苏教版初升高一初数学预习专题04二次根式-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

这是一份苏教版初升高一初数学预习专题04二次根式-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)，共22页。试卷主要包含了分母有理化，二次根式a2的意义，已知，若，则代数式的值为，________等内容，欢迎下载使用。


初中对于二次根式的学习，主要集中在基础的“数”的运算，对于二次根式里含代数式的问题设计较少。相较于初中的二次根式的学习，高中更多的是研究二次根式内含代数式的问题，主要利用二次根式内的数（式）的非负性。
课程要求
知识精讲
初中知识储备：利用公式因式分解
备：绝对值
一般地，形如a(a≥0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如a+b，x2+2x+3等是无理式，而a2，x2+2x+1等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根式化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母（子）的有理化因式，化去分母（子）中的根号的过程；例如1a,我们可以这样有理化：1a=aa∙a=aa；而对于1a−b、a−ba类型的式子，我们要同乘分母（子）的相反因式：1a−b=(a+b)(a−b)∙(a+b)=a+ba−b；a−ba=(a−b)⋅(a+b)a(a+b)=a−ba(a+b)。分母（子）有理化的过程也是平方差公式运用的过程，在运用中要注意看清需要哪种有理化，到底是分母还是分子。
2．二次根式a2的意义
a2=|a|=a， a≥0，−a，a≤0，
典例剖析
例题1．实践与探索
（1）填空：________；________．
（2）观察第（1）的结果填空：当时，________；当时，________．
（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示为．
变式训练
1. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m＜－6，化简．
能力提升
1. 有一道题“已知，求的值”，小明在解答时，没有直接带代入，而是这样分析的：
因为，所以，
所以，．
所以，故．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值．
对点精练
1．二次根式中字母a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1B．a＞﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1
2．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．B．C．8D．无法确定
3．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a－b＝0B．a＋b＝0C．ab＝1D．a2＝b2
4．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6B．C．12D．
5．若，则代数式的值为（ ）
A．7B．4C．3D．
6．设a，b，c是△ABC的三边的长，化简+|b﹣a﹣c|的结果是________．
7．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__．
8．________．
9．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____．
10．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系
例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝＋1，类似地，＝﹣，＝＋；＝2﹣，＝2＋；⋯．
根据小腾发现的规律，解决下列问题：
（1）＝___，＝___；（n为正整数）
（2）若＝2﹣m，则m＝___；
（3）计算：＝___．
11．计算．
（1）；
（2）．
12．计算：．
13．小颖利用平方差公式，自已探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
14．阅读下列材料．然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝①；
＝＝②；
＝＝＝③；以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1④；
（1）请用不同的方法化简：参照③式求；参照④求；
（2）化简：++…+．
15．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，即，，则有：．
（1）根据上述方法化简：
①；
②．
（2）已知，则______．
《初中课程要求》
1、了解二次根式的概念；
2、知道被开方数必须是非负数；
3、能运营二次根式的性质解决实际问题。
《高中课程要求》
1、在掌握二次根式的基础方法上进一步熟悉二次根式的运算方法；
2、能够进行二次根式的分子、分母有理化；
3、会使用“夹逼”的方法推出被开放数为零。
专题04 二次根式
专题综述课程要求
初中对于二次根式的学习，主要集中在基础的“数”的运算，对于二次根式里含代数式的问题设计较少。相较于初中的二次根式的学习，高中更多的是研究二次根式内含代数式的问题，主要利用二次根式内的数（式）的非负性。
课程要求
知识精讲
初中知识储备：利用公式因式分解
备：绝对值
一般地，形如a(a≥0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如a+b，x2+2x+3等是无理式，而a2，x2+2x+1等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根式化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母（子）的有理化因式，化去分母（子）中的根号的过程；例如1a,我们可以这样有理化：1a=aa∙a=aa；而对于1a−b、a−ba类型的式子，我们要同乘分母（子）的相反因式：1a−b=(a+b)(a−b)∙(a+b)=a+ba−b；a−ba=(a−b)⋅(a+b)a(a+b)=a−ba(a+b)。分母（子）有理化的过程也是平方差公式运用的过程，在运用中要注意看清需要哪种有理化，到底是分母还是分子。
2．二次根式a2的意义
a2=|a|=a， a≥0，−a，a≤0，
典例剖析
例题1．实践与探索
（1）填空：________；________．
（2）观察第（1）的结果填空：当时，________；当时，________．
（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示为．
【答案】（1）3，5；（2）a，；（3）2
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
解：（1）3； =5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时a；当a＜0时，-a；
故答案为：a，-a；
（3）由数轴可得x的取值范围为，
∴x-2＞0、x-4＜0，
∴
=2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
变式训练
1. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m＜－6，化简．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围即可得到最终答案．
【详解】
解：（1）
；
（2）由已知可得：3m<-6，
解之可得：m<-2，即-m>2，
∴2-m>4>0，-m-2>0，
∴．
【点睛】
本题考查实数运算的综合应用，熟练掌握新定义运算的解题方法、一元一次不等式的求解及二次根式的性质是解题关键．
能力提升
1. 有一道题“已知，求的值”，小明在解答时，没有直接带代入，而是这样分析的：
因为，所以，
所以，．
所以，故．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值．
【答案】-4
【分析】
先把分母有理化，得出a的表达式，最后代入中即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，即，∴，
∴
【点睛】
此题考查的是求代数式的值，涉及完全平方公式，分母有理化等知识，读懂题意，掌握相关运算法则是解题的关键．
对点精练
1．二次根式中字母a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1B．a＞﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1
【答案】C
【分析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
解：由题意得，a+1≥0，
解得a≥-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，比较简单．
2．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．B．C．8D．无法确定
【答案】C
【分析】
从数轴上可以看出，，所以，进一步根据绝对值的意义和二次根式的运算化简即可．
【详解】
解：由数轴可知：
∴
．
故选：C．
【点睛】
此题考查二次根式的化简与绝对值的意义，注意字母的取值范围是解题的关键．
3．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a－b＝0B．a＋b＝0C．ab＝1D．a2＝b2
【答案】C
【分析】
先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．
【详解】
解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，
∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意；
a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意；
ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；
∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，
∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
4．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6B．C．12D．
【答案】A
【分析】
首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】
∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
5．若，则代数式的值为（ ）
A．7B．4C．3D．
【答案】C
【分析】
先将代数式变形为，再代入即可求解．
【详解】
解：．
故选：C
【点睛】
本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．
6．设a，b，c是△ABC的三边的长，化简+|b﹣a﹣c|的结果是________．
【答案】2a+2c
【分析】
根据三角形三边长关系，可得a+c＞b，结合二次根式和绝对值的性质，即可化简．
【详解】
解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a+c＞b，a+b+c＞0，
∴b﹣a﹣c＜0，
∴+|b﹣a﹣c|=|a+b+c|+|b﹣a﹣c|=a+b+c+a+c-b=2a+2c．
故答案是：2a+2c．
【点睛】
本题主要考查三角形三边长关系以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质，是解题的关键．
7．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__．
【答案】．
【分析】
把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可．
【详解】
解：由得，
有意义，且，
方程没有实数根，即，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围．
8．________．
【答案】
【分析】
分别根据绝对值的性质，二次根式的性质，特殊角的三角函数值和负整指数幂的性质进行计算，再算加减即可．
【详解】
，
故填： ．
【点睛】
本题考查了实数的综合运算能力，解答此题的关键是熟练掌握负整指数幂、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数的运算．
9．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____．
【答案】2
【分析】
根据二次根式的非负性求出，代入计算得到，再根据算术平方根的定义解答．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴2x＋3y的算术平方根为2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查二次根式的非负性，算术平方根的定义，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系
例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝＋1，类似地，＝﹣，＝＋；＝2﹣，＝2＋；⋯．
根据小腾发现的规律，解决下列问题：
（1）＝___，＝___；（n为正整数）
（2）若＝2﹣m，则m＝___；
（3）计算：＝___．
【答案】 9
【分析】
（1）根据题目示例可得规律；
（2）根据（1）得到的规律即可求解；
（3）根据（1）的规律化简每个根式后再合并．
【详解】
解：（1）因为，所以＝；
因为，所以；
（2）∵＝2﹣m，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
．
故答案为：（1）；；（2）；（3）9．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键.
11．计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）利用完全平方公式和平方差公式把括号展开，和二次根式的除法运算，最后合并即可得到答案．
【详解】
解：（1）
（2）

【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
12．计算：．
【答案】3
【分析】
根据零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等运算法则计算即可．
【详解】
解：原式＝，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等知识点，掌握以上知识点的运算法则是解题关键．
13．小颖利用平方差公式，自已探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
【答案】x＝7
【分析】
根据借鉴题中的方法，即可计算求解．
【详解】
解：设+＝m，与原方程相乘得：
（﹣）×（+）＝m，
x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3，
∴+＝3，与原方程相加得：
（﹣）+（+）＝3＋1，
2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根．
【点睛】
此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题．
14．阅读下列材料．然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝①；
＝＝②；
＝＝＝③；以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1④；
（1）请用不同的方法化简：参照③式求；参照④求；
（2）化简：++…+．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由题意可直接进行求解即可；
（2）先对算式进行分母有理化，然后再进行求解即可．
【详解】
解：（1）由③可得：，
由④可得：；
（2）++…+
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题的关键．
15．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，即，，则有：．
（1）根据上述方法化简：
①；
②．
（2）已知，则______．
【答案】（1）①；②；（2）-2019
【分析】
（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；
（2）先利用完全平方公式化简，再将的值代入化简即可求出答案．
【详解】
解：（1）①；
②
（2）
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
《初中课程要求》
1、了解二次根式的概念；
2、知道被开方数必须是非负数；
3、能运营二次根式的性质解决实际问题。
《高中课程要求》
1、在掌握二次根式的基础方法上进一步熟悉二次根式的运算方法；
2、能够进行二次根式的分子、分母有理化；
3、会使用“夹逼”的方法推出被开放数为零。