
例 3 如图①，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，连接CP，则线段CP的最小值为( )
A. eq \f(\r(5),5) B. eq \f(\r(2),2) C. eq \f(\r(5)－1,2) D. eq \f(\r(5),4)
例3题图①
【本质】例3的本质是利用辅助圆求线段CP的最小值问题．
【思考】当我们画出点P的运动轨迹时，他与过点C的直线会存在哪种位置关系呢？
满分技法
辅助圆在最值问题中的应用：具体讲解内容详见P99微专题
变式探究
如图②，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，M为AD边上一点，连接CM，当AM＝1时，CM与P点运动轨迹的交点个数是( )
0 B. 1 C. 2 D. 3
例3题图②
安徽近年真题精选
4. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
A. eq \f(3,2) B. 2 C. eq \f(8\r(13),13) D. eq \f(12\r(13),13)
第4题图
参考答案
类型一 “垂线段最短”类问题
典例精讲
例1 3eq \r(3) 【解析】如解图①，连接CP，∵点P关于AC，BC的对称点分别为点M，N，∴MC＝CP，CP＝CN，AC⊥MP，NP⊥BC，∴∠MCA＝∠ACP，∠NCB＝∠BCP，∵∠ACP＋∠BCP＝∠ACB＝90°，∴∠MCA＋∠ACP＋∠NCB＋∠BCP＝180°，∴点M，C，N在一条直线上，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝3，AC＝3eq \r(3)，∵CM＝CP＝CN，∴MN＝2CP，当CP⊥AB时，CP有最小值，即MN有最小值．∵∠CAB＝30°，∴CP＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(3\r(3),2)，∴MN的最小值为3eq \r(3).
例1题解图①
变式探究
2eq \r(21) 【解析】如解图②，过点C作CD⊥AB于点D，分别过点M、N作AB的垂线交AB的延长线于点G、H，∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴CD＝3eq \r(3).假设点P在点D左侧，∵CP＝2eq \r(7)，∴PD＝1，AP＝2，∴PE＝eq \r(3)，PM＝2eq \r(3)，∴MG＝eq \r(3)，PG＝3，BP＝4，∴PF＝2eq \r(3)，PN＝4eq \r(3)，∴NH＝2eq \r(3)，PH＝6，GH＝GP＋PH＝9，NH－MG＝eq \r(3)，∴MN＝eq \r(92＋（\r(3)）2)＝2eq \r(21). 由等边三角形的对称性可得，当点P在点D右侧时，MN＝2eq \r(21)，∴MN的长为2eq \r(21).
例1题解图②
【思考】①当点P与点D重合时，MN取得最小值，此时，易得MN＝9，∵等边三角形边长为6，∴高为3eq \r(3)，当点P与A、B重合时，MN取得最大值，此时MN＝6eq \r(3)，∴9类型二 “两点之间，线段最短”类问题
典例精讲
例2 C 【解析】如解图①，作点E关于AB的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，∴△PEF的周长为PE＋EF＋PF＝PE′＋EF＋PF，∵EF为定值，∴只需求PE′＋PF的最小值，连接E′F交AB于点P′，当点P与点P′重合，即当P、E′、F三点共线时，PE′＋PF的值最小．∵菱形ABCD的边长为2eq \r(3)，∠ABC＝60°，∴EF＝BE＝DF＝2，EE′＝2, 过点E′作E′G⊥BD于点G，E′G＝eq \r(3)，EG＝1，∴FG＝3，FE′＝2eq \r(3)，∴△PEF周长＝FE′＋EF＝2＋2eq \r(3).
例2题解图①
【思考】当△PEF的周长大于最小值且小于当P点与A、B点重合时的值时在AB上有关于点P′对称的两个点．
变式探究
C 【解析】要满足△PEF的周长为eq \f(11,2)，即满足PE＋PF＝eq \f(7,2)，如解图②，假设点P在线段AB上，作点E关于AB的对称点E′，连接EE′交AB于点P，此时PE＋PF的值最小．
易知PE＋PF的最小值为2eq \r(3)，当点P由A运动到B时，PE＋PF的值由最大值4减小到2eq \r(3)再增加到6，∵PE＋PF＝eq \f(11,2)－2＝eq \f(7,2)，2eq \r(3)＜eq \f(7,2)＜4，∴线段AB上存在两个点P，满足△PEF的周长为eq \f(11,2)，∴根据菱形的对称性可知：菱形ABCD的边上的存在8个点P满足条件．
例2题解图②
安徽近年真题精选
1. D 【解析】如解图，设△PAB底边AB上的高为h，∵S△PAB＝eq \f(1,3)S矩形ABCD，∴eq \f(1,2)AB·h＝eq \f(1,3)AB·AD，∴h＝2，即h为定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CB于点F，故P点在直线EF上运动 ，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，交直线EF于点P，此时PA＋PB最小，即为A′B的长，由对称得AA′＝2AE＝4，∴A′B＝eq \r(AA′2＋AB2)＝eq \r(42＋52)＝eq \r(41)，即PA＋PB的最小值为eq \r(41).
第1题解图
2. D 【解析】如解图，∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴AE＝EF＝FC＝4，当P点在AD上时，作E点关于AD的对称点E′，连接E′F、AE′，EE′，则AE′＝AE＝4，当P点运动至E′F和AD交点时，PE＋PF具有最小值，∵∠EAD＝∠E′AD＝45°，∴∠E′AF＝90°，此时E′F＝eq \r(（AE′）2＋AF2)＝eq \r(42＋82)＝4eq \r(5)<9，当P点和A点重合时，PE＋PF＝AE＋AF＝12，当P点和D点重合时，过点E作EG⊥AD，垂足为G，∵AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，AE＝CF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴DE＝DF，∴PE＋PF＝2PE＝2eq \r(EG2＋DG2)＝2×eq \r(（2\r(2)）2＋（4\r(2)）2)＝4eq \r(10).∵4eq \r(5)<9<12，4eq \r(5)<9<4eq \r(10)，故在AD上有两个位置存在PE＋PF＝9，同理在其余三边上各有两种情况，故正方形四条边上共存在8个位置使得PE＋PF＝9，∴满足条件的P点有8个．
第2题解图
3. D 【解析】不妨假设点P在线段AD上，作点E关于AD的对称点E′，连接FE′交AD于点P，此时PE＋PF的值最小．易知PE＋PF的最小值＝2eq \r(3)，当点P由A运动到D时，PE＋PF的值由最大值6减小到2eq \r(3)再增加到4，∵PE＋PF＝eq \r(13)，2eq \r(3)＜eq \r(13)＜4，∴线段AD上存在两个点P，满足PE＋PF＝eq \r(13)，同理根据对称性可知，菱形ABCD的其余三边上各存在两个点P，故菱形中满足条件的P点有8个．
第3题解图
类型三 “点圆最值，线圆最值”类问题
典例精讲
例3 C 【解析】∵AE⊥BF交于点P，且∠APB＝90°，则点P的轨迹为以AB为直径的⊙O，如解图①，连接CO交半圆于点P′，此时CP的值最小，∵BC＝AB＝1，∴AO＝BO＝eq \f(1,2)，CO＝eq \r(OB2＋BC2)＝eq \f(\r(5),2)，∴CP的最小值＝CO－OP′＝eq \f(\r(5),2)－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(5)－1,2)，故选C.
例3题解图①
【思考】过点C的直线与P点的运动轨迹圆存在相交、相离和相切三种位置关系．
变式探究
B 【解析】如解图②，点P的轨迹为以AB为直径的⊙O，过点O作OG⊥CM交CM于点G，连接OM，OC，∵AM＝1，OA＝2，∴OM＝eq \r(5)，DM＝3，OC＝2eq \r(5)，∴CM＝5，OC2＋OM2＝CM2，∴OM⊥OC，∴OM·OC＝CM·OG，∴OG＝2，OG等于圆的半径，即CM与⊙O相切，∴CM与P点轨迹只有一个交点．
例3题解图②
安徽近年真题精选
4. B 【解析】如解图，∵∠PAB＝∠PBC，∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°，∴∠BAP＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P始终在以AB的中点O为圆心，以OA＝OB＝OP＝eq \f(1,2)AB＝3为半径的圆上，连接OP，PC，连接OC交⊙O于点P′，由解图知，只有当在点P在OC与⊙O的交点处时， PC的长最小．即为CP′的长，在Rt△OBC中，OC＝eq \r(OB2＋BC2)＝eq \r(32＋42)＝5，∴P′C＝OC－OP′＝5－3＝2，∴线段CP长的最小值为2.
第4题解图