苏科版九年级数学暑假第01讲一元二次方程的定义与解法练习(学生版+解析)

这是一份苏科版九年级数学暑假第01讲一元二次方程的定义与解法练习(学生版+解析)，共35页。

一．一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
二．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
三．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
四．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
五．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
六．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
七．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
八．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
九．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
十．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
【考点剖析】
一．一元二次方程的定义（共3小题）
1．（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x
C．5x2﹣4＝0D．ax2+bx+c＝0
2．（真题•宜兴市月考）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝ ．
3．（真题•玉屏县期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
二．一元二次方程的一般形式（共4小题）
4．（真题•南京期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
5．（真题•海州区校级期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1、0B．1、3C．1、﹣3D．﹣1、﹣3
6．（真题•黄石期末）将方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是 ．
7．（真题•常州期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
三．一元二次方程的解（共5小题）
8．（真题•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣12
9．（2022•常州模拟）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）+5＝ ．
10．（2022•邗江区一模）关于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，则m+n的值为 ．
11．（2021•南海区二模）若关于x，y的二元一次方程组的解x＞0，y＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）若x是一个直角三角形的直角边长，y是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程m2﹣8m+16＝0的解，求这个直角三角形的面积．
12．（真题•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）
13．（真题•盐都区期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5B．x1＝5，x2＝﹣5C．x1＝x2＝﹣5D．x1＝x2＝25
14．（真题•东台市期中）解方程：2x2＝6．
15．（真题•邗江区校级月考）求满足条件的x值：
（1）3（x﹣1）2＝12； （2）x2﹣3＝5．
16．（2018秋•鼓楼区期末）求4x2﹣25＝0中x的值．
五．解一元二次方程-配方法（共3小题）
17．（真题•香洲区期末）解方程：x2﹣4x+1＝0（配方法）．
18．（2022•碑林区校级三模）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
19．（2019秋•榕城区期中）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1．
六．解一元二次方程-公式法（共3小题）
20．（2019•合浦县二模）解方程：x2+3x﹣2＝0．
21．（2019•鼎城区模拟）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
22．（2019•常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
23．（真题•广陵区期末）解方程：
（1）x2+5x+4＝0． （2）4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
24．（真题•泗阳县期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．
八．换元法解一元二次方程（共3小题）
25．（2022春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
26．（真题•山亭区期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则a2+b2＝ ．
27．（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2019•怀集县一模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．
2．（2019秋•竞秀区期末）将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x+4）2＝7B．（x+4）2＝25C．（x+4）2＝﹣9D．（x+8）2＝7
3．（真题•顺德区月考）把一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式，则a，b，c的值分别是（ ）
A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10
4．（2019秋•苏州期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x+2＝3B．x+y＝1C．x2﹣2x﹣3＝0D．x21
5．（2021•吴中区开学）方程（x+1）2＝1的根为（ ）
A．0或﹣2B．﹣2C．0D．1或﹣1
二．填空题（共3小题）
6．（2018春•商南县期末）若（x﹣1）2＝4，则x＝ ．
7．（2018春•西城区期末）将一元二次方程x2+8x+13＝0通过配方转化成（x+n）2＝p的形式（n，p为常数），则n＝ ，p＝ ．
8．（2016•江阴市校级开学）如果（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝ ．
三．解答题（共9小题）
9．（真题•沭阳县期末）解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0． （2）8（x+1）3＝27．
10．（真题•新北区校级期中）用恰当的方法解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0； （2）x2+4x﹣1＝0；
（3）x2﹣3x﹣2＝0； （4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
11．（真题•南京期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）100（x﹣1）2＝121．
12．（2022•常州模拟）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0； （2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．
13．（2016秋•盐都区期末）
（1）解方程：（x+1）2＝9； （2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
14．（2021•吴中区开学）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0； （2）（x+1）2＝2（x+1）．
15．（2018秋•武进区校级期末）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6＝0．
16．（2018秋•京口区校级月考）（阅读理解题）阅读材料，解答问题：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，然后设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．当y1＝1时，x2﹣1＝1．所以x2＝2．所以x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4．所以x2＝5．所以x＝±，故原方程的解为x1，x2，x3，x4；上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）已知方程x2﹣2x﹣3，若设x2﹣2x＝a，那么原方程可化为 （结果化成一般式）
（2）请利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．
17．（真题•饶平县校级期中）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：
例：解方程：．
解：设（t≥0）
∴原方程化为2t﹣3＝0
∴
而
∴
∴
请利用上面的方法，解出下面两个方程：
（1）（2）
苏科版数学暑假新九年级讲义
第01讲一元二次方程的定义与解法（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
二．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
三．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
四．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
五．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
六．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
七．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
八．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
九．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
十．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
【考点剖析】
一．一元二次方程的定义（共3小题）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x
C．5x2﹣4＝0D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断．
【解答】解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
∴A选项不是整式方程，不符合题意；
B选项化简，得x﹣1＝0，不含有2次项，
∴B选项不符合题意；
C选项符合题意；
D选项当a＝0时，不含有2次项，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
2．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：|m|+1＝2，m﹣1≠0，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
3．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1＝1或m+1＝0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m＝1，此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2；
（2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x．
当m2+1＝0时，方程无解．
【点评】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉m2+1＝1的情况．
二．一元二次方程的一般形式（共4小题）
4．一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
【解答】解：2x2﹣1＝4x，
移项得：2x2﹣4x﹣1＝0，
即一次项系数是﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），②找项的系数带着前面的符号．
5．一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1、0B．1、3C．1、﹣3D．﹣1、﹣3
【分析】根据方程的特点和二次项系数、一次项系数的意义找出即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别为1，﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c都是常数，且a≠0），说系数时要带着前面的符号．
6．将方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是 2x2+x﹣1＝0 ．
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再移项，合并同类项，最后得出答案即可．
【解答】解：2（x﹣1）2＝3﹣5x，
2x2﹣4x+2＝3﹣5x，
2x2﹣4x+2﹣3+5x＝0，
2x2+x﹣1＝0，
即方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是2x2+x﹣1＝0，
故答案为：2x2+x﹣1＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
7．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
三．一元二次方程的解（共5小题）
8．若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣12
【分析】将x＝a代入方程x2+2x﹣4＝0，求出a2+2a＝4，再代入所求代入式即可．
【解答】解：∵a为方程x2+2x﹣4＝0的解，
∴a2+2a﹣4＝0，
∴a2+2a＝4，
∴a2+2a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
9．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）+5＝ 6 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2a2﹣7a＝1，再去括号得到a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．关于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，则m+n的值为 5 ．
【分析】把x＝m代人整理后即可求得答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，
∴m2+mn﹣5m＝0，
∴m（m+n）＝5m，
∴m+n＝5，
故答案为：5．
【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是代人后正确的变形，难度不大．
11．若关于x，y的二元一次方程组的解x＞0，y＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）若x是一个直角三角形的直角边长，y是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程m2﹣8m+16＝0的解，求这个直角三角形的面积．
【分析】（1）通过解方程组得到，然后解不等式组即可；
（2）利用勾股定理得到（a+1）2+16＝（3a﹣1）2，解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，从而得到x的值，然后计算三角形的面积．
【解答】解：（1）解方程组得，
∴，
解得a；
（2）解方程m2﹣8m+16＝0得m1＝m2＝4，
根据题意得x2+42＝y2，
即（a+1）2+16＝（3a﹣1）2，
整理得a2﹣a﹣2＝0，解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，
∴a＝2，
∴x＝a+1＝3，
∴这个直角三角形的面积3×4＝6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解二元一次方程组和不等式组．
12．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．
【分析】（1）利用有一个根为﹣1的一元二次方程为“凤凰方程”对一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程进行判断；
（2）根据“凤凰方程“的定义得到2+m﹣n＝0①，再把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0，然后消去n得到m的一元二次方程，最后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）是．
理由如下：
当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程；
（2）根据题意得2+m﹣n＝0①，
把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，
②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1，
即m的值为2或﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）
13．（真题•盐都区期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝5B．x1＝5，x2＝﹣5C．x1＝x2＝﹣5D．x1＝x2＝25
【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．
【解答】解：x2﹣25＝0，
则x2＝25，
解得：x1＝5，x2＝﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
14．（真题•东台市期中）解方程：2x2＝6．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：2x2＝6，
x2＝3，
∴x，
∴x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
15．（真题•邗江区校级月考）求满足条件的x值：
（1）3（x﹣1）2＝12；
（2）x2﹣3＝5．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12，
∴（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2﹣3＝5，
∴x2＝8，
∴x，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．（2018秋•鼓楼区期末）求4x2﹣25＝0中x的值．
【分析】先移项，把方程化为x2＝a的形式再直接开平方．
【解答】解：移项，得4x2＝25，
系数化为1，得x2，
开平方，得x＝±．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开方法，法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
五．解一元二次方程-配方法（共3小题）
17．（真题•香洲区期末）解方程：x2﹣4x+1＝0（配方法）．
【分析】方程常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
开方得：x﹣2＝±，
则x1＝2，x2＝2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用配方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
18．（2022•碑林区校级三模）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0
x2﹣2x0
x2﹣2x+11
（x﹣1）2
∴x1＝1，x2＝1．
【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
19．（2019秋•榕城区期中）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1．
【分析】利用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：二次项系数化为1，得x2﹣2x，
配方得x2﹣2x+11，
即（x﹣1）2，
开方得：x﹣1＝±，
∴x1＝1，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
六．解一元二次方程-公式法（共3小题）
20．（2019•合浦县二模）解方程：x2+3x﹣2＝0．
【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣2）＝17，
∴x，
∴x1，x2．
【点评】本题考查解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
21．（2019•鼎城区模拟）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】利用公式法解方程即可求解．
【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝9+8＝17＞0，
∴x，
x1，x2．
【点评】此题这样考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键 是熟练掌握求根公式即可解决问题．
22．（2019•常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0；
∴x
，
∴x1，x2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于任何一元二次方程．
七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
23．（真题•广陵区期末）解方程：
（1）x2+5x+4＝0．
（2）4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+5x+4＝0，
∴（x+1）（x+4）＝0，
则x+1＝0或x+4＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣1；
（2）∵4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（4x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或4x﹣1＝0，
解得x1＝2，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
24．（真题•泗阳县期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．
【分析】（1）将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴（x﹣6）（x+2）＝0，
则x﹣6＝0或x+2＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2；
（2）∵x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），
∴x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
八．换元法解一元二次方程（共3小题）
25．（2022春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
【分析】设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，即可求解．
【解答】解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z1＝4，z2＝﹣2，
即 x2+y2＝4或 x2+y2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴x2+y2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
26．（真题•山亭区期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则a2+b2＝ 3 ．
【分析】设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y2﹣2y﹣3＝0，可得y1＝3，y2＝﹣1，即可求解．
【解答】解：设 a2+b2＝y，则原方程换元为 y2﹣2y﹣3＝0，
∴（y﹣3）（y+1）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1，
即 a2+b2＝3或 a2+b2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
27．（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【分析】（1）利用材料中的因式分解法解该方程；
（2）设t＝m2+n2（t≥0），将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程求得t的值即可．
【解答】解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0
∴x＝0或3x﹣1＝0
解得：x1＝0，x2；
（2）t＝m2+n2（t≥0），则由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．
整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．
所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．
即m2+n2的值是3．
【点评】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2019•怀集县一模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．
【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
2．（2019秋•竞秀区期末）将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x+4）2＝7B．（x+4）2＝25C．（x+4）2＝﹣9D．（x+8）2＝7
【分析】先移项得到x2+8x＝﹣9，然后把方程作边利用完全平方公式变形得到（x+4）2＝7即可．
【解答】解：x2+8x＝﹣9，
x2+8x+16＝7，
（x+4）2＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．（真题•顺德区月考）把一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式，则a，b，c的值分别是（ ）
A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．
【解答】解：将一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式有：x2﹣3x+10＝0，
故a＝1，b＝﹣3，c＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于基础题，注意一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．（2019秋•苏州期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x+2＝3B．x+y＝1C．x2﹣2x﹣3＝0D．x21
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、原方程为一元一次方程，不符合题意；
B、原方程为二元一次方程，不符合题意；
C、原方程为一元二次方程，符合题意；
D、原方程为分式方程，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
5．（2021•吴中区开学）方程（x+1）2＝1的根为（ ）
A．0或﹣2B．﹣2C．0D．1或﹣1
【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x+1）2＝1，
开方，得x+1＝±1，
解得：x1＝0，x2＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
二．填空题（共3小题）
6．（2018春•商南县期末）若（x﹣1）2＝4，则x＝ 3或﹣1 ．
【分析】把x﹣1看作整体直接开方后再计算即可求解．
【解答】解：x﹣1＝±2
x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2
x＝3或x＝﹣1．
【点评】主要考查直接开平方法解方程．要注意整体思想的运用．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
7．（2018春•西城区期末）将一元二次方程x2+8x+13＝0通过配方转化成（x+n）2＝p的形式（n，p为常数），则n＝ 4 ，p＝ 3 ．
【分析】依据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得．
【解答】解：∵x2+8x+13＝0，
∴x2+8x＝﹣13，
则x2+8x+16＝﹣13+16，即（x+4）2＝3，
∴n＝4、p＝3，
故答案为：4、3．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．（2016•江阴市校级开学）如果（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝ 2 ．
【分析】设y＝a2+b2，将已知方程整理为关于y的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解得到y的值，即可确定出a2+b2的值．
【解答】设y＝a2+b2，原方程化为y2﹣y﹣2＝0，
分解因式得：（y﹣2）（y+1）＝0，
可得y﹣2＝0或y+1＝0，
解得：y＝2或y＝﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2的值为2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
三．解答题（共9小题）
9．（真题•沭阳县期末）解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0．
（2）8（x+1）3＝27．
【分析】（1）先变形得到（x﹣1）2＝9，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形得到（x+1）3，根据立方根的定义得到x+1，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
所以x1＝4，x2＝﹣2；
（2）（x+1）3，
x+1，
所以x．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了立方根．
10．（真题•新北区校级期中）用恰当的方法解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）x2+4x﹣1＝0；
（3）x2﹣3x﹣2＝0；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）利用公式法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣9＝0，
（x﹣3+3）（x﹣3﹣3）＝0，
x﹣3+3＝0或x﹣3﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝6；
（2）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±，
所以x12，x22；
（3）x2﹣3x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∵Δ＝9﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1），
（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+3﹣5）＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x+3﹣5＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，在解答此类问题时要根据方程的特点选择适当的方法求解．
11．（真题•南京期末）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）100（x﹣1）2＝121．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先求出（x﹣1）2的值，然后利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x﹣+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2或x﹣2，
∴x1＝2，x2＝2；
（2）（x﹣1）2＝1.21，
开平方得，x﹣1＝±1.1，
∴x﹣1＝1.1或x﹣1＝﹣1.1，
∴x1＝2.1，x2＝﹣0.1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
12．（2022•常州模拟）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣45＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．
【分析】（1）将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣45＝0，
∴（x﹣9）（x+5）＝0，
则x﹣9＝0或x+5＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣5；
（2）∵x（x+4）＝﹣3（x+4），
∴x（x+4）+3（x+4）＝0，
则（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
13．（2016秋•盐都区期末）（1）解方程：（x+1）2＝9；
（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：（1）两边开方得：x+1＝±3，
解得：x1＝2，x2＝﹣4；
（2）这里a＝1，b＝﹣4，c＝2，
b2﹣4ac＝8＞0，
x2±，
即x1＝2，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
14．（2021•吴中区开学）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0；
（2）（x+1）2＝2（x+1）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2﹣4＝0，
∴（x﹣1）2＝4，
则x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣1）＝0，
则x+1＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．（2018秋•武进区校级期末）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6＝0．
【分析】（1）用一个字母表示一个较复杂的代数式的方法叫换元法．
（2）用y代替x2+3x即可．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
故答案是：换元；
（2）设x2+3x＝y，原方程可化为y2+5y﹣6＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣6．
由x2+3x＝1，得x1，x2．
由x2+3x＝﹣6，得方程x2+3x+6＝0，
△＝9﹣4×6＝﹣15＜0，此方程无解．
所以原方程的解为x1，x2．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
16．（2018秋•京口区校级月考）（阅读理解题）阅读材料，解答问题：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，然后设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．当y1＝1时，x2﹣1＝1．所以x2＝2．所以x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4．所以x2＝5．所以x＝±，故原方程的解为x1，x2，x3，x4；上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）已知方程x2﹣2x﹣3，若设x2﹣2x＝a，那么原方程可化为 a2﹣3a﹣1＝0 （结果化成一般式）
（2）请利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．
【分析】（1）将原方程中的x2﹣2x换为a，然后转化成关于a的一元二次方程的一般形式即可；
（2）设x2+2x＝y，然后解关于y的方程；再根据y值解关于x的方程．
【解答】解：（1）根据题意，得
a﹣3，
∴1＝a2﹣3a，
即a2﹣3a﹣1＝0；
（2）设x2+2x＝y，原方程化为y2﹣y﹣6＝0，
整理，得（y﹣3）（y+2）＝0，
解得y＝3或y＝﹣2
当y＝3时，即x2+2x＝3，解得x＝1或x＝﹣3；
当y＝﹣2时，即x2+2x＝﹣2，方程无解．
综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题．如（1）题就是把一元四次方程转化为一元二次方程．
17．（真题•饶平县校级期中）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：
例：解方程：．
解：设（t≥0）
∴原方程化为2t﹣3＝0
∴
而
∴
∴
请利用上面的方法，解出下面两个方程：
（1）（2）
【分析】（1）设t，将原方程转化为一元二次方程再解即可；
（2）设t（t≥0），原方程化为t2+t﹣2＝0，求解即可．
【解答】解：（1）设t，
将原方程转化为t2+2t﹣8＝0，
解得，t1＝2，t2＝﹣4，
而t＝2＞0，
∴2，
∴x＝4；
（2）设t（t≥0），
∴原方程化为t2+t﹣2＝0，
解得t1＝1，t2＝﹣2，
而t＝1＞0，
∴1，
∴x＝5．
【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．