七年级数学下册专题06平行线中的拐点模型专项过关检测(原卷版+解析)

这是一份七年级数学下册专题06平行线中的拐点模型专项过关检测(原卷版+解析)，共50页。
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山西太原·校考模拟预测）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
2．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则（ ）

A．B．C．D．
3．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放（），其中直线，点C落在直线上，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
4．（2023下·河南焦作·七年级统考期中）如图，已知直线，，， 平分，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）如图是一块玻璃的，两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时光线变成，为射线上一点．已知，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023下·河南郑州·七年级统考期中）如图，，，交的平分线于点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·广西南宁·七年级期中）如图，，，的平分线交于点．若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）如图，，则满足的数量关系为（ ）

A． B．
C．D．
9．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2023下·重庆北碚·七年级校考期末）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·福建漳州·八年级统考期中）已知直线，将等边三角形按如图所示的方式放置，若，则 ．

12．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，中，，点D，E分别在边上，的平分线与的平分线交于点F，则 度．

13．（2023下·山东日照·七年级统考期末）如图，直线，的平分线交直线b于点C，若，，则的度数是 ．

14．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向 ．

15．（2023上·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，于点N，点P在上，，当 度时，．

16．（2023下·江苏宿迁·七年级校考期中）如图1是一盏可折叠台灯．图2，图3是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角为，若将图2中的继续向上旋转（如图3），则此时与水平方向的夹角为，直接写出 ．

17．（2023下·福建厦门·七年级统考期末）如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ．

18．（2022下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知，M为平行线之间一点，连接，N为上方一点，连接，E为延长线上一点，若分别平分，则∠M、∠N满足的关系式是
三、解答题（本大题共8小题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·河南·九年级校考期中）已知：如图1，，．

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
20．（2023下·广东东莞·七年级校考期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．

21．（2023下·广东云浮·七年级统考期末）（1）如图①，已知，探究与有怎样的位置关系；
（2）如图②，已知，试猜想之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，已知，试猜想之间的数量关系，请直接写出这种关系，不用说明理由．

22．（2023下·江西宜春·七年级统考期末）已知直线，点分别在直线上．

(1)如图①，当点在直线之间时，连接．探究与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在①的条件下，平分，平分．求与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点在直线的下方时，连接，其中交于点，平分，平分，的反向延长线交于点，交于点．若时，求的度数．
23．（2023下·广西贵港·七年级统考期末）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线、和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．

【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点F、G分别放在直线、上，请直接写出与的数量关系______．
【迁移探究】如图2，小睿把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数．
【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线，分别交、于点P，Q，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
24．（2023下·广西桂林·七年级统考期末）已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．

(1)在如图1所示的情形下，若，求的度数；(2)在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；(3)如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示 的补角．
25．（2023下·重庆潼南·七年级校联考期中）如图，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分，点是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分．
(1)当动点落在第①部分时图，可得：，请说明理由．
(2)当动点落在第②部分时图，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，并说明理由．
(3)当动点在第③部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．
26．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

附加题（不计入总分）
1．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．
(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________
2．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图1，点M在射线之间，，连接，过点M作交射线于点E，且．

(1)求证：；(2)过点C作，交直线于点N，先按要求画图，再解决下列问题．
①当在上方，满足时，在图2中画图，求的度数；
②作的角平分线交射线于点K，交的角平分线于点F，请直接写出与之间的数量关系______．
3．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）如图是课上老师呈现的一个问题：
下面提供三种思路：
思路一：过点作（如图甲）；
思路二：过点作，交于点；
思路三：过点作，交于点．

解答下列问题：(1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________；
(2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线；
(3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程．
4．（2023下·河南商丘·七年级统考期末）已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．(1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数；
(2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．

5．（2023下·重庆巴南·七年级校联考期中）已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．

(1)如图1，当时，直接写出的度数；(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值，并选择其中一种情况书写计算过程．
已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．

专题06. 平行线中的拐点模型专项过关检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山西太原·校考模拟预测）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质即得答案．
【详解】解：∵，都与地面平行，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴；故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：过点作，

∵，∴，，，
又，，，，．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，添加合适的辅助线是解题的关键．
3．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放（），其中直线，点C落在直线上，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过B作，首先根据平行公理得到，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：过B作，

∵，∴，∴，，
∴，
∵，∴．故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
4．（2023下·河南焦作·七年级统考期中）如图，已知直线，，， 平分，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质、平行公理及角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵平分∴
∵∴
∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是识别内错角、同旁内角存在的相等关系．
5．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）如图是一块玻璃的，两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时光线变成，为射线上一点．已知，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质及对顶角相等可知，再根据角的和差关系解答即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，故选．

【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，角的和差关系，掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（2023下·河南郑州·七年级统考期中）如图，，，交的平分线于点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理结合平角的定义即可得到结论．
【详解】解：，，，
平分，，，
，，
．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质是解题的关键．
7．（2023下·广西南宁·七年级期中）如图，，，的平分线交于点．若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质可得，再由角平分线的性质可求出的大小．
【详解】解：过点作，
，，，，，
、平分和，，，
．故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
8．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）如图，，则满足的数量关系为（ ）

A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】作，如图，则，根据平行线的性质可得，进一步整理即得答案.
【详解】解：作，如图，
∵，∴，∴，
∴，∴，
即在原图中有结论：；故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
9．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正确；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；
④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；
综上结论正确的个数为3，故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
10．（2023下·重庆北碚·七年级校考期末）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；
②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；
③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；
④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．
【详解】解：①过点F作FH∥AB，如图：
∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，
∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；
②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，
∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，
∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，
∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF，
∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；
③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，
∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°；
3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；
④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，
∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．
综上，①②③④都正确，共4个，故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·福建漳州·八年级统考期中）已知直线，将等边三角形按如图所示的方式放置，若，则 ．

【答案】/25度
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，平行线的判定与性质，过点B作，可得出，再由平行线的性质可得结论．
【详解】解：过点B作，∴

∵是等边三角形，∴∴
∵，∴∴故答案为：
12．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，中，，点D，E分别在边上，的平分线与的平分线交于点F，则 度．

【答案】155
【分析】延长交于点H，根据，可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点H，

∵，∴，∵平分，∴，∴，
∵，∴，即，
∵平分，∴，∵，，
∴，即，
∵，∴，∴．故答案为：155
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．
13．（2023下·山东日照·七年级统考期末）如图，直线，的平分线交直线b于点C，若，，则的度数是 ．

【答案】
【分析】过点P作直线a的平行线，利用平行线的性质及角平分线的性质可得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解．
【详解】解：过点P作直线a的平行线，如图所示：

则：，，，
又是的角平分线，，，
，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及三角形外角定理，熟练掌握其基本知识，找准辅助线位置是解题的关键．
14．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向 ．

【答案】
【分析】先运用平行线的性质求得，再运用三角形内角和定理求得的度数．
【详解】解：由题意得：，，，，
，故答案为：．
【点睛】此题考查了运用平行线的性质及三角形内角和定理解决方位角问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地推理、计算．
15．（2023上·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，于点N，点P在上，，当 度时，．

【答案】
【分析】过点M作，则，根据平行线的判定与性质得到即可得出结论．
【详解】解：过点M作，则，

∵，∴，则，
∵，∴，
∴当时，,
∵∴．故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、垂直定义，添加平行线求解是解答的关键．
16．（2023下·江苏宿迁·七年级校考期中）如图1是一盏可折叠台灯．图2，图3是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角为，若将图2中的继续向上旋转（如图3），则此时与水平方向的夹角为，直接写出 ．

【答案】120
【分析】利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案．
【详解】解：如图2，，平分，，

，，，
，，
，，即；
如图3，，，过点作，

则，，，
，，，，
，∴．故答案为：120．
【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义，垂直定义等，熟练掌握平行线性质是解题关键．
17．（2023下·福建厦门·七年级统考期末）如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】过点作，根据平行线性质推出，，所以，由平分，平分，，进而得到，再由三角形内角和即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点作，

，，，，
，
，，，
，，
平分，平分，，，
，，
，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
18．（2022下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知，M为平行线之间一点，连接，N为上方一点，连接，E为延长线上一点，若分别平分，则∠M、∠N满足的关系式是
【答案】
【分析】如图所示，过点M作，过点N作，则，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到；再证明，，即可得到，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点M作，过点N作，
∵，∴，∴，
∴，
∵分别平分，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴
，即．故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·河南·九年级校考期中）已知：如图1，，．

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析．
【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．
【详解】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，
证明如下：∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，∴∠AMN+∠2=180°，∴AB∥CD；
延长EF交CD于F1，∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EF1L，
∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，∴EF∥HL；
（2）∠P=3∠Q，证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，∴∠RQN=∠QND，∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q；
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．
20．（2023下·广东东莞·七年级校考期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4）
【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；
（2）过点P作，由，得到，从而得到结论；（3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系．
【详解】（1）解：猜想．
理由：过点P作，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴；
（2）．理由：如图，过点P作，

∵，∴，∴，∴；
（3）如图（3）：．理由：∵，∴，
∵，∴，即；
如图（4）：．理由：∵，∴，
∵，∴，即．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．
21．（2023下·广东云浮·七年级统考期末）（1）如图①，已知，探究与有怎样的位置关系；
（2）如图②，已知，试猜想之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，已知，试猜想之间的数量关系，请直接写出这种关系，不用说明理由．

【答案】（1）；（2）．理由见解析（3）
【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点C作，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）结合（1）（2），根据平行线的性质和判定得出角的关系即可．
【详解】解：（1）过点E作 （F在E点右侧）．
因为，所以．因为，所以．
因为，所以，所以，所以．

（2）．
理由：过点C作（D在C点右侧），所以．
因为，所以．所以．
因为，所以．
（3）如图，过拐点分别作的平行线，
由（1）（2）可得：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
22．（2023下·江西宜春·七年级统考期末）已知直线，点分别在直线上．

(1)如图①，当点在直线之间时，连接．探究与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在①的条件下，平分，平分．求与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点在直线的下方时，连接，其中交于点，平分，平分，的反向延长线交于点，交于点．若时，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）过点作，则，，进而得出，即可得出结论；（2）同（1）得出，根据角平分线的定义得出，，即可得出结论；（3）过点作，根据平行线的性质得出，同（1）即可求解．
【详解】（1）解：，
理由如下：如图所示，过点作， ，
， ， ，
，，，
，即；
（2）解：，理由如下：
平分，平分，，，
由（1）可知，同理可得，
，即；
（3）解：如图，过点作， ，
分，平分，，，，
，，
由（1）可得：
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
23．（2023下·广西贵港·七年级统考期末）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线、和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．

【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点F、G分别放在直线、上，请直接写出与的数量关系______．
【迁移探究】如图2，小睿把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数．
【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线，分别交、于点P，Q，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】[操作判断]；[迁移探究]；[拓展应用]不变，，理由见解析
【分析】[操作判断]过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系；[迁移探究]过点E作，则，从而，，进而可得，结合，可求的度数；[拓展应用]过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解．
【详解】［操作判断］：如图1，过点E作
，，，
∵ ∴ 故答案为：

［迁移探究］：如图2，过点E作 ，
，，
，，

［拓展应用］：不变，
理由如下：过点E作，
，
设，则，
、分别平分、 ，

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
24．（2023下·广西桂林·七年级统考期末）已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．

(1)在如图1所示的情形下，若，求的度数；(2)在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；(3)如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示 的补角．
【答案】(1)(2)(3)的补角为
【分析】（1）过点E作，证明，可得，，，可得；
（2）过点F作，证明，可得，，，求解，，从而可得答案；（3）如图，过点F作，证明，可得，，可得，证明，，从而可得答案．
【详解】（1）解：过点E作，

∵，∴，∴，，
∴，
∵，∴；
（2）如图，过点F作，
∵，∴，∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，∴；
（3）如图，过点F作，∵，∴，∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，∴的补角．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质求角的度数是解本题的关键．
25．（2023下·重庆潼南·七年级校联考期中）如图，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分，点是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分．
(1)当动点落在第①部分时图，可得：，请说明理由．
(2)当动点落在第②部分时图，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，并说明理由．
(3)当动点在第③部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．
【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3)
【分析】（1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；
（2）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；
（3）过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作，交于点，

，，，，，
；
（2），理由如下：如图，过点作的平行线，交于点，
，，，，
；；
（3）点在第③部分时，过点向右作，则，
，，，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等．
26．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2），理由见解析；（3）或
【分析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，

因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，如图4所示：
过P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；
当P在AB延长线时，如图5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．
综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
附加题（不计入总分）
1．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．
(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________
【答案】(1)；(2)(3)（或）
【分析】（1）作，可得，再利用角平分线求出结果；
（2）设，求出，再利用角平分线及平行的性质求得，最后根据即可求解；
（3）过点作，由角平分线求得、，最后利用整理式子即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作，，
，，，
，
平分，，
平分，，
；

（2）如图，设交于点M，
平分，设，则，
由（1）得，，，
平分，，
，，
，在中，；

（3）如图，过点作，
，，，，
，，，
平分，平分，，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查平行线的性质，平行线的拐角问题，角平分线的性质，掌握辅助线的作法是解决本题的关键．
2．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图1，点M在射线之间，，连接，过点M作交射线于点E，且．

(1)求证：；(2)过点C作，交直线于点N，先按要求画图，再解决下列问题．
①当在上方，满足时，在图2中画图，求的度数；
②作的角平分线交射线于点K，交的角平分线于点F，请直接写出与之间的数量关系______．
【答案】(1)证明见解析(2)①；②或
【分析】（1）如图所示，过点M作，根据平行线的性质得到，再由垂直的定义得到，则可证明，由此可得；（2）①由三角形外角的性质可得，再由建立方程求解即可；②分当在上方时，当在下方时，根据角度之间的关系用表示出，再据三角形外角的性质即可推出结论．
【详解】（1）证明：如图所示，过点M作，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴；

（2）解：①∵，∴，
∵，∴，∴
②如图所示，当在上方时，
∵，，∴，
∵平分，∴， ∴，
同理可得，∵，
∴，∴，
又∵，∴，∴；

如图所示，当在下方时，同理可得，
∴，
∴，∴，
同理可得，∵，
∴，∴∴；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质与判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
3．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）如图是课上老师呈现的一个问题：
下面提供三种思路：
思路一：过点作（如图甲）；
思路二：过点作，交于点；
思路三：过点作，交于点．

解答下列问题：(1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________；
(2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线；
(3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析．
【分析】（1）过点作，可得，从而得到、，即可求解；
（2）根据题意作图即可；（3）过点G作，根据题意可求出，根据平角的定义可得，然后即可求出答案；过点作，交于点，根据平行线的性质和垂直的定义即可求解
【详解】（1）解：过点作，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：根据题意作图如下.

（3）解：∵，∴，如图乙，过点G作，交于点E，

∴，
∵，∴，
∴，∴；
如图丙，过点作，交于点，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并熟悉相关模型的辅助线是解题关键．
4．（2023下·河南商丘·七年级统考期末）已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．(1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数；
(2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．

【答案】(1)15°(2)是定值，(3)是，
【分析】（1）过点作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求的度数；
（2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题；（3）过点P作，过点Q作，由平行线性质得，，从而得，同理可得，再由角平分线的定义即可求解．
【详解】（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．

∵，，∴．
，，．
．
（2）解：是定值，如图，

由（1）知，∴，，
∴，同理可得，
又∵DQ、BQ分别平分，∴，，
∴，∴．
（3）解：如图，过点P作，过点Q作，

∵，∴ ，∴，，
∴，同理可得，
又∵DQ、BQ分别平分与，∴，，
∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2023下·重庆巴南·七年级校联考期中）已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．

(1)如图1，当时，直接写出的度数；(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过t秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值，并选择其中一种情况书写计算过程．
【答案】(1)(2)，见详解(3)或或或16.5
【分析】（1）延长交于G，设交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形的外角性质表示出，进而表示出，然后结合和的内角和得出关系式，进一步得出结果；（2）类比（1）的方法过程，得出结果；
（3）分为的三边分别与平行，即或或，根据同位角相等，从而列出方程求得结果．
【详解】（1）解：如图1：延长交于G，设交于点H，

设，则，，，
，，，
在和中，
，，，即：，
，故答案为：；
（2）解：如图，延长交于G，设交于点H，
设，则，，，
，，
，在和中，
，，
，即：
；
（3）解：如图，由（2）知：，
，，，又，，
，
当时，如图，，，
由，得，
当时，如图：，，
由得，，解得，

当时，设交于点G，交于点，，两种情况：如图，第一种情况，，
，由得，，解得，
第二种情况，如图，，，，由得，，解得，；

综上所述：或或或16.5．
【点睛】本题考查了平行线性质和判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．
已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．