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九年级数学下册专题07全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型(原卷版+解析)
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这是一份九年级数学下册专题07全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型(原卷版+解析)，共64页。试卷主要包含了矩形的十字架模型，三角形的十字架模型等内容，欢迎下载使用。
模型1.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则.
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则.
如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则.
例1．（23·24上·成都市·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：．
例3．（22·23下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．
例4．（江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。
2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论是________（填序号）
例2．（22·23上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P．(1)求的度数；(2)若，求的值．
例3．（22·23上·滨州·期末）如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ．
例4．（22·23下·吉安·模拟预测）课本再现：
(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程：
证明：∵是等边三角形，∴．
∵，∴，∴．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 ；
迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为
例5．（22·23下·重庆·九年级期中）如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值．
例6．（22·23下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
例7．（22·23下·三明·期末）如图①，在中，，，点D在边上，过点C作，垂足为M，交于点E．
(1)小亮通过探究发现，请你帮他说明理由；(2)如图②，平分交于点N，小明通过度量猜想有，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接，若D是的中点，小刚通过探究得到结论，请你帮他说明理由．
例8．（辽宁2022-2023学年九年级下学期线上质量检测数学试题）（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？
（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（ ）
A．B．25C．20D．15
2．（翠屏区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（ ）
A．B．5C．D．
3．（2023.湖北九年级期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连接，若点在同一条直线上，，则的值为 ．
4．（22·23下·山西·模拟预测）如图，在中，，，D为BC上一点且，连接AD，过点B作，垂足为E，BE的延长线与AC交于点F，则EF的长为 ．
5．（22·23上·临沂·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接DE．给出以下四个结论：①；②若平分，则；③若点D是BC的中点，则；④若，则．其中正确的结论序号是 ．
6．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点B，若，则的长为 ．
7．（河南省郑州市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
(1)操作判断：如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；
如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；
(2)迁移探究：如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明；
(3)拓展应用：如图4，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当为的三等分点时，请直接写出的长．
8．（22·23下·合肥·开学考试）如图，点D、E分别在等边的边、上，且，连接、，过点作交于点．(1)求证：的度数；(2)求证：；(3)求证：的值．
9．（22·23下·武汉·模拟预测）探索发现：如图1，等边中，为中点，、分别是、上的两点，．(1)求证：；(2)为上一点，若，求的值；
迁移拓展：(3)如图2，等腰中，为斜边的中点，为中点，．是上的点，，为上一点，若，直接写出的长．
10．（21·22上·红河·期末）在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F．(1)如图1，当时，=__________；(2)如图2，求证：△AFD∽△BAD；
(3)如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．
11．（山西2022-2023学年九年级下学期教学质量监测数学试题）综合与实践
纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是，我们定义：长宽之比是的矩形纸片称为“标准纸”．
操作判断：如图1所示，矩形纸片是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于点交边于点，若求的长，如图2，在的基础上，连接折痕交于点，连接判断四边形的形状，并说明理由．
探究发现：如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点与点重合，再展开，痕交边于点，交边于点交也是点.然后将四边形剪下，探究纸片是否为“标准纸”，说明理由．
12．（湖南2022-2023学年九年级第二次联考数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形中，点，分别在边、上，于点，点，分别在边、上，．
①判断与的数量关系：_________；②推断：的值为_________；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）.将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点.试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值．
13．（成都市2022-2023学年九年级月考数学试卷）（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝．
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
14．（（22·23下·山东·九年级期中））探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．
15．（江苏2022-2023学年九年级期末数学试题）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
问题解决：（1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则：
①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ．
②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明．
拓展延伸：（2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ．
综合探究：（3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ．
16．（山东2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________；（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________；
【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：
【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________．
17．（22·23下·苏州·三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
18．（2023年湖北省中考模拟数学试题）已知E是矩形的边上的一点．
(1)如图，若四边形是正方形，交于点，求证；；
(2)已知，，分别交，于，两点，且平分矩形的面积．
如图2，若，求的长；如图3，与交于点，连接，求出线段长的最小值．
19．（22·23下·上饶·模拟预测）综合与探究
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
专题07 全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。
模型1.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则.
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则.
如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则.
例1．（23·24上·成都市·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长．
【答案】
【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接，
在中，，，∴，
由折叠得，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，∴
【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出△MNE∽△DBA．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：．
【答案】见解析
【分析】过点作于点，过点作于点，先根据余角的性质证明，再证明即可证明结论成立．
【详解】证明：如解图，过点作于点，过点作于点，
∵，且四边形为矩形，
∴，∴，∴．
又∵，∴，∴．
又∵，∴，
∴．
【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
例3．（22·23下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．
【答案】（1）90，45；（2）；（3）
【分析】（1）当点与点重合时，是的中垂线，得出；当点与点重合时，此时；（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度；
（3）连接，设．由折叠知：，，，证明，得出，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）当点P与点A重合时，如图4，是AD的中垂线，．
当点E与点A重合时，如图5， 此时，故答案为：；．
（2）如图6所示，连接，则是的中垂线，∴，
在中，，即，当点与点重合时，；
当与重合时，的值最小，连接，由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得，∴，
∴线段的取值范围是．故答案为：．
（3）如图7所示，连接，设．
由折叠知：，，，
∵，∴，在和中，
，∴，∴，
∴，，
在中，，∴，解得．∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
例4．（江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】(1)由矩形对折知，EF⊥BD，证明∠FEG=∠BDA，则△EFG∽△DBA，即可求解；
(2)证明∠EFN=∠GHC，则△EFN∽△GHM，即可求解；
(3)证明△ACD≌△ACB（SSS）和△ADE∽△DCF，再利用DC2=CF2+DF2，即可求解．
【详解】解：(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD , AD=BC=6,
∴∠ADB+∠ABD=90°, BD＝,
∵FG⊥AB于G，∴∠FGE=90°，FG=BC=6， ∴∠FGA＝∠A
∵翻折，∴EF⊥BD，∴∠ADB+∠AEF=180°，
又∵∠FEG+∠AEF=180°，∴∠FEG＝∠BDA，又∵∠FGE =∠A,
∴△EFG∽△DBA，∴ ，代入数据：
,解得,故答案为：；
(2)如图，过点G作GM⊥CB于M，过点E作EN⊥CD于点N
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC，
∵GM⊥BC，EN⊥CD，∴GM＝CD＝AB=a，EN＝AD＝BC=b，
∵EF⊥GH，∠BCD＝90°，∴∠EFC+∠GHC＝180°，∵∠DFE+∠EFC＝180°，
∴∠EFN＝∠GHC，又∵∠ENF＝∠GMH＝90°，∴△EFN∽△GHM，
∴，故答案为：；
(3)如图，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，
∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，
∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，
∵DC2＝CF2+DF2，∴16＝CF2+(8﹣2CF)2
∴CF＝4(不合题意舍去)，CF＝， ∴BF＝BC+CF＝＝AE，
由(1)可知：，故答案为：=．
【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等和相似、勾股定理的运用、矩形的基本性质等，综合性强，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。
2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论是________（填序号）
【解答】解：①因为AC＝BC，BD＝CE，所以AE＝CD．故①正确，
②∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC．
在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）；∴AD＝BE．故②错误；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB＝∠CBE，则∠PAE＝∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．∴∠BAD＝∠EBC，∴∠BAD+∠ABP＝∠ABD＝60°．
∵∠APE是△ABP的外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝60°，∴∠APB＝120°，故④正确．
例2．（22·23上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P．
(1)求的度数；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)12
【分析】（1）证明，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得解；
（2）证明，利用对应边对应成比例列式计算即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，∴，∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴
∴，∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键．
例3．（22·23上·滨州·期末）如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点E作于F，先解直角三角形求出，从而求出，利用勾股定理求出的长，证明得到，再证明，得到，即可求出，从而求出,最后根据三角形的周长公式即可解答．
【详解】解：如图：过点E作于F，
∵是等边三角形，∴，
∵， ∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴△ABP的周长．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
例4．（22·23下·吉安·模拟预测）课本再现：
(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程：
证明：∵是等边三角形，∴．
∵，∴，∴．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 ；
迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为
【答案】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2或3
【分析】（1）由全等的性质，得角相等，作等量代换得证结论；
（2）①求证，得，相应可证，于是；②可证，得，相应的，可证得；
（3）如图3，当点D，点E分别在上时，由，得，可求证是等边三角形，进一步求证，得，从而；如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，求证是等边三角形，得，进一步求证，得，求证CB=2BD，所以CP=3BP，．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）证明：①由（1）知，∴，
又∵，∴是等边三角形，∴．
∴，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
②∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴；
（3）解：如图3，当点D，点E分别在上时，
∵，∴，∵，
，∴，∵，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，由②知 AD=2BD，∴；
如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，
∵,∴.
∵,∴,
∵,∴∴是等边三角形，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴，故答案为：2或3．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；当属于动点情况时，注意分类讨论，情况完备是解题的关键．
例5．（22·23下·重庆·九年级期中）如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值．
【答案】2
【分析】过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．先证明，得到，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：如解图，过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．
∵，，∴四边形为正方形，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴．
又∵，∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．
例6．（22·23下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
【答案】B
【分析】由可得：,所以,利用相似三角形的性质可以得到①正确；由以及已知条件可以得到，进而由①所得结论确定为的三等分点，可确定结论②正确；根据可以得到，，则，由线段的比例关系即可求得面积的比例关系；当四点在同一个圆上时，利用圆内接四边形的对角互补可以得到，则是所在圆的直径，由垂径定理可得；
【详解】由题意可得：
故结论①正确；
,
,是等腰直角三角形
在和中：
是等腰直角三角形，
由结论①可得：
点是的中点故结论②正确；
，，,
, ,即 故结论③错误；
当四点在同一个圆上时，
,
是所在圆的直径
故结论④正确；故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角形的综合，包括全等三角形的性质判定以及相似三角形的性质判定，以及三角形的面积关系，题目综合性比较强，熟练掌握相关的性质定理是求解本题的关键.
例7．（22·23下·三明·期末）如图①，在中，，，点D在边上，过点C作，垂足为M，交于点E．
(1)小亮通过探究发现，请你帮他说明理由；(2)如图②，平分交于点N，小明通过度量猜想有，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接，若D是的中点，小刚通过探究得到结论，请你帮他说明理由．
【答案】(1)理由见解析；(2)正确，理由见解析；(3)理由见解析
【分析】（1）利用互余和三角形内角和定理进行求解，即可证明猜想；（2）根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质，证明，即可证明猜想；（3）根据，得到，，再证明，得到，即可证明猜想．
【详解】（1）解：，，
，，，；
（2）解：猜想正确，理由如下：，，，
平分，，，
在和中，，，；
（3）解：如图，过点C作平分交于点N，
由（2）可知，，，，
平分，，D是的中点，，
在和中，，，
，，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
例8．（辽宁2022-2023学年九年级下学期线上质量检测数学试题）（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？
（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．
【答案】（1）BF=AE，理由见详解 （2）AF：FC=2：1 （3）CF=．
【分析】(1)先判断出AB=AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF=∠DAE，进而得出△ABF△DAE，即可得出结论；（2）构造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CG=AB，再判断出△AFB∽△CFG，即可得出结论；（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，进而判断出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出△CFP∽△AFB,建立方程即可得出结论．
【详解】解：（1）BF=AE，理由：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°；
∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE；
在△ABF和△DAE中,，∴△ABF△DAE，∴BF=AE．
(2)如图2：过点A作AM‖BC, 过点C作CM‖AB,两线相较于M，延长BF交CM于G，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCM是矩形，∵AB=BC，∴矩形ABCM是正方形，∴AB=BC=CM；
同（1）的方法得，△ABD△CBG，∴CG=BD；
又∵D为BC边的中点，∴BD=BC=CM，∴CG=CMAB；
∵AB‖CM，∴△AFB△CFG，∴==2．
(3)如图3：在Rt△ACB中，AB＝3，BC＝4，∴AC=5，∵点D是BC的中点，∴BD=BC=2；
过点A作AN‖BC, 过点C作CN∥AB,两线相较于N，延长BF交CN于P，∴四边形ABCN是平行四边形，
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCN是矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，
∵∠ABD=∠BCP=90°，∴△ABD△BCP，∴=，∴=，∴CP=；
同（2）的方法得：△CFP△AFB, ∴=，∴=，∴CF=．
【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。此题第一问图1是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（ ）
A．B．25C．20D．15
【答案】D
【详解】解：将沿翻折得到，PF=FC，∠PFB=∠CFB，
四边形是正方形∠FPB=90°，CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，
∵PF=FC=，PB =AB=2，
在Rt△BPQ中，，∴，
∴QB=，∴S△BQF=，
∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB=∠BFC，
又∵∠EBG=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，，
∵CF=，BC=2，∴BF=5，∴GE=，BG=2，
过点G作GN⊥AB交AB于N，
∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，∴△ANG∽△ABE，∴
∵GA=AE-GE =∴GN=∴S△BQG=×QB×GN==10，
∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D．
2．（翠屏区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，根据题意利用ASA定理证明△ACD≌△CBG,从而得到CD=BG，CG=AD,然后利用中点的性质和SAS定理证明△BFG≌△BFD,从而求得CF+FD=CF+FG=CG=AD,利用勾股定理求AD的长,从而使问题得解.
【详解】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：
∵∠CBG=90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，∴∠CAD=∠BCG，
在△ACD和△CBG中， ，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD=BG，CG=AD
∵D为BC的中点∴CD=BD，∴BG=BD，∵∠ABC=45°，∴∠FBD=∠GBF=∠CBG，
在△BFG和△BFD中，，∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴FG=FD，∴CF+FD=CF+FG=CG=AD
又∵，AC=BC，AC=4，∴ ∴CF+FD=AD=故选：A
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．
3．（2023.湖北九年级期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连接，若点在同一条直线上，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，∵点是的中点，∴，
∵沿直线翻折得到，∴，，
∵点在同一条直线上，∴，即，
设，则，且，∴，
∵，，
∴，∴，∴，即，
∴或（不符合题意，舍去），∴，
∵，，∴，
∴故答案为：．
4．（22·23下·山西·模拟预测）如图，在中，，，D为BC上一点且，连接AD，过点B作，垂足为E，BE的延长线与AC交于点F，则EF的长为 ．
【答案】
【分析】过点作交于，由勾股定理解出，，利用等积法解得，继而得到，从而解出再利用勾股定理解出，，最后证明，根据相似三角形对应边成比例解题即可．
【详解】解：过点作交于，
在中
在中，
在中，
在中，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（22·23上·临沂·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接DE．给出以下四个结论：①；②若平分，则；③若点D是BC的中点，则；④若，则．其中正确的结论序号是 ．
【答案】①②③
【分析】由△BEF∽△AEC，可确定结论①正确；由△BEF≌△BED可得BF=BC=AC，进而△BEF∽△AEC确定点E为AB的三等分点，可确定结论②正确；当A、C、D、E四点在同一个圆上时，由于∠ACB=90°，得到AD是直径，根据垂径定理得到DE=CD，故③正确；因为E为AB的三等分点，所以S△BCE=S△ABC，又S△CDE=S△BCE，所以S△ABC=12S△CDE，由此确定结论④错误．
【详解】解：依题意可得BF∥AC，∴△BEF∽△AEC，∴
又AC=BC，∴．故结论①正确；．
∵平分，∴∠CAG=∠EAG．∵CG⊥AD，∴∠AGC=∠AGE=90°．
在△AGE和△AGC中 ∴△AGE≌△AGC（ASA）∴∠AEG=∠ACG．
∵∠BFC+∠BCF=90°，∠ACG+∠BCF=90°，∴∠BFC=∠ACG．∴∠BFC=∠AEG．
∵∠BEF=∠AEG，∴∠BFC=∠BEF．∴．故结论②正确；
∵CG⊥AD，∴∠ADC+=90°，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴．
在△BCF与△CAD中， ，∴△BCF≌△CAD（ASA），∴BF=CD．
∵点D是BC的中点，∴BD=CD．又∵BD=AD，∴AG=AD；
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC；∴BF=BD=BC；
∵△BEF∽△AEC，∴，∴AE=2BE，∴BE=AB=．故结论③正确；
当A、C、D、E四点在同一个圆上时，
∵∠ACB=90°，∴AD是A、C、D、E四点所在圆的直径，
∵CG⊥AD，∴ =，∴DE=CD，
∵，BF=CD，∴ ，∴，∴，∴BE=AB，
∴S△BCE=S△ABC；∴S△CDE=S△BCE，∴S△CDE=S△ABC，即S△ABC=12S△CDE．
故结论④错误．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
6．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点B，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】在中,运用勾股定理求出，再根据面积得到，过点作交于点,设 ,根据，则有，，根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
【详解】∵为边的中点,,∴.
∵在中, ，.
∵于点, ， ，
∵, ，
过点作交于点,如图所示,设 ,
∵，∴，∴，∴
，，，即 ，
解得 ．故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
7．（河南省郑州市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
(1)操作判断：如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；
如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；
(2)迁移探究：如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明；
(3)拓展应用：如图4，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当为的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】(1)，(2)见详解(3)或
【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，交于．先证明四边形、四边形都是平行四边形，推出，．再证明，推出，即可解决问题．类似方法，证明即可；
（2）把沿翻折得到，延长交于点，由（1）中结论，得，得再证明，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）延长交的延长线于点，由（1）中结论得，，得，再分当时，当时两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：如图1中，过点作，交于，过点作，交于，交于．
四边形是正方形，，，
四边形、四边形都是平行四边形，，．
又，，，，，
在和中，，，，，
如图2中，过点作，交于，过点作，交于，交于，
四边形是矩形，，
四边形、四边形都是平行四边形，，．
又，，，，，
在和中，，，
，，，故答案为，．
（2）解：把沿翻折得到，延长交于点，
，在中，，
，四边形是菱形，
，四边形是正方形，由（1）中结论，得，
，，；
（3）解：延长交的延长线于点，
在矩形中，，，平分，
，
是等腰直角三角形，，，
是等腰直角三角形，由（1）中结论得，，
，，
当时，
在中，，
，，，
；
当时,,即点在上，如图
，
，，，
在中，，
，，，
；故的长为或．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．（22·23下·合肥·开学考试）如图，点D、E分别在等边的边、上，且，连接、，过点作交于点．
(1)求证：的度数；(2)求证：；(3)求证：的值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）通过证明，出，则；
（2）根据，，得出，则，易得，，推出，则，即可求证；
（3）根据，得出，通过证明，得出，根据，推出，则，进而得出，则．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
在和中，∴，∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，则，
又∵，∴；
（3）解：∵，∴，
∵，∴，∴，则，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，即，∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例．
9．（22·23下·武汉·模拟预测）探索发现：如图1，等边中，为中点，、分别是、上的两点，．
(1)求证：；(2)为上一点，若，求的值；
迁移拓展：(3)如图2，等腰中，为斜边的中点，为中点，．是上的点，，为上一点，若，直接写出的长．
【答案】(1)见解析(2)2(3)
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明可证的结论；
（2）连接，，如图，设、交点为M，根据全等三角形的性质和三角形的外角和求得，进而求得，再根据等边三角形性质求得，，则，证明，和得到，利用余弦定义求解即可；
（3）连接，，根据等腰直角三角形性质得到，，，，即，进而得到，证明，得到，进而求得，则，证明和得到，，利用勾股定理求得即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，又，
∴，∴；
（2）解：连接，，如图，设、交点为M，
∵，∴，
∵∴，
∵等边中，为中点，∴，，
∴，又，∴，
∴，即，又，∴，
∴，则，∴， 则；
（3）解：连接，，
∵是等腰直角三角形，为斜边的中点，
∴，，，，即，
∵，，∴，则，
∴，则，
∴，
∵，∴，则，
∴，又为中点，∴，则，
∵，，∴，∴，
∵为中点，,∴ ，，又，
∴，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的判定与性质探究边角关系是解答的关键．
10．（21·22上·红河·期末）在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F．(1)如图1，当时，=__________；(2)如图2，求证：△AFD∽△BAD；
(3)如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)1(2)详见解析(3)，理由见解析
【分析】（1）由题意可得AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，可证△ABD≌△CAE，可得∠EAC＝∠DBA，由等边三角形的性质可得∠BAE＝∠DBA＝30°，可求的值；
（2）根据△ABD≌△CAE得出∠EAC＝∠DBA，进而利用相似三角形的判定解答即可；
（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，通过证△ADF∽△BDA，△BFE∽△BCD可得，，可得，求出n＝4即可得出答案．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，
∵，∴点D是AC中点，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，
∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1；
（2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，
∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；
（3）；理由：由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，
∴∠BFE＝∠DBA＋∠BAF＝∠EAC＋∠BAF＝∠BAD＝60°，
设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，
∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①，
∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②，
①÷②得：，∴，∵，∴n＝4，∴．
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的关系是本题的关键．
11．（山西2022-2023学年九年级下学期教学质量监测数学试题）综合与实践
纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是，我们定义：长宽之比是的矩形纸片称为“标准纸”．
操作判断：如图1所示，矩形纸片是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于点交边于点，若求的长，如图2，在的基础上，连接折痕交于点，连接判断四边形的形状，并说明理由．
探究发现：如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点与点重合，再展开，痕交边于点，交边于点交也是点.然后将四边形剪下，探究纸片是否为“标准纸”，说明理由．
【答案】(1) 长为 ；(2) 四边形是菱形，理由见解析；(3) 纸片是“标准纸"，理由见解析
【分析】（1），则，根据四边形是矩形，得到，由折叠得，设，则，在中，，可得即可求解．（2）当顶点与点重合时，折痕垂直平分，可得，，在矩形中，，得到，在和中，，可得，，再根据，可得四边形是平行四边形，最后根据，即可求证平行四边形是菱形．
（3）由可知，，同理可知，，可得四边形是平行四边形，根据，得到，再根据，可得，进而得到，，同理可得，，根据四边形是矩形，可得，，四边形是矩形，，，，即可求证纸片是“标准纸"．
【详解】解：则
四边形是矩形
由折叠得 设，则
在中， 答：长为
四边形是菱形.
理由：当顶点与点重合时，折痕垂直平分
，
在矩形中，
在和中，
四边形是平行四边形
平行四边形是菱形.
纸片是“标准纸” 理由如下：由可知，
同理可知， 四边形是平行四边形
同理可得，
四边形是矩形，，
四边形是矩形..
.纸片是“标准纸".
【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．
12．（湖南2022-2023学年九年级第二次联考数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形中，点，分别在边、上，于点，点，分别在边、上，．
①判断与的数量关系：_________；②推断：的值为_________；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）.将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点.试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值．
【答案】（1）①AE＝DQ．②；（2），见解析；（3）
【分析】(1)①由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，得出∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH（ASA），可得AE=DQ．
②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．
(2)如图2，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．
(3)如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，过点A作AE⊥EF，连接AC，证明△ACD≌△ACB（SSS），得出∠ADC=∠ABC=90°，证明△ADE∽△DCF，可得出，由勾股定理求出CF=3，则可得出答案．
【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠QAO=∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE=DQ．
②∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG=DQ，
∵AE=DQ，∴GF=AE，．故答案为：AE＝DQ，．
（2）解：．理由如下：如图2中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，∴．
（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，
∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS）
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，
∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，
∵DC2＝CF2+DF2，∴25＝CF2+（10﹣2CF）2，
∴CF＝5（不合题意舍去），CF＝3，∴BF＝BC+CF＝8
由（1）可知：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
13．（成都市2022-2023学年九年级月考数学试卷）（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝．
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）只需运用（1）中的结论，就可得到，就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得 ．设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=12-y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=16①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（4+x）2+（12-y）2=144②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．
【详解】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，
∴，∴＝．
（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的结论可得＝，＝；
∴，故答案为；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝12，AR＝BS．
∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得 ．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝4+x，RD＝12﹣y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2＝16①，
在Rt△ARD中，（4+x）2+（12﹣y）2＝144②，
由②﹣①得x＝3y﹣4③，
解方程组 ，得（舍去），或 ，
∴AR＝4+x＝∴.
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键．
14．（（22·23下·山东·九年级期中））探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°．
∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°，
∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴=
（2）结论：=理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF．
∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°．
∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°，
∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB，
∴=，∴=
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，∴由（2）中结论可得：=
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°．
∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴=，设SC=x，
∴=∴RD=2x，DS=10-2x，在Rt△CSD中，∵，
∴52=（10-2x）2+x2，∴x=3或5（舍弃），∴BS=5+x=8，∴===
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．
15．（江苏2022-2023学年九年级期末数学试题）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
问题解决：（1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则：
①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ．
②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明．
拓展延伸：（2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ．
综合探究：（3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ．
【答案】（1），线段与线段互相垂直平分，；证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；
（2）由矩形和折叠的性质证明，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可；（3）分别求出的面积的最大值与最小值即可解决问题．
【详解】解：（1）①∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，
，，
垂直平分线段，，，，
，，
，线段与线段互相垂直平分，
，，
四边形是菱形，，，
，，
故答案为：，线段与线段互相垂直平分，；
②证明过程如下：∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，
，，
垂直平分线段，，，，
，，
，线段与线段互相垂直平分，
，，四边形是菱形；
（2）四边形是矩形，，，
由折叠的性质可得：，
，，，，
设，在中，，
，解得：，，
，故答案为：；
（3）如图，当点与点重合时，的面积最大，于，则，
，
由题意得：，设，则，
由勾股定理得：，解得：，由（1）知，，
，的最大值为1.3，
假设点与重合时，此时最小，为，的面积的最小值为，
在边上取一点不与和点重合，故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键．
16．（山东2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________；
【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：
【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________．
【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4）
【分析】（1）通过证明△AED△DFC得到ED=FC，结论可得；
（2）通过证明△EDC△DCB，得到 ，利用矩形的性质结论可得；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，则四边形ABHF为矩形；类比（2）的方法证明△AED△HCF，即可得出结论； （4）过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD与点H，利用勾股定理和相似三角形的性质求得AH，BH，AC，DH的长度，利用三角形的面积公式求得CM的长度，类比（2）的方法证明△AED△FMC，利用相似三角形的性质即可得出结论
【详解】（1）解：∵ 四边形是正方形，
∴，，∴．
∵，∴．∴．
在和中，，
∴．∴∴故答案为：1．
（2）∵四边形是矩形，
∴．∴．
∵，∴∴
∵，∴，∴．
∵，，∴ ．故答案为：．
（3）证明：过点作于点，如图，
∵ ，，∴ 四边形为矩形．
∴，∴
∵，∴．
∵，，∴
∵，∴，∴
∵，∴
∴∴∴
（4）过点作于点，连接，交于点，如图，
由题意：与关于轴对称，∴垂直平分，即，．
∵，，∴，∴∴
∵，∴，∴∴．
∵，∴．
∵，∴∴ ．
∵，∴
∵，∴∴．
∵，∴．∴
【点睛】本题是相似三角形的综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积，利用类比的方法解答是解题的关键．
17．（22·23下·苏州·三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．
(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解；
（2）构造矩形，延长交于点G，
由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解；
（3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵四边形为矩形，∴，，，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，由（1）中结论可得：，
∵，∴设，，∵点为的中点，∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，∴，则，，解得：，，
∵四边形为矩形，∴，∴，∴，
∴，即，解得：，∴；
（3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，
∵，，，∴，
∴，∴，
∵四边形为矩形，∴，∴，
∵，∴，∵，∴设，，
∴，设，则，，
∴，整理得：，∴，
由（1）中结论可得：．
∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答．
18．（2023年湖北省中考模拟数学试题）已知E是矩形的边上的一点．
(1)如图，若四边形是正方形，交于点，求证；；
(2)已知，，分别交，于，两点，且平分矩形的面积．
如图2，若，求的长；如图3，与交于点，连接，求出线段长的最小值．
【答案】(1)详见解析(2)；
【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）①由“”可证，可得，可求，由勾股定理可求的长，通过证明，可得，即可求解；
②由相似三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求的长，由点在以为直径的圆上运动，则当点在线段上时，有最小值，即可求解．
【详解】（1）解：证明：，，
四边形是正方形，，，
，，
在和中，，，；
（2）如图2，连接，交于点，过点作，交于，
，，，
平分矩形的面积，点为的中点，，
，，，
，，
，，四边形是平行四边形，
，，，
，，，
，，
又，，，，；
②解：如图3，连接，取的中点，连接，，过点作于，
，，，，
点是的中点，，，，
又，，，
，，，，
，点在以为直径的圆上运动，
则当点在线段上时，有最小值，的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是数形结合．
19．（22·23下·上饶·模拟预测）综合与探究
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
【答案】(1)(2)．证明见解析(3)．
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解；
（3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设与相交于点，如图，
∵正方形，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴；故答案为：；
（2）解：．证明：∵，∴．
在矩形ABCD中，，∴，
∴，∴，∴，∴．
（3）解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点．
∴四边形是矩形．∵，，∴．
∴．由（2）知，∴．
在中，，∵∴，
∴，即，解得．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
模型1.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则.
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则.
如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则.
例1．（23·24上·成都市·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：．
例3．（22·23下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．
例4．（江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。
2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论是________（填序号）
例2．（22·23上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P．(1)求的度数；(2)若，求的值．
例3．（22·23上·滨州·期末）如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ．
例4．（22·23下·吉安·模拟预测）课本再现：
(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程：
证明：∵是等边三角形，∴．
∵，∴，∴．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 ；
迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为
例5．（22·23下·重庆·九年级期中）如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值．
例6．（22·23下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
例7．（22·23下·三明·期末）如图①，在中，，，点D在边上，过点C作，垂足为M，交于点E．
(1)小亮通过探究发现，请你帮他说明理由；(2)如图②，平分交于点N，小明通过度量猜想有，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接，若D是的中点，小刚通过探究得到结论，请你帮他说明理由．
例8．（辽宁2022-2023学年九年级下学期线上质量检测数学试题）（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？
（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（ ）
A．B．25C．20D．15
2．（翠屏区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（ ）
A．B．5C．D．
3．（2023.湖北九年级期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连接，若点在同一条直线上，，则的值为 ．
4．（22·23下·山西·模拟预测）如图，在中，，，D为BC上一点且，连接AD，过点B作，垂足为E，BE的延长线与AC交于点F，则EF的长为 ．
5．（22·23上·临沂·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接DE．给出以下四个结论：①；②若平分，则；③若点D是BC的中点，则；④若，则．其中正确的结论序号是 ．
6．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点B，若，则的长为 ．
7．（河南省郑州市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
(1)操作判断：如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；
如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；
(2)迁移探究：如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明；
(3)拓展应用：如图4，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当为的三等分点时，请直接写出的长．
8．（22·23下·合肥·开学考试）如图，点D、E分别在等边的边、上，且，连接、，过点作交于点．(1)求证：的度数；(2)求证：；(3)求证：的值．
9．（22·23下·武汉·模拟预测）探索发现：如图1，等边中，为中点，、分别是、上的两点，．(1)求证：；(2)为上一点，若，求的值；
迁移拓展：(3)如图2，等腰中，为斜边的中点，为中点，．是上的点，，为上一点，若，直接写出的长．
10．（21·22上·红河·期末）在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F．(1)如图1，当时，=__________；(2)如图2，求证：△AFD∽△BAD；
(3)如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．
11．（山西2022-2023学年九年级下学期教学质量监测数学试题）综合与实践
纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是，我们定义：长宽之比是的矩形纸片称为“标准纸”．
操作判断：如图1所示，矩形纸片是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于点交边于点，若求的长，如图2，在的基础上，连接折痕交于点，连接判断四边形的形状，并说明理由．
探究发现：如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点与点重合，再展开，痕交边于点，交边于点交也是点.然后将四边形剪下，探究纸片是否为“标准纸”，说明理由．
12．（湖南2022-2023学年九年级第二次联考数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形中，点，分别在边、上，于点，点，分别在边、上，．
①判断与的数量关系：_________；②推断：的值为_________；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）.将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点.试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值．
13．（成都市2022-2023学年九年级月考数学试卷）（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝．
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
14．（（22·23下·山东·九年级期中））探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．
15．（江苏2022-2023学年九年级期末数学试题）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
问题解决：（1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则：
①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ．
②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明．
拓展延伸：（2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ．
综合探究：（3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ．
16．（山东2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________；（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________；
【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：
【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________．
17．（22·23下·苏州·三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
18．（2023年湖北省中考模拟数学试题）已知E是矩形的边上的一点．
(1)如图，若四边形是正方形，交于点，求证；；
(2)已知，，分别交，于，两点，且平分矩形的面积．
如图2，若，求的长；如图3，与交于点，连接，求出线段长的最小值．
19．（22·23下·上饶·模拟预测）综合与探究
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
专题07 全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。
模型1.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则.
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则.
如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则.
例1．（23·24上·成都市·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长．
【答案】
【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接，
在中，，，∴，
由折叠得，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，∴
【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出△MNE∽△DBA．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：．
【答案】见解析
【分析】过点作于点，过点作于点，先根据余角的性质证明，再证明即可证明结论成立．
【详解】证明：如解图，过点作于点，过点作于点，
∵，且四边形为矩形，
∴，∴，∴．
又∵，∴，∴．
又∵，∴，
∴．
【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
例3．（22·23下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．
【答案】（1）90，45；（2）；（3）
【分析】（1）当点与点重合时，是的中垂线，得出；当点与点重合时，此时；（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度；
（3）连接，设．由折叠知：，，，证明，得出，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）当点P与点A重合时，如图4，是AD的中垂线，．
当点E与点A重合时，如图5， 此时，故答案为：；．
（2）如图6所示，连接，则是的中垂线，∴，
在中，，即，当点与点重合时，；
当与重合时，的值最小，连接，由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得，∴，
∴线段的取值范围是．故答案为：．
（3）如图7所示，连接，设．
由折叠知：，，，
∵，∴，在和中，
，∴，∴，
∴，，
在中，，∴，解得．∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
例4．（江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】(1)由矩形对折知，EF⊥BD，证明∠FEG=∠BDA，则△EFG∽△DBA，即可求解；
(2)证明∠EFN=∠GHC，则△EFN∽△GHM，即可求解；
(3)证明△ACD≌△ACB（SSS）和△ADE∽△DCF，再利用DC2=CF2+DF2，即可求解．
【详解】解：(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD , AD=BC=6,
∴∠ADB+∠ABD=90°, BD＝,
∵FG⊥AB于G，∴∠FGE=90°，FG=BC=6， ∴∠FGA＝∠A
∵翻折，∴EF⊥BD，∴∠ADB+∠AEF=180°，
又∵∠FEG+∠AEF=180°，∴∠FEG＝∠BDA，又∵∠FGE =∠A,
∴△EFG∽△DBA，∴ ，代入数据：
,解得,故答案为：；
(2)如图，过点G作GM⊥CB于M，过点E作EN⊥CD于点N
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC，
∵GM⊥BC，EN⊥CD，∴GM＝CD＝AB=a，EN＝AD＝BC=b，
∵EF⊥GH，∠BCD＝90°，∴∠EFC+∠GHC＝180°，∵∠DFE+∠EFC＝180°，
∴∠EFN＝∠GHC，又∵∠ENF＝∠GMH＝90°，∴△EFN∽△GHM，
∴，故答案为：；
(3)如图，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，
∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，
∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，
∵DC2＝CF2+DF2，∴16＝CF2+(8﹣2CF)2
∴CF＝4(不合题意舍去)，CF＝， ∴BF＝BC+CF＝＝AE，
由(1)可知：，故答案为：=．
【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等和相似、勾股定理的运用、矩形的基本性质等，综合性强，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。
2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论是________（填序号）
【解答】解：①因为AC＝BC，BD＝CE，所以AE＝CD．故①正确，
②∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC．
在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）；∴AD＝BE．故②错误；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB＝∠CBE，则∠PAE＝∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．∴∠BAD＝∠EBC，∴∠BAD+∠ABP＝∠ABD＝60°．
∵∠APE是△ABP的外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝60°，∴∠APB＝120°，故④正确．
例2．（22·23上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P．
(1)求的度数；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)12
【分析】（1）证明，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得解；
（2）证明，利用对应边对应成比例列式计算即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，∴，∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴
∴，∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键．
例3．（22·23上·滨州·期末）如图，在边长为6的等边中，D、E分别为边上的点，与相交于点P，若，则的周长为 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点E作于F，先解直角三角形求出，从而求出，利用勾股定理求出的长，证明得到，再证明，得到，即可求出，从而求出,最后根据三角形的周长公式即可解答．
【详解】解：如图：过点E作于F，
∵是等边三角形，∴，
∵， ∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴△ABP的周长．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
例4．（22·23下·吉安·模拟预测）课本再现：
(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程：
证明：∵是等边三角形，∴．
∵，∴，∴．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 ；
迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为
【答案】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2或3
【分析】（1）由全等的性质，得角相等，作等量代换得证结论；
（2）①求证，得，相应可证，于是；②可证，得，相应的，可证得；
（3）如图3，当点D，点E分别在上时，由，得，可求证是等边三角形，进一步求证，得，从而；如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，求证是等边三角形，得，进一步求证，得，求证CB=2BD，所以CP=3BP，．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）证明：①由（1）知，∴，
又∵，∴是等边三角形，∴．
∴，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
②∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴；
（3）解：如图3，当点D，点E分别在上时，
∵，∴，∵，
，∴，∵，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，由②知 AD=2BD，∴；
如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，
∵,∴.
∵,∴,
∵,∴∴是等边三角形，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴，故答案为：2或3．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；当属于动点情况时，注意分类讨论，情况完备是解题的关键．
例5．（22·23下·重庆·九年级期中）如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值．
【答案】2
【分析】过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．先证明，得到，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：如解图，过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．
∵，，∴四边形为正方形，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴．
又∵，∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．
例6．（22·23下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：①；②若AB，则点 D 是 AB 的中点；③若，则 S△ABC＝9S△BDF；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④
【答案】B
【分析】由可得：,所以,利用相似三角形的性质可以得到①正确；由以及已知条件可以得到，进而由①所得结论确定为的三等分点，可确定结论②正确；根据可以得到，，则，由线段的比例关系即可求得面积的比例关系；当四点在同一个圆上时，利用圆内接四边形的对角互补可以得到，则是所在圆的直径，由垂径定理可得；
【详解】由题意可得：
故结论①正确；
,
,是等腰直角三角形
在和中：
是等腰直角三角形，
由结论①可得：
点是的中点故结论②正确；
，，,
, ,即 故结论③错误；
当四点在同一个圆上时，
,
是所在圆的直径
故结论④正确；故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角形的综合，包括全等三角形的性质判定以及相似三角形的性质判定，以及三角形的面积关系，题目综合性比较强，熟练掌握相关的性质定理是求解本题的关键.
例7．（22·23下·三明·期末）如图①，在中，，，点D在边上，过点C作，垂足为M，交于点E．
(1)小亮通过探究发现，请你帮他说明理由；(2)如图②，平分交于点N，小明通过度量猜想有，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接，若D是的中点，小刚通过探究得到结论，请你帮他说明理由．
【答案】(1)理由见解析；(2)正确，理由见解析；(3)理由见解析
【分析】（1）利用互余和三角形内角和定理进行求解，即可证明猜想；（2）根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质，证明，即可证明猜想；（3）根据，得到，，再证明，得到，即可证明猜想．
【详解】（1）解：，，
，，，；
（2）解：猜想正确，理由如下：，，，
平分，，，
在和中，，，；
（3）解：如图，过点C作平分交于点N，
由（2）可知，，，，
平分，，D是的中点，，
在和中，，，
，，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
例8．（辽宁2022-2023学年九年级下学期线上质量检测数学试题）（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？
（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．
【答案】（1）BF=AE，理由见详解 （2）AF：FC=2：1 （3）CF=．
【分析】(1)先判断出AB=AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF=∠DAE，进而得出△ABF△DAE，即可得出结论；（2）构造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CG=AB，再判断出△AFB∽△CFG，即可得出结论；（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，进而判断出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出△CFP∽△AFB,建立方程即可得出结论．
【详解】解：（1）BF=AE，理由：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°；
∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE；
在△ABF和△DAE中,，∴△ABF△DAE，∴BF=AE．
(2)如图2：过点A作AM‖BC, 过点C作CM‖AB,两线相较于M，延长BF交CM于G，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCM是矩形，∵AB=BC，∴矩形ABCM是正方形，∴AB=BC=CM；
同（1）的方法得，△ABD△CBG，∴CG=BD；
又∵D为BC边的中点，∴BD=BC=CM，∴CG=CMAB；
∵AB‖CM，∴△AFB△CFG，∴==2．
(3)如图3：在Rt△ACB中，AB＝3，BC＝4，∴AC=5，∵点D是BC的中点，∴BD=BC=2；
过点A作AN‖BC, 过点C作CN∥AB,两线相较于N，延长BF交CN于P，∴四边形ABCN是平行四边形，
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCN是矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，
∵∠ABD=∠BCP=90°，∴△ABD△BCP，∴=，∴=，∴CP=；
同（2）的方法得：△CFP△AFB, ∴=，∴=，∴CF=．
【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。此题第一问图1是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（ ）
A．B．25C．20D．15
【答案】D
【详解】解：将沿翻折得到，PF=FC，∠PFB=∠CFB，
四边形是正方形∠FPB=90°，CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，
∵PF=FC=，PB =AB=2，
在Rt△BPQ中，，∴，
∴QB=，∴S△BQF=，
∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB=∠BFC，
又∵∠EBG=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，，
∵CF=，BC=2，∴BF=5，∴GE=，BG=2，
过点G作GN⊥AB交AB于N，
∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，∴△ANG∽△ABE，∴
∵GA=AE-GE =∴GN=∴S△BQG=×QB×GN==10，
∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D．
2．（翠屏区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，根据题意利用ASA定理证明△ACD≌△CBG,从而得到CD=BG，CG=AD,然后利用中点的性质和SAS定理证明△BFG≌△BFD,从而求得CF+FD=CF+FG=CG=AD,利用勾股定理求AD的长,从而使问题得解.
【详解】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：
∵∠CBG=90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，∴∠CAD=∠BCG，
在△ACD和△CBG中， ，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD=BG，CG=AD
∵D为BC的中点∴CD=BD，∴BG=BD，∵∠ABC=45°，∴∠FBD=∠GBF=∠CBG，
在△BFG和△BFD中，，∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴FG=FD，∴CF+FD=CF+FG=CG=AD
又∵，AC=BC，AC=4，∴ ∴CF+FD=AD=故选：A
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．
3．（2023.湖北九年级期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线翻折，得到，的延长线交于点为的中点，连接，若点在同一条直线上，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，∵点是的中点，∴，
∵沿直线翻折得到，∴，，
∵点在同一条直线上，∴，即，
设，则，且，∴，
∵，，
∴，∴，∴，即，
∴或（不符合题意，舍去），∴，
∵，，∴，
∴故答案为：．
4．（22·23下·山西·模拟预测）如图，在中，，，D为BC上一点且，连接AD，过点B作，垂足为E，BE的延长线与AC交于点F，则EF的长为 ．
【答案】
【分析】过点作交于，由勾股定理解出，，利用等积法解得，继而得到，从而解出再利用勾股定理解出，，最后证明，根据相似三角形对应边成比例解题即可．
【详解】解：过点作交于，
在中
在中，
在中，
在中，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（22·23上·临沂·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接DE．给出以下四个结论：①；②若平分，则；③若点D是BC的中点，则；④若，则．其中正确的结论序号是 ．
【答案】①②③
【分析】由△BEF∽△AEC，可确定结论①正确；由△BEF≌△BED可得BF=BC=AC，进而△BEF∽△AEC确定点E为AB的三等分点，可确定结论②正确；当A、C、D、E四点在同一个圆上时，由于∠ACB=90°，得到AD是直径，根据垂径定理得到DE=CD，故③正确；因为E为AB的三等分点，所以S△BCE=S△ABC，又S△CDE=S△BCE，所以S△ABC=12S△CDE，由此确定结论④错误．
【详解】解：依题意可得BF∥AC，∴△BEF∽△AEC，∴
又AC=BC，∴．故结论①正确；．
∵平分，∴∠CAG=∠EAG．∵CG⊥AD，∴∠AGC=∠AGE=90°．
在△AGE和△AGC中 ∴△AGE≌△AGC（ASA）∴∠AEG=∠ACG．
∵∠BFC+∠BCF=90°，∠ACG+∠BCF=90°，∴∠BFC=∠ACG．∴∠BFC=∠AEG．
∵∠BEF=∠AEG，∴∠BFC=∠BEF．∴．故结论②正确；
∵CG⊥AD，∴∠ADC+=90°，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴．
在△BCF与△CAD中， ，∴△BCF≌△CAD（ASA），∴BF=CD．
∵点D是BC的中点，∴BD=CD．又∵BD=AD，∴AG=AD；
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC；∴BF=BD=BC；
∵△BEF∽△AEC，∴，∴AE=2BE，∴BE=AB=．故结论③正确；
当A、C、D、E四点在同一个圆上时，
∵∠ACB=90°，∴AD是A、C、D、E四点所在圆的直径，
∵CG⊥AD，∴ =，∴DE=CD，
∵，BF=CD，∴ ，∴，∴，∴BE=AB，
∴S△BCE=S△ABC；∴S△CDE=S△BCE，∴S△CDE=S△ABC，即S△ABC=12S△CDE．
故结论④错误．故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
6．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在中，，D为中点，连接，过点B作于点F，交于点B，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】在中,运用勾股定理求出，再根据面积得到，过点作交于点,设 ,根据，则有，，根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
【详解】∵为边的中点,,∴.
∵在中, ，.
∵于点, ， ，
∵, ，
过点作交于点,如图所示,设 ,
∵，∴，∴，∴
，，，即 ，
解得 ．故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
7．（河南省郑州市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
(1)操作判断：如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；
如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；
(2)迁移探究：如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明；
(3)拓展应用：如图4，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当为的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】(1)，(2)见详解(3)或
【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，交于．先证明四边形、四边形都是平行四边形，推出，．再证明，推出，即可解决问题．类似方法，证明即可；
（2）把沿翻折得到，延长交于点，由（1）中结论，得，得再证明，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）延长交的延长线于点，由（1）中结论得，，得，再分当时，当时两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：如图1中，过点作，交于，过点作，交于，交于．
四边形是正方形，，，
四边形、四边形都是平行四边形，，．
又，，，，，
在和中，，，，，
如图2中，过点作，交于，过点作，交于，交于，
四边形是矩形，，
四边形、四边形都是平行四边形，，．
又，，，，，
在和中，，，
，，，故答案为，．
（2）解：把沿翻折得到，延长交于点，
，在中，，
，四边形是菱形，
，四边形是正方形，由（1）中结论，得，
，，；
（3）解：延长交的延长线于点，
在矩形中，，，平分，
，
是等腰直角三角形，，，
是等腰直角三角形，由（1）中结论得，，
，，
当时，
在中，，
，，，
；
当时,,即点在上，如图
，
，，，
在中，，
，，，
；故的长为或．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．（22·23下·合肥·开学考试）如图，点D、E分别在等边的边、上，且，连接、，过点作交于点．
(1)求证：的度数；(2)求证：；(3)求证：的值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）通过证明，出，则；
（2）根据，，得出，则，易得，，推出，则，即可求证；
（3）根据，得出，通过证明，得出，根据，推出，则，进而得出，则．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
在和中，∴，∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，则，
又∵，∴；
（3）解：∵，∴，
∵，∴，∴，则，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，即，∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例．
9．（22·23下·武汉·模拟预测）探索发现：如图1，等边中，为中点，、分别是、上的两点，．
(1)求证：；(2)为上一点，若，求的值；
迁移拓展：(3)如图2，等腰中，为斜边的中点，为中点，．是上的点，，为上一点，若，直接写出的长．
【答案】(1)见解析(2)2(3)
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明可证的结论；
（2）连接，，如图，设、交点为M，根据全等三角形的性质和三角形的外角和求得，进而求得，再根据等边三角形性质求得，，则，证明，和得到，利用余弦定义求解即可；
（3）连接，，根据等腰直角三角形性质得到，，，，即，进而得到，证明，得到，进而求得，则，证明和得到，，利用勾股定理求得即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，又，
∴，∴；
（2）解：连接，，如图，设、交点为M，
∵，∴，
∵∴，
∵等边中，为中点，∴，，
∴，又，∴，
∴，即，又，∴，
∴，则，∴， 则；
（3）解：连接，，
∵是等腰直角三角形，为斜边的中点，
∴，，，，即，
∵，，∴，则，
∴，则，
∴，
∵，∴，则，
∴，又为中点，∴，则，
∵，，∴，∴，
∵为中点，,∴ ，，又，
∴，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的判定与性质探究边角关系是解答的关键．
10．（21·22上·红河·期末）在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F．(1)如图1，当时，=__________；(2)如图2，求证：△AFD∽△BAD；
(3)如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)1(2)详见解析(3)，理由见解析
【分析】（1）由题意可得AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，可证△ABD≌△CAE，可得∠EAC＝∠DBA，由等边三角形的性质可得∠BAE＝∠DBA＝30°，可求的值；
（2）根据△ABD≌△CAE得出∠EAC＝∠DBA，进而利用相似三角形的判定解答即可；
（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，通过证△ADF∽△BDA，△BFE∽△BCD可得，，可得，求出n＝4即可得出答案．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，
∵，∴点D是AC中点，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，
∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1；
（2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，
∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；
（3）；理由：由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，
∴∠BFE＝∠DBA＋∠BAF＝∠EAC＋∠BAF＝∠BAD＝60°，
设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，
∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①，
∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②，
①÷②得：，∴，∵，∴n＝4，∴．
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的关系是本题的关键．
11．（山西2022-2023学年九年级下学期教学质量监测数学试题）综合与实践
纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是，我们定义：长宽之比是的矩形纸片称为“标准纸”．
操作判断：如图1所示，矩形纸片是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于点交边于点，若求的长，如图2，在的基础上，连接折痕交于点，连接判断四边形的形状，并说明理由．
探究发现：如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点与点重合，再展开，痕交边于点，交边于点交也是点.然后将四边形剪下，探究纸片是否为“标准纸”，说明理由．
【答案】(1) 长为 ；(2) 四边形是菱形，理由见解析；(3) 纸片是“标准纸"，理由见解析
【分析】（1），则，根据四边形是矩形，得到，由折叠得，设，则，在中，，可得即可求解．（2）当顶点与点重合时，折痕垂直平分，可得，，在矩形中，，得到，在和中，，可得，，再根据，可得四边形是平行四边形，最后根据，即可求证平行四边形是菱形．
（3）由可知，，同理可知，，可得四边形是平行四边形，根据，得到，再根据，可得，进而得到，，同理可得，，根据四边形是矩形，可得，，四边形是矩形，，，，即可求证纸片是“标准纸"．
【详解】解：则
四边形是矩形
由折叠得 设，则
在中， 答：长为
四边形是菱形.
理由：当顶点与点重合时，折痕垂直平分
，
在矩形中，
在和中，
四边形是平行四边形
平行四边形是菱形.
纸片是“标准纸” 理由如下：由可知，
同理可知， 四边形是平行四边形
同理可得，
四边形是矩形，，
四边形是矩形..
.纸片是“标准纸".
【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．
12．（湖南2022-2023学年九年级第二次联考数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形中，点，分别在边、上，于点，点，分别在边、上，．
①判断与的数量关系：_________；②推断：的值为_________；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）.将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点.试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值．
【答案】（1）①AE＝DQ．②；（2），见解析；（3）
【分析】(1)①由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，得出∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH（ASA），可得AE=DQ．
②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．
(2)如图2，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．
(3)如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，过点A作AE⊥EF，连接AC，证明△ACD≌△ACB（SSS），得出∠ADC=∠ABC=90°，证明△ADE∽△DCF，可得出，由勾股定理求出CF=3，则可得出答案．
【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠QAO=∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE=DQ．
②∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG=DQ，
∵AE=DQ，∴GF=AE，．故答案为：AE＝DQ，．
（2）解：．理由如下：如图2中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，∴．
（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，
∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS）
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，
∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，
∵DC2＝CF2+DF2，∴25＝CF2+（10﹣2CF）2，
∴CF＝5（不合题意舍去），CF＝3，∴BF＝BC+CF＝8
由（1）可知：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
13．（成都市2022-2023学年九年级月考数学试卷）（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝．
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为 ．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）只需运用（1）中的结论，就可得到，就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得 ．设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=12-y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=16①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（4+x）2+（12-y）2=144②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．
【详解】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，
∴，∴＝．
（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的结论可得＝，＝；
∴，故答案为；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝12，AR＝BS．
∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得 ．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝4+x，RD＝12﹣y，
∴在Rt△CSD中，x2+y2＝16①，
在Rt△ARD中，（4+x）2+（12﹣y）2＝144②，
由②﹣①得x＝3y﹣4③，
解方程组 ，得（舍去），或 ，
∴AR＝4+x＝∴.
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键．
14．（（22·23下·山东·九年级期中））探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°．
∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°，
∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴=
（2）结论：=理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF．
∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°．
∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°，
∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB，
∴=，∴=
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，∴由（2）中结论可得：=
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°．
∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴=，设SC=x，
∴=∴RD=2x，DS=10-2x，在Rt△CSD中，∵，
∴52=（10-2x）2+x2，∴x=3或5（舍弃），∴BS=5+x=8，∴===
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．
15．（江苏2022-2023学年九年级期末数学试题）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
问题解决：（1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则：
①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ．
②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明．
拓展延伸：（2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ．
综合探究：（3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ．
【答案】（1），线段与线段互相垂直平分，；证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；
（2）由矩形和折叠的性质证明，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可；（3）分别求出的面积的最大值与最小值即可解决问题．
【详解】解：（1）①∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，
，，
垂直平分线段，，，，
，，
，线段与线段互相垂直平分，
，，
四边形是菱形，，，
，，
故答案为：，线段与线段互相垂直平分，；
②证明过程如下：∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，
，，
垂直平分线段，，，，
，，
，线段与线段互相垂直平分，
，，四边形是菱形；
（2）四边形是矩形，，，
由折叠的性质可得：，
，，，，
设，在中，，
，解得：，，
，故答案为：；
（3）如图，当点与点重合时，的面积最大，于，则，
，
由题意得：，设，则，
由勾股定理得：，解得：，由（1）知，，
，的最大值为1.3，
假设点与重合时，此时最小，为，的面积的最小值为，
在边上取一点不与和点重合，故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键．
16．（山东2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________；
【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：
【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________．
【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4）
【分析】（1）通过证明△AED△DFC得到ED=FC，结论可得；
（2）通过证明△EDC△DCB，得到 ，利用矩形的性质结论可得；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，则四边形ABHF为矩形；类比（2）的方法证明△AED△HCF，即可得出结论； （4）过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD与点H，利用勾股定理和相似三角形的性质求得AH，BH，AC，DH的长度，利用三角形的面积公式求得CM的长度，类比（2）的方法证明△AED△FMC，利用相似三角形的性质即可得出结论
【详解】（1）解：∵ 四边形是正方形，
∴，，∴．
∵，∴．∴．
在和中，，
∴．∴∴故答案为：1．
（2）∵四边形是矩形，
∴．∴．
∵，∴∴
∵，∴，∴．
∵，，∴ ．故答案为：．
（3）证明：过点作于点，如图，
∵ ，，∴ 四边形为矩形．
∴，∴
∵，∴．
∵，，∴
∵，∴，∴
∵，∴
∴∴∴
（4）过点作于点，连接，交于点，如图，
由题意：与关于轴对称，∴垂直平分，即，．
∵，，∴，∴∴
∵，∴，∴∴．
∵，∴．
∵，∴∴ ．
∵，∴
∵，∴∴．
∵，∴．∴
【点睛】本题是相似三角形的综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积，利用类比的方法解答是解题的关键．
17．（22·23下·苏州·三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．
(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解；
（2）构造矩形，延长交于点G，
由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解；
（3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵四边形为矩形，∴，，，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，由（1）中结论可得：，
∵，∴设，，∵点为的中点，∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，∴，则，，解得：，，
∵四边形为矩形，∴，∴，∴，
∴，即，解得：，∴；
（3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，
∵，，，∴，
∴，∴，
∵四边形为矩形，∴，∴，
∵，∴，∵，∴设，，
∴，设，则，，
∴，整理得：，∴，
由（1）中结论可得：．
∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答．
18．（2023年湖北省中考模拟数学试题）已知E是矩形的边上的一点．
(1)如图，若四边形是正方形，交于点，求证；；
(2)已知，，分别交，于，两点，且平分矩形的面积．
如图2，若，求的长；如图3，与交于点，连接，求出线段长的最小值．
【答案】(1)详见解析(2)；
【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）①由“”可证，可得，可求，由勾股定理可求的长，通过证明，可得，即可求解；
②由相似三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求的长，由点在以为直径的圆上运动，则当点在线段上时，有最小值，即可求解．
【详解】（1）解：证明：，，
四边形是正方形，，，
，，
在和中，，，；
（2）如图2，连接，交于点，过点作，交于，
，，，
平分矩形的面积，点为的中点，，
，，，
，，
，，四边形是平行四边形，
，，，
，，，
，，
又，，，，；
②解：如图3，连接，取的中点，连接，，过点作于，
，，，，
点是的中点，，，，
又，，，
，，，，
，点在以为直径的圆上运动，
则当点在线段上时，有最小值，的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是数形结合．
19．（22·23下·上饶·模拟预测）综合与探究
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
【答案】(1)(2)．证明见解析(3)．
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解；
（3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设与相交于点，如图，
∵正方形，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴；故答案为：；
（2）解：．证明：∵，∴．
在矩形ABCD中，，∴，
∴，∴，∴，∴．
（3）解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点．
∴四边形是矩形．∵，，∴．
∴．由（2）知，∴．
在中，，∵∴，
∴，即，解得．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
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