苏教版初升高一初数学预习专题03因式分解-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

这是一份苏教版初升高一初数学预习专题03因式分解-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)，共24页。试卷主要包含了对于，下列各式，分解因式，分解因式的结果是______，若且，则_____等内容，欢迎下载使用。


初中对于因式分解的讲解，主要集中在基础的运用两个特殊公式（完全平方、平方差）的因式分解。相较于初中的因式分解的学习，高中的要求相对上升不少，在原来的基础上增加了一部分公式，另外，高中对于十字相乘法进行因式分解的问题设计的非常多，而初中教材已经删除了这一块内容。
课程要求
知识精讲
初中知识储备：利用公式因式分解
备：绝对值
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式a2−b2=（a+b）(a−b)；
（2）完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）²．
高中增加知识：利用公式因式分解
备：绝对值
（3）立方和公式a3−b3=(a+b)(a2−ab+b2)；
（4）立方差公式a3+b3=(a−b)(a2+ab+b2)；
（5）三数和平方公式a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)²；
（6）两数和立方公式a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)³；
（7）两数差立方公式a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)³．
（8）两数差立方公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
典例剖析
例题1．下面是某同学对多项式因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
变式训练
1. 阅读理解并解答：
（方法呈现）
（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________．
（尝试应用）
（2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．
（拓展提高）
（3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
能力提升
1. 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
对点精练
1．如果x2+nx+2k＝（x﹣1）2，那么kn是（ ）
A．﹣B．C．4D．﹣4
2．对于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
3．下列各式：①，②，③，从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．②B．①②C．①③D．②③
4．我们已经知道，整式可以分解成几个因式的积的形式，类比数的整除，整式也能被其每一个因式整除，下列多项式不能被整除的是（ ）
A．B．C．D．
5．把二次三项式x2﹣5x﹣14分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．）B．C．D．
6．分解因式：___________．
7．已知关于的多式的一个因式是，则的值是__．
8．分解因式的结果是______．
9．如果因式分解的结果为，则A=__________，B=__________．
10．若且，则_____．
11．分解因式：
（1）
（2）
12．先化简，再求值：，其中．
13. （问题情境）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中．求证：．
证明：
，．
（1）比较大小： ．
（问题探究）
（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系．
（深入研究）
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有、两种方案可供选择，方案：每次按原价打六五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打六折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
14．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为的大正方形，块是边长都为的小正方形，块是长为，宽为的相同的小长方形，且．
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
15．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．
例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，
是“合和数”．
又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，
不是“合和数”．
（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
《初中课程要求》
1、了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；
2、认识因式分解与整式乘法的互逆关系；
3、能够熟练的运用公式法分解因式。
《高中课程要求》
1、在掌握因式分解的基础方法上进一步巩固提升；
2、能够利用三项和的平方、立方和、立方差、两数和（差）的平方公式等进行因式分解；
3、能够熟练使用十字相乘法因式分解。
专题03 因式分解
专题综述课程要求
初中对于因式分解的讲解，主要集中在基础的运用两个特殊公式（完全平方、平方差）的因式分解。相较于初中的因式分解的学习，高中的要求相对上升不少，在原来的基础上增加了一部分公式，另外，高中对于十字相乘法进行因式分解的问题设计的非常多，而初中教材已经删除了这一块内容。
课程要求
知识精讲
初中知识储备：利用公式因式分解
备：绝对值
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式a2−b2=（a+b）(a−b)；
（2）完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）²．
高中增加知识：利用公式因式分解
备：绝对值
（3）立方和公式a3−b3=(a+b)(a2−ab+b2)；
（4）立方差公式a3+b3=(a−b)(a2+ab+b2)；
（5）三数和平方公式a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)²；
（6）两数和立方公式a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)³；
（7）两数差立方公式a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)³．
（8）两数差立方公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
典例剖析
例题1．下面是某同学对多项式因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）因式分解不彻底，；（3）
【分析】
（1）先根据多项式乘以多项式计算，再用完全平方公式因式分解计算即可
（2）利用完全平方公式因式分解即可
（3）模仿给出的步骤，进行因式分解即可
【详解】
（1）∵，∴运用了两数和的完全平方公式．故选C．
（2）∵，∴因式分解不彻底．
（3）设，则原式
．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、多项式乘以多项式、换元法是解题的关键
变式训练
1. 阅读理解并解答：
（方法呈现）
（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________．
（尝试应用）
（2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．
（拓展提高）
（3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
【答案】（1），；（2）这个代数式的最大值是，这时相应的的值是；（3）此时这根铁丝剪成两段后的长度均为150cm，两个正方形的面积之和有最大值
【分析】
（1）根据题意即可求解；
（2）将化为即可求解；
（3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意列出式子，通过配方求解．
【详解】
解：（1）由题意：，当时取到最小值；
故最小值为，相应的，
故答案：．
（2）
则这个代数式的最大值是，这时相应的的值是．
（3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意得：
当，两个正方形的面积之和有最大值．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是：会对代数式进行配方成完全平方公式再求解．
能力提升
1. 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1
【分析】
（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
【详解】
解：（1）x2-4x-5
=（x-2）2-9
=（x-2+3）（x-2-3）
=（x+1）（x-5），
故答案为：（x+1）（x-5）；
（2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5，
∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴a-2b=0，b-1=0，
∴a=2，b=1．
【点睛】
本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
对点精练
1．如果x2+nx+2k＝（x﹣1）2，那么kn是（ ）
A．﹣B．C．4D．﹣4
【答案】C
【分析】
已知等式右边利用完全平方公式化简，再根据多项式相等的条件求出n与k的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：∵x2+nx+2k＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，
∴n＝﹣2，2k＝1，
解得：k＝ ，
则kn＝（）﹣2＝4．
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解-运用公式法，以及负整数指数幂，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
2．对于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：①，此项错误；
②，此项正确；
③，此项错误；
④，此项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．下列各式：①，②，③，从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．②B．①②C．①③D．②③
【答案】C
【分析】
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】
解：①③为因式分解；②项不属于因式分解；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的定义，正确把握因式分解的定义是解题关键．
4．我们已经知道，整式可以分解成几个因式的积的形式，类比数的整除，整式也能被其每一个因式整除，下列多项式不能被整除的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用提公因式法和公式法进行因式分解，从而作出判断
【详解】
解：A. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；
B. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；
C. ，此多项式不能被整除，故此选项符合题意；
D. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查提公因式法和公式法因式分解，掌握平方差公式的公式结构和提取公因式的技巧准确分解因式是解题关键．
5．把二次三项式x2﹣5x﹣14分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．）B．C．D．
【答案】D
【分析】
直接用十字相乘法分解因式即可；
【详解】
解：x2﹣5x﹣14=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．
6．分解因式：___________．
【答案】
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可
【详解】
原式==，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．
7．已知关于的多式的一个因式是，则的值是__．
【答案】
【分析】
设另一个因式为，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关系求解即可；
【详解】
设另一个因式为，
则，
即，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，准确计算是解题的关键．
8．分解因式的结果是______．
【答案】
【分析】
根据多项式乘以多项式法则去括号，合并同类项后利用完全平方公式分解因式．
【详解】
解：==
故答案为：．
【点睛】
此题考查因式分解的方法：完全平方公式，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
9．如果因式分解的结果为，则A=__________，B=__________．
【答案】2，
【分析】
根据因式分解的意义，可得：，再根据各项对应相等，可得答案．
【详解】
解：，得
，．
故答案为：2，．
【点睛】
本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键．
10．若且，则_____．
【答案】
【分析】
根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【点睛】
本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
11．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）（2a﹣2b+1）2
【分析】
（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：（1）==
=
（2）4（a﹣b）2+1+4（a﹣b）=[2（a﹣b）+1]2=（2a﹣2b+1）2
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【分析】
先将括号内的多项式因式分解，然后约分，再根据单项式乘以多项式展开运算，最后合并同类项进行化简，再把x=-2代入进行计算即可．
【详解】
解：原式
，
当时，
原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，因式分解，约分，单项式与多项式乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13. （问题情境）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中．求证：．
证明：
，．
（1）比较大小： ．
（问题探究）
（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系．
（深入研究）
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有、两种方案可供选择，方案：每次按原价打六五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打六折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
【答案】（1）≥；（2）；（3）当游泳次数超过8次时，应选择B方案，当游泳次数小于8次时，应选择A方案，当游泳次数恰好8次时，两种方案费用相同．
【分析】
（1）计算，问题得解；
（2）分别用含m式子表示出、，再用得到含m的式子，根据m为正整数，即可判断出＞0，问题得解；
（3）设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，分别表示出A、B两种方案费用，用A方案费用减去B方案费用，根据题意分别得到m取值不同，两方案费用的差的符号，即可确定如何选择方案．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
故答案为：≥；
（2）∵，，
∴，
∵为正整数，
∴＞0，
∴＞0，
∴；
（3）设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，则A方案游泳总费用为0.65xm元；B方案游泳总费用为x+0.6x（m-1）=0.6xm+0.4x（元），
0.65xm-（0.6xm+0.4x）=0.05xm-0.4x，
由题意得x＞0，
∴当0.05xm-0.4x＞0时，即m＞8，此时应选择B方案；
当0.05xm-0.4x＜0时，即m＜8，此时应选择A方案；
当0.05xm-0.4x=0时，即m=8，两种方案费用相同．
答：当游泳次数超过8次时，应选择B方案，当游泳次数小于8次时，应选择A方案，当游泳次数恰好8次时，两种方案费用相同．
【点睛】
本题为创新型题目，考查了因式分解，整式的计算，解不等式等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，并理解“作差法”依据是解题关键．
14．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为的大正方形，块是边长都为的小正方形，块是长为，宽为的相同的小长方形，且．
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
【答案】（1）；（2）①，②
【分析】
（1）根据题意可知代数式表示的是大长方形的面积，利用长方形的面积公式即可解答；
（2）①：根据题目中的条件，列出大长方形的周长即可求解；②根据题意列出方程组，求出的值，表示出空白部分的面积的代数式求解即可．
【详解】
解：（1）大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为的大正方形，块是边长都为的小正方形，块是长为，宽为的相同的小长方形，
大长方形的面积为：（）；
大长方形的长为，宽为，
，
故答案是：；
（2）①根据大长方形的周长计算公式及由题意，得
解得：；
②由题意得，
，
解得：，
空白部分的面积为：．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：仔细观察图形，找到面积关系及周长的表示方法．
15．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．
例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，
是“合和数”．
又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，
不是“合和数”．
（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．
【答案】（1）不是“合和数”，是“合和数，理由见解析；（2）有，，，．
【分析】
（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的．
【详解】
解：（1）
不是“合和数”，是“合和数”．
，，
不是“合和数”，
，十位数字相同，且个位数字，
是“合和数”．
（2）设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，），
则．
∴．
∴（是整数）．
，
，
是整数，
或，
①当时，
或，
或．
②当时，
或，
或．
综上，满足条件的有，，，．
【点睛】
本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
《初中课程要求》
1、了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；
2、认识因式分解与整式乘法的互逆关系；
3、能够熟练的运用公式法分解因式。
《高中课程要求》
1、在掌握因式分解的基础方法上进一步巩固提升；
2、能够利用三项和的平方、立方和、立方差、两数和（差）的平方公式等进行因式分解；
3、能够熟练使用十字相乘法因式分解。