苏教版八年级数学暑假第17讲实数全章复习与测试练习(学生版+解析)

这是一份苏教版八年级数学暑假第17讲实数全章复习与测试练习(学生版+解析)，共31页。

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
【基础知识】
一．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
二．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
三．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
四．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
五．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
六．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
七．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
八．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
九．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
十．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
十一．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
十二．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
十三．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
【考点剖析】
一．近似数和有效数字（共1小题）
1．（真题•浦东新区期末）某班级共有学生36人，其中的同学报名参加乒乓球社团，25%的同学报名参加羽毛球社团．问：报名参加乒乓球社团的同学比报名参加羽毛球社团的同学多百分之几？（百分号前保留1位小数）
二．平方根（共1小题）
2．（2022春•昭阳区校级月考）一个正数x的两平方根分别是2a﹣3和1﹣6a，求x的值．
三．算术平方根（共1小题）
3．（2022春•海淀区校级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
四．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
4．（2022春•西城区校级期中）设a、b、c都是实数，且+|b+c+5|＝0，求代数式3a+b﹣2c的值．
五．立方根（共1小题）
5．（2022春•长乐区期中）已知某个正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a+b的值．
六．计算器—数的开方（共1小题）
6．（2020•朝阳区校级开学）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈ ；
②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝ ．
七．无理数（共1小题）
7．（2022•贺州二模）下列各数是无理数的是（ ）
A．0B．1C．2D．π
八．实数（共1小题）
8．（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．实数包括有理数、无理数和零
B．有理数包括正有理数和负有理数
C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D．无论是有理数还是无理数都是实数
九．实数的性质（共1小题）
9．（2022春•长垣市期中）﹣2的绝对值是（ ）
A．2﹣B．﹣2C．D．1
一十．实数与数轴（共1小题）
10．（2022•石景山区二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＞bB．b＞aC．a+b＜0D．ab＞0
一十一．实数大小比较（共1小题）
11．（2022•和县二模）下列四个无理数中，大于1且小于2的是（ ）
A．3﹣B．﹣2C．﹣1D．2﹣
一十二．估算无理数的大小（共1小题）
12．（2022•和平区三模）估计的值在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
一十三．实数的运算（共1小题）
13．（2022春•西城区校级期中）计算：+|1﹣|﹣．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）方程|4x﹣8|+＝0，当y＞0时，m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．m≥2C．m＜2D．m≤2
2．（3分）在实数范围内，代数式||﹣2|﹣3|的值为（ ）
A．1B．2
C．3D．以上答案都不对
3．（3分）若a、b是实数，且，则a+b的值是（ ）
A．3或﹣3B．3或﹣1C．﹣3或﹣1D．3或1
4．（3分）代数式的最小值是（ ）
A．0B．3C．D．不存在
5．（3分）估计的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
6．（3分）已知（x﹣y+3）2+＝0，则x+y的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．5
7．（3分）若，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤3
8．（3分）资阳市2012年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为27.39亿元，那么这个数值（ ）
A．精确到亿位B．精确到百分位
C．精确到千万位D．精确到百万位
9．（3分）已知实数的小数部分为a，的小数部分为b，则7a+5b的值为（ ）
A．B．0.504C．2﹣D．
10．（3分）若|x+2|+，则xy的值为（ ）
A．﹣8B．﹣6C．5D．6
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）实数，0，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），，中，无理数有 ．
12．（3分）数轴上到原点距离为的点所表示的实数是 ．
13．（3分）近似数1.96精确到了 位；近似数3698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为 ．
14．（3分）若的值在两个整数a与a+1之间，则a＝ ．
15．（3分）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ．
16．（3分）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 ．
17．（3分）2的平方根是 ，计算：＝ ．
18．（3分）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段 条．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（6分）若a、b、c是有理数，且满足等式a+b+c＝2﹣+3，试计算（a﹣c）2013+b2014的值．
20．（6分）把下列各数填入相应的大括号里．
π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．
（1）整数集：{ …}；
（2）有理数集：{ …}；
（3）无理数集：{ …}．
21．（6分）计算下列各题．
（1）+﹣； （2）﹣16﹣4；
（3）|﹣|﹣+；
（4）×﹣2（﹣π）0．
22．（6分）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．
23．（6分）（1）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|＝6，b2＝4，求．
24．（8分）求下列各式中x的值．
（1）16x2﹣81＝0； （2）﹣（x﹣2）3﹣64＝0．
25．（8分）如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．
（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；
（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；
（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
x
0.04
y
400
…
第17讲 实数全章复习与测试
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
【基础知识】
一．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
二．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
三．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
四．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
五．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
六．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
七．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
八．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
九．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
十．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
十一．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
十二．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
十三．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
【考点剖析】
一．近似数和有效数字（共1小题）
1．（真题•浦东新区期末）某班级共有学生36人，其中的同学报名参加乒乓球社团，25%的同学报名参加羽毛球社团．问：报名参加乒乓球社团的同学比报名参加羽毛球社团的同学多百分之几？（百分号前保留1位小数）
【分析】先计算出参加乒乓球社团的同学的人数和报名参加羽毛球社团的同学的人数，然后根据增长率的公式计算．
【解答】解：参加乒乓球社团的同学的人数为36×＝16（人），
报名参加羽毛球社团的同学的人数为36×25%＝9（人）
因为×100%≈77.8%，
所以报名参加乒乓球社团的同学比报名参加羽毛球社团的同学多77.8%．
【点评】本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
二．平方根（共1小题）
2．（2022春•昭阳区校级月考）一个正数x的两平方根分别是2a﹣3和1﹣6a，求x的值．
三．算术平方根（共1小题）【分析】根据一个正数的两个平方根的特征进行解答即可．
【解答】解：由题意得，2a﹣3+1﹣6a＝0，
解得，x＝﹣，
所以2a﹣3＝﹣4，1﹣6a＝4，
所以x＝（±4）2＝16，
答：x＝16．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键．
3．（2022春•海淀区校级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；
（3）2和4都可以．
【解答】解：（1）第一次，81的算术平方根是＝9，9是有理数，不能输出；
第二次，9的算术平方根是3，3是有理数不能输出；
第三次，3的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：；
（2）0和1满足要求．理由如下：
0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）∵4的算术平方根是2，2的算术平方根是．
∴两个满足要求的x值为4和2．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根．
四．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
4．（2022春•西城区校级期中）设a、b、c都是实数，且+|b+c+5|＝0，求代数式3a+b﹣2c的值．
【分析】根据非负数的性质得出a+b﹣6＝0，b+c+5＝0，求出a+b、a﹣c的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵+|b+c+5|＝0，
∴a+b﹣6＝0，b+c+5＝0，
∴a+b＝6，a﹣c＝11．
∴3a+b﹣2c
＝a+b+2a﹣2c
＝a+b+2（a﹣c）
＝6+2×11
＝28，
即代数式3a+b﹣2c的值是28．
【点评】本题考查算术平方根、绝对值的非负性，求出a+b、a﹣c的值是正确解答的关键．
五．立方根（共1小题）
5．（2022春•长乐区期中）已知某个正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a+b的值．
【分析】根据平方根和立方根的定义，列方程可求得a，b的值，进而可求a+b的值．
【解答】解：∵某个正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，
∴a﹣3+2a+15＝0，
解得a＝﹣4．
∵b的立方根是﹣3，
∴b＝（﹣3）3＝﹣27．
∴a+b＝（﹣4）+（﹣27）＝﹣31．
故a+b的值为﹣31．
【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．
六．计算器—数的开方（共1小题）
6．（2020•朝阳区校级开学）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
（1）表格中x＝ 0.4 ；y＝ 40 ；
（2）从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈ 143.5 ；
②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝ 0.03489 ．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值；
（2）①根据被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，即可求得所求式子的值；
②根据算术平方根缩小10倍，被开方数缩小100倍，即可求得所求式子的值．
【解答】解：（1）根据题意得，x＝0.4，y＝40；
故答案为：0.4，40；
（2）①已知≈1.435，则≈143.5；
故答案为：143.5；
②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝0.03489．
故答案为：0.03489．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
七．无理数（共1小题）
7．（2022•贺州二模）下列各数是无理数的是（ ）
A．0B．1C．2D．π
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、1是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、π是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
八．实数（共1小题）
8．（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．实数包括有理数、无理数和零
B．有理数包括正有理数和负有理数
C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D．无论是有理数还是无理数都是实数
【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点．
【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A错误，
有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B错误，
无限不循环的小数是无理数，故C错误，
实数分为有理数和无理数，故D正确．
故选：D．
【点评】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类．
九．实数的性质（共1小题）
9．（2022春•长垣市期中）﹣2的绝对值是（ ）
A．2﹣B．﹣2C．D．1
【分析】根据实数的相反数和绝对值即可得出答案．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴﹣2的绝对值是2﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
一十．实数与数轴（共1小题）
10．（2022•石景山区二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＞bB．b＞aC．a+b＜0D．ab＞0
【分析】利用数轴可知a，b的大小和绝对值，然后判断即可．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴|a|＜b，即A错误，不符合题意；
b＞a，即B正确，符合题意；
a+b＞0，即C错误，不符合题意；
ab＜0，即D错误．不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的实数的大小比较，解题的关键是会实数的大小比较方法．
一十一．实数大小比较（共1小题）
11．（2022•和县二模）下列四个无理数中，大于1且小于2的是（ ）
A．3﹣B．﹣2C．﹣1D．2﹣
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴0＜3﹣＜1，﹣1＜2﹣＜0，故A，D选项不符合题意；
∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴0＜﹣2＜1，＜﹣1＜2，故B选项不符合题意，C选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数，实数的大小比较，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
一十二．估算无理数的大小（共1小题）
12．（2022•和平区三模）估计的值在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【分析】先估算出的范围，再得出选项即可．
【解答】解：∵＜，
∴6＜7，
即在6到7之间，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
一十三．实数的运算（共1小题）
13．（2022春•西城区校级期中）计算：+|1﹣|﹣．
【分析】直接利用算术平方根以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝3+﹣1﹣2
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）方程|4x﹣8|+＝0，当y＞0时，m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．m≥2C．m＜2D．m≤2
【分析】先根据非负数的性质列出方程组，用m表示出y的值，再根据y＞0，就得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解方程组就可以得到，
根据题意得2﹣m＞0，
解得：m＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了初中范围内的两个非负数，利用非负数的性质转化为解方程，这是考试中经常出现的题目类型．
2．（3分）在实数范围内，代数式||﹣2|﹣3|的值为（ ）
A．1B．2
C．3D．以上答案都不对
【分析】由二次根式被开方数大于等于0可知﹣（x+5）2＝0，然后将﹣（x+5）2＝0代入进行计算即可．
【解答】解：由二次根式被开方数大于等于0可知：﹣（x+5）2＝0，
∴原式＝||0﹣2|﹣3|＝|2﹣3|＝|﹣1|＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是二次根式的性质，由二次根式被开方数大于等于0求得﹣（x+5）2＝0是解题的关键．
3．（3分）若a、b是实数，且，则a+b的值是（ ）
A．3或﹣3B．3或﹣1C．﹣3或﹣1D．3或1
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式可得b＝1，进而得到a的值，然后再计算出a+b的值．
【解答】解：由题意得：，
解得：b＝1，
则：a＝±2，
∴当a＝2，b＝1时，a+b＝3，
当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4．（3分）代数式的最小值是（ ）
A．0B．3C．D．不存在
【分析】首先由代数式的有意义，即可求得x的取值范围，然后由，，都随x的增大而增大，即可得当x取最小值时，代数式的值最小，代入即可求得答案．
【解答】解：若代数式有意义，
则，
解得：x≥2，
∵由，，都随x的增大而增大，
∴当x＝2时，代数式的值最小，
即++＝1+0+2＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．
5．（3分）估计的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出的范围．
【解答】解：∵2＝＜＝3，
∴3＜＜4，
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
6．（3分）已知（x﹣y+3）2+＝0，则x+y的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．5
【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值即可．
【解答】解：∵（x﹣y+3）2+＝0，
∴，解得，
∴x+y＝﹣1+2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
7．（3分）若，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤3
【分析】根据题中条件可知a﹣3≥0，直接解答即可．
【解答】解：，
即a﹣3≥0，
解得a≥3；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，题中涉及使根式有意义的知识点，属于基础题．
8．（3分）资阳市2012年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为27.39亿元，那么这个数值（ ）
A．精确到亿位B．精确到百分位
C．精确到千万位D．精确到百万位
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】解：∵27.39亿末尾数字9是百万位，
∴27.39亿精确到百万位．
故选：D．
【点评】本题考查了近似数的确定，熟悉数位是解题的关键．
9．（3分）已知实数的小数部分为a，的小数部分为b，则7a+5b的值为（ ）
A．B．0.504C．2﹣D．
【分析】求出的大小，推出1＜＜，求出a，同理求出＞＞1，求出b，代入求出即可．
【解答】解：2＜＜3，
∴7＜5+＜8，
∴1＜＜，
∴的整数部分是1，小数部分是a＝﹣1＝，
同理求出的小数部分是b＝﹣1＝，
∴7a+5b＝7×+5×＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的大小的应用，关键是确定和的范围．
10．（3分）若|x+2|+，则xy的值为（ ）
A．﹣8B．﹣6C．5D．6
【分析】已知任何数的绝对值一定是非负数，二次根式的值一定是一个非负数，由于已知的两个非负数的和是0，根据非负数的性质得到这两个非负数一定都是0，从而得到一个关于x、y的方程组，解方程组就可以得到x、y的值，进而求出xy的值．
【解答】解：∵|x+2|≥0，≥0，
而|x+2|+＝0，
∴x+2＝0且y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查的是非负数的性质，一元一次方程的解法及代数式的求值．题目注重基础，比较简单．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）实数，0，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），，中，无理数有 2个 ．
【分析】先根据算术平方根和立方根的定义得到﹣＝2，＝﹣5，然后根据无理数的定义得到0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），是无理数．
【解答】解：∵﹣＝2，＝﹣5，
∴无理数有：0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），．
故答案为：2个．
【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数．常见形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等；字母表示无理数，如π等．
12．（3分）数轴上到原点距离为的点所表示的实数是 1﹣或﹣1 ．
【分析】分点在原点的左边与右边两种情况求解．
【解答】解：①原点左边到原点的距离为﹣1的点是1﹣，
②原点右边到原点的距离为﹣1的点是﹣1，
所以数轴上到原点的距离为﹣1的点是1﹣或﹣1，
故答案为1﹣或﹣1．
【点评】本题考查了实数与数轴，注意需要分点在原点的左右两边两种情况求解，避免漏解而导致出错．
13．（3分）近似数1.96精确到了 百分 位；近似数3698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为 3.70×106 ．
【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．
注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．它的有效数字的个数只与a有关，而与n的大小无关．
【解答】解：近似数1.96精确到了百分位；
近似数3698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为3.70×106，
故答案为：百分，3.70×106．
【点评】本题考查了科学记数法与有效数字．把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：
（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
14．（3分）若的值在两个整数a与a+1之间，则a＝ 2 ．
【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出a的值．
【解答】解：∵2＝＜＝3，
∴的值在两个整数2与3之间，
∴可得a＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
15．（3分）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 2 ．
【分析】可用“夹逼法”估计，的近似值，得出点A和点B之间的整数．
【解答】解：1＜＜2；2＜＜3，
∴在数轴上点A和点B之间的整数是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
16．（3分）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 8或或3 ．
【分析】由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB﹣AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD＝CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC＝2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长．
【解答】解：如图所示：
当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，
在Rt△BDC中，CD＝3，BD＝1，
根据勾股定理得：BC＝＝；
当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝4，
∴BD＝AB+AD＝5+4＝9，
在Rt△BDC中，CD＝3，BD＝9，
根据勾股定理得：BC＝＝3；
当AD为底边上的高时，如图所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝5，
根据勾股定理得：BD＝＝4，
∴BC＝2BD＝8，
综上，等腰三角形的底边长为8或或3．
故答案为：8或或3
【点评】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的数学思想，要求学生考虑问题要全面，注意不要漏解．
17．（3分）2的平方根是 ± ，计算：＝ ﹣2 ．
【分析】原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：2的平方根为±，＝﹣2，
故答案为：±；﹣2
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．（3分）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段 8 条．
【分析】如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为的线段，然后可以找出所有这样的线段．
【解答】解：如图，所有长度为的线段全部画出，共有8条．
【点评】此题是一个探究试题，首先探究如何找到长度为的线段，然后利用这个规律找出所有这样的线段．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（6分）若a、b、c是有理数，且满足等式a+b+c＝2﹣+3，试计算（a﹣c）2013+b2014的值．
【分析】根据题意先求出a、b、c的值，然后代入求解．
【解答】解：∵a、b、c是有理数，且满足等式a+b+c＝2﹣+3，
∴a＝2，b＝﹣1，c＝3，
则（a﹣c）2013+b2014＝﹣12013+（﹣1）2014＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是根据题意求出a、b、c的值．
20．（6分）把下列各数填入相应的大括号里．
π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．
（1）整数集：{ 2，， …}；
（2）有理数集：{ 2，﹣，2.3，30%，， …}；
（3）无理数集：{ π，|| …}．
【分析】先进行化简，再根据有理数的分类，即可解答．
【解答】解：|﹣|＝，＝2，＝﹣2，
（1）整数集：{2，，，…}；
（2）有理数集：{2，﹣，2.3，30%，，，…}；
（3）无理数集：{π，||，…}；
故答案为：（1）2，，；（2）2，﹣，2.3，30%，，；（3）π，||．
【点评】本题考查了有理数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类．
21．（6分）计算下列各题．
（1）+﹣；
（2）﹣16﹣4；
（3）|﹣|﹣+；
（4）×﹣2（﹣π）0．
【分析】（1）、（2）根据数的开方法则分别计算出各数，再根据实数的加减法则进行计算即可；
（3）先根据绝对值的性质及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（4）先根据数的开方法则及0指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝0.4+0.7﹣0.9
＝0.2；
（2）原式＝﹣16×0.5﹣4×（﹣4）
＝﹣8+16
＝8；
（3）原式＝﹣+
＝；
（4）原式＝0.3×10﹣2
＝3﹣2
＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及数的开方法则，0指数幂的运算法则是解答此题的关键．
22．（6分）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．
【分析】先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
【解答】解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+﹣4＝﹣2，
即x＝4，y＝﹣2，所以＝＝．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．
23．（6分）（1）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|＝6，b2＝4，求．
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据平方根的定义求解；
（2）分别根据|a|＝6，b2＝4，求出a，b的值，然后求a+2b的算术平方根即可．
【解答】解：（1）∵与互为相反数，
∴，
解得：，
∴（x﹣y）2的平方根是±3，
（2）∵|a|＝6，b2＝4，
∴a＝±6，b＝±2，
∴a+2b＝±10，或±2，
∵a+2b＞0，
∴＝，或＝．
【点评】本题考查了非负数的性质，本题考查了平方根的知识，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
24．（8分）求下列各式中x的值．
（1）16x2﹣81＝0；
（2）﹣（x﹣2）3﹣64＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．
【解答】解：（1）方程整理得：x2＝，
开方得：x＝±，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）方程整理得：（x﹣2）3＝﹣64，
开立方得：x﹣2＝﹣4，
解得：x＝﹣2．
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（8分）如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．
（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；
（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；
（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？
【分析】（1）在直角三角形ECF中，利用勾股定理AC即可；
（2）在直角三角形BC中，利用勾股定理计算出AC长即可；
（3）首先计算出AC＝4.8m时BC的长度，然后再根据题意得到应将梯子再向墙推进的距离．
【解答】解：（1）由题意得：EF＝5m，CF＝4m，
则EC＝＝＝3（m）．
答：梯子的顶端距地面的垂直距离是3m；
（2）由题意得：BF＝1m，则CB＝4﹣1＝3（m），
AC＝＝＝4（m），
则AE＝AC﹣EC＝1m．
答：梯子的顶端升高了1m；
（3）若AC＝4.8m，则BC＝＝＝1.4（m），
应将梯子再向墙推进3﹣1.4＝1.6（m）．
答：应将梯子再向墙推进1.6m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
x
0.04
y
400
…