2024年福建省福州八中中考数学三模试卷

这是一份2024年福建省福州八中中考数学三模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a≥﹣2B．a＜﹣3C．﹣a＞2D．﹣a≥3
2．（4分）如图，王华用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分，则其左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．m6+m2＝m8B．m6•m2＝m12C．m6÷m2＝m3D．（m6）2＝m12
4．（4分）若三角形两边长分别为7cm和10cm，则第三边长可能为（ ）
A．2cmB．10cmC．17cmD．20cm
5．（4分）一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB，则∠DBC的度数为（ ）
A．10°B．15°C．18°D．30°
6．（4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧（上一点（点P不与点C重合），则∠CPD=（ ）
A．45°B．36°C．35°D．30°
7．（4分）为了解佳佳“1分钟跳绳”成绩的稳定情况，统计了佳佳6次的跳绳成绩，并代入方差公式，得（ ）
A．平均数与众数相等
B．平均数与中位数相等
C．众数与中位数相等
D．平均数、中位数、众数互不相等
8．（4分）在平面直角坐标系中，将函数y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1
9．（4分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC．已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为α，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为β，若表AC的长为m,则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为（ ）
A．mtanα﹣mtanβB．
C．msinα﹣mcsβD．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），CE⊥AD交AB于点E，垂足为点H，连接BH并延长交AC于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．当CD＝BD时，B．当CD＝BD时，
C．BH的最小值为D．当BD＝2CD时，
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）北京市某天的最高气温是8℃，最低气温是﹣3℃，那么当天的日温差是 ．
12．（4分）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为 ．
13．（4分）如图，已知点A（1，4），B（5，4），点P是线段AB上的整点（不与A，B重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（x＞0）经过点P，写出一个符合条件的k的值： ．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为 ．
15．（4分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．若对于m＜x1＜m+4，m+4＜x2＜m+5，总有y1＜y2，求m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，已知在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE=CF．求证：∠BED=∠DFB．
19．（8分）先化简：，然后从0，2，4中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
20．（8分）某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案：一户家庭的月均用水量不超过m（单位：t）的部分按平价收费，超出m的部分按议价收费．为此拟召开听证会，以确定一个合理的月均用水量标准m.通过抽样，获得了前一年1000户家庭每户的月均用水量（单位：t），将这1000个数据按照0≤x＜4，4≤x＜8，…，28≤x＜32分成8组，制成了如图所示的频数分布直方图．
（1）写出a的值，并估计这1000户家庭月均用水量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）
（2）假定该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m,请判断若以（1）中所求得的平均数作为标准m是否合理？并说明理由．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．
（1）将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若，求的值．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，弦AE交BC于点F，＝，∠ACB＝2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若csB＝，AB＝5，则线段BF的长为 ．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
24．（12分）如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）如图2，已知点P为第一象限内抛物线C1上的一点，点Q的坐标为（1，0），∠POC+∠OCQ=45°，求点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线C1平移到以坐标原点为顶点，记为C2，点T（1，﹣1）在抛物线C2上，过点T作TM⊥TN分别交抛物线C2于M，N两点，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．
25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D点为AB边上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD，交CD于点E．
（1）用等式表示∠ACE与∠ABE的数量关系，并说明原因；
（2）如图2，若F为AC中点，且AD：DB=1：2，求证：B，E，F三点共线．
（3）如图3，若在线段EB上截取EH=EC，连接AH，交CD于点G，求证：BH=2EG．
2024年福建省福州八中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共10小题，共40分）
1．【答案】C
【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，
A、﹣4＜a＜﹣2；
B、﹣3＜a＜﹣6；
C、∵﹣3＜a＜﹣2，故选项C符合题意；
D、∵﹣2＜a＜﹣2，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．【答案】A
【解答】解：从左边看是上下两个矩形，矩形的公共边是虚线，
故选：A．
3．【答案】D
【解答】解：A、m6与m2不是同类项，不能合并；
B、m4•m2＝m8，故此选项不符合题意；
C、m5÷m2＝m4，故此选项不符合题意；
D、（m2）2＝m12，故此选项符合题意；
故选：D．
4．【答案】B
【解答】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系，
得10﹣7＜x＜10+7，
即3＜x＜17，
10cm适合，
故选：B．
5．【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDF＝60°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝15°，
故选：B．
6．【答案】B
【解答】解：如图，连接OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
7．【答案】B
【解答】解：根据公式可知6次的跳绳成绩为5，4，6，8，4，9，求得平均数为7分，中位数为8分，
故选：B．
8．【答案】A
【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），
绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣3，1），
则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，
再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+4．
故选：A．
9．【答案】B
【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝m，
∴CD＝＝，
在Rt△ACB中，∠ABC＝α，
∴BC＝＝，
∴BD＝BC﹣CD＝﹣，
故选：B．
10．【答案】C
【解答】解：当CD＝BD时，
∵BC＝4，
∴，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴，
∵CE垂直AD，
∴，
∴AC•CD＝AD•CH，
∴，故A正确；
如图，过点D作DM∥AC交BF于点M，
∴，
当CD＝BD时，
∴，
∴BM＝FM，
∴DM是△BCF的中位线，
∴CF＝2DM，
∵∠ACB＝90°，CE垂直AD，
∴∠ACD＝∠AHC＝∠DHC＝90°，
∴∠ACH+∠CAH＝90°，∠ACH+∠DCH＝90°，
∴∠CAH＝∠DCH，
∴△ACH∽△CDH，
∴，
∵∠CAH＝∠DAC，∠ACD＝∠AHC，
∴△ACH∽△ADC，
∴，即，
∵AC＝2，CD＝2，
∴，
∴AH＝8CH＝4HD，
∵DM∥AC，
∴△DMH∽△AFH，
∴，
∴AF＝4DM＝2CF，
∵AC＝3，
∴，故B正确；
∵CH⊥AH，
∴点H在以AC为直径的圆上，
当BH最短时，点F为AC的中点，
∴，
∴，
∴BH的最小值为，故C错误；
当BD＝2CD时，AC＝BC＝4，
∴，，，
过点B作BN⊥BC交CE的延长线于点N，
∴∠CBN＝90°＝∠ACD，
∴∠N+∠BCN＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠BCN+∠HDC＝90°，
∴∠HDC＝∠N，
又AC＝BC，∠CBN＝∠ACD，
∴△ACD≌△CBN（AAS），
∴，
∵∠ACD+∠CBN＝180°，
∴BN∥AC，
∴△ACE∽△BNE，
∴，
∴AE＝5BE，
∴，故D正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得8﹣（﹣3）＝2+3＝11（°C），
故答案为：11°C．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果有2种，
∴抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为＝．
故答案为：．
13．【答案】8或12或16（任选一个即可）．
【解答】解：∵A（1，4），4），
∴AB∥x轴，
∵点P在线段AB上，
∴点P的纵坐标为4，且横坐标1＜x＜6，
∵点P的横坐标为整数，
∴x＝2或3或2，
∴点P的坐标为（2，4）或（3，4），
∴k的值为8，12，
故答案为：5或12或16（任选一个即可）．
14．【答案】．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴的长为：＝，
故答案为：．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
则，
故5x+x+y+5y＝5，
则x+y＝．
答：4大桶加1小桶共盛斛米．
故答案为：．
16．【答案】m≥﹣1．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞2），
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大．
∵m＜x5＜m+4，m+4＜x7＜m+5，
∴2m+8＜x1+x2＜5m+9，x1＜x8，
∵x1＜x2，y2＜y2，
∴（x1+x2）＞6，
∴2m+4≥7，
∴m≥﹣1，
故答案为：m≥﹣1．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．【答案】﹣3．
【解答】解：
＝8﹣﹣2﹣5
＝﹣3．
18．【答案】证明见解答．
【解答】证明方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，
∴∠BED＝∠DFB．
证明方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∵点E、F分别在边AD，且AE＝CF，
∴ED∥FB，AD﹣AE＝CB﹣CF，
∴ED＝FB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴∠BED＝∠DFB．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝•
＝•
＝x﹣2，
∵x＝2或7时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝5﹣2＝﹣2．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）依题意得：
a＝[1000﹣（40+180+280+220+60+20）]÷2＝100．
这1000户家庭月均用水量的平均数为：
，
∴估计这1000户家庭月均用水量的平均数是14.72．
（2）不合理．理由如下：
由（1）可得14.72在12≤x＜16内，
∴这1000户家庭中月均用水量小于16 t的户数有40+100+180+280＝600（户），
∴这1000户家庭中月均用水量小于16 t的家庭所占的百分比是，
∴月均用水量不超过14.72 t的户数小于60%．
∵该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m，
而60%＜70%，
∴用14.72作为标准m不合理．
21．【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求；
（2）连接DF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
，
由（1）可知 ，AE＝AD，
∴BE＝BD，
∵AB＝AB，
∴△ABE≌△ABD（SSS），
∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠DBA，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF＝DF，
∵CF⊥AB，
在Rt△BCF中，si，
设 CF＝4a，则BC＝5a，
∵，∠BFC＝90°，
∴，
∴．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵＝，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAD＝2∠BAE，
∵∠ACB＝2∠EAB，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠CAD+∠BAD＝90°，
∴AB⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵csB＝＝，AB＝5，
∴BD＝5，
∴AD＝＝7，
过FH⊥AB于H，
∴∠ADF＝∠AHF＝90°，
∵AF＝AF，
∴△ADF≌△AHF（AAS），
∴AH＝AD＝3，DF＝HF，
∴BH＝2，
∵BF8＝FH2+BH2，
∴BF2＝（4﹣BF）2+82，
解得：BF＝．
故答案为：．
23．【答案】（1）笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
（2）可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
（3）文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
【解答】解：任务1：设笔记本的单价为x元，根据题意，得，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
这时3x＝10．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，得10a+6b＝400，
由题意，a≥20，且b是10的倍数，
∴或或，
∴可购买钢笔30支，笔记本20本，笔记本30本，笔记本40本．
任务7：当原有钢笔30支，笔记本20本时，根据题意，整理得，
∵1＜m＜10，且m，
∴经尝试检验得，
∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔．（答案不唯一）
24．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）P（，2）；
（3）直线MN恒过定点（﹣1，﹣2）．证明见解答．
【解答】（1）解：令x＝0，得y＝3，
∴C（2，3），
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝8OA，
∴OA＝1，OB＝3，
∴A（﹣2，0），0），
将A（﹣7，0），0）代入y＝ax3+bx+3，得：
，
解得：，
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+5x+3；
（2）解：设P（t，﹣t2+7t+3），如图，过点Q作QE⊥BC于点E，
则∠BEQ＝∠CEQ＝∠PFO＝90°，PF＝t2+3t+3，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝∠CBO＝45°，
∴BC＝＝＝3，
∵∠BCO+∠OCQ＝45°，∠POC+∠OCQ＝45°，
∴∠BCO＝∠POC，
∵∠QEC＝∠PFO＝90°，
∴△CQE∽△OPF，
∴＝，
∵点Q的坐标为（2，0），
∴BQ＝3﹣6＝2，
∴QE＝BQ•sin∠CBO＝2sin45°＝，BE＝BQ•cs∠CBO＝2cs45°＝，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣＝4，
∴＝，
解得：t＝﹣或t＝，
∵点P在第一象限，
∴t＞0，
∴t＝，﹣t4+2t+3＝﹣（）2+2+3＝2，
∴P（，2）；
（3）证明：∵将抛物线C1平移到以坐标原点为顶点的抛物线C2，
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2，
设直线MN的解析式为y＝mx+n，且M（x1，y7）、N（x2，y2），
∵点T（8，﹣1）在抛物线C2上，TM⊥TN，
∴∠MTN＝90°，
∴TM7+TN2＝MN2，
∴（x7﹣1）2+（y6+1）2+（x6﹣1）2+（y6+1）2＝（x7﹣x2）2+（y2﹣y2）2，
整理得：x6x2﹣（x1+x2）+y1y2+（y2+y2）+2＝3，
联立，得x2+mx+n＝3，
∴x1+x2＝﹣m，x4x2＝n，
∴y1y6＝（mx1+n）（mx2+n）＝m3x1x2+mn（x8+x2）+n2＝m2n﹣m2n+n2＝n7，
y1+y2＝mx3+n+mx2+n＝m（x1+x7）+2n＝﹣m2+8n，
∴n2﹣m2+3n+m+2＝0，
即（n+m+4）（n﹣m+2）＝0，
∴n＝﹣m﹣7或n＝m﹣2，
当n＝﹣m﹣1时，直线MN的解析式为y＝mx﹣m﹣2＝m（x﹣1）﹣1，
即直线MN过定点（8，﹣1），﹣1）重合；
当n＝m﹣4时，直线MN的解析式为y＝mx+m﹣2＝m（x+1）﹣6，
∴直线MN恒过定点（﹣1，﹣2）．
25．【答案】（1）∠ACE+∠ABE＝45°，理由见解析过程；
（2）见解析过程；
（3）见解析过程．
【解答】（1）解：∠ACE+∠ABE＝45°，理由如下：
∵BE⊥CD，
∴∠CEB＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°＝∠BCD+∠CBE，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠ABE+∠CBE＝45°，
∴∠ABE+∠ACE＝45°；
（2）证明：过点A作AH⊥直线CD于H，
∵BE⊥CD，AH⊥CD，
∴∠CEB＝90°＝∠ACB＝∠AHC，
∴∠ACD+∠BCD＝90°＝∠BCD+∠CBE，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵AC＝BC，
∴△ACH≌△CBE（AAS），
∴AH＝CE，CH＝BE，
∵BE⊥CD，AH⊥CD，
∴AH∥BE，
∴△ADH∽△BDE，
∴，
∵AD：DB＝1：2，
∴BE＝8AH，
∴CH＝2CE，
∴CE＝EH，
又∵点F是AC的中点，
∴EF∥AH，
∴∠CEF＝∠AHC＝90°，
∴∠CEF+∠CEB＝180°，
∴点B，点E；
（3）证明：过点A作AN⊥直线CD于N，
∵BE⊥CD，AN⊥CD，
∴∠CEB＝90°＝∠ACB＝∠ANC，
∴∠ACD+∠BCD＝90°＝∠BCD+∠CBE，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵AC＝BC，
∴△ACN≌△CBE（AAS），
∴AN＝CE，CN＝BE，
∵EH＝EC，
∴EH＝AN，EN＝BH，
又∵∠ANG＝∠GEH＝90°，∠AGN＝∠EGH，
∴△AGN≌△HGE（AAS），
∴EG＝GN，
∴EN＝2EG，
∴BH＝3EG．如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，
两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右），笔记本与钢笔数量相同．

问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
探究购买方案
探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
龙
行
龘
龘
龙
（龙，行）
（龙，龘）
（龙，龘）
行
（行，龙）
（行，龘）
（行，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）