还剩30页未读，
继续阅读
所属成套资源：苏科版九年级数学暑假练习(学生版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
苏科版九年级数学暑假第02讲根的判别式、根与系数关系练习(学生版+解析)
展开
这是一份苏科版九年级数学暑假第02讲根的判别式、根与系数关系练习(学生版+解析)，共33页。
一．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
二．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【考点剖析】
一．根的判别式（共4小题）
1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝c≠aB．a＝b≠cC．a＝c≠bD．a＝b＝c
3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
二．根与系数的关系（共6小题）
5．（真题•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
6．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是 ．
7．（真题•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．
8．（真题•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．
9．（真题•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）
11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔 支．
12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是 ．
13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（ ）
A．Δ＞0B．Δ＝0C．Δ＜0D．无法确定
2．（真题•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
3．（真题•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
4．（真题•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（ ）
A．m＜b＜n＜cB．b＜m＜n＜cC．m＜n＜b＜cD．m＜b＜c＜n
5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（ ）
A．11B．12
C．m有无数个解D．13
二．填空题（共10小题）
6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝ ，q＝ ．
7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ．
8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝ ．
9．（真题•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为 ．
10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
11．（真题•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝ ．
12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝ ．
13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是 ．
14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为 ．
15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是 ．
三．解答题（共9小题）
16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
17．（真题•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．
18．（真题•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．
19．（真题•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．
20．（真题•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．
21．（真题•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：
（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．
（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
22．（真题•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．
（1）当k＝2时，求方程的根；
（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．
23．（真题•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．
24．（真题•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ ；
（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．
第02讲根的判别式、根与系数关系（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
二．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【考点剖析】
一．根的判别式（共4小题）
1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）
＝49+8
＝57
＞0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝c≠aB．a＝b≠cC．a＝c≠bD．a＝b＝c
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝0，再把b＝﹣（a+c）代入得到（a+c）2﹣4ac＝0，所以a＝c，b＝﹣2a，由于a≠0，则a≠b，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∵a+b+c＝0，
即b＝﹣（a+c），
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
∴b＝﹣2a，
而a≠0，
∴a≠b．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，
∴（m﹣2）2，
∵（m﹣2）2≥0，
∴0，
∴c的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
【分析】（1）通过计算Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2，由偶次方的非负性可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可得该方程由两个相等的实数根，结合根的判别式可求解k值，再将k值代入方程，得到x2﹣4x+4＝0，解方程求出两腰的长为2，又已知底边是3，则根据三角形的周长公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形的底边长3，
∴另两边长即为等腰三角形的腰长，
∵另两边长恰好是这个方程的两根，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，
解得k＝1，
将k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
此时△ABC三边为3，2，2；
所以周长为3+2+2＝7．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及三角形的周长，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
二．根与系数的关系（共6小题）
5．（真题•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
【分析】根据根与系数的关系x1+x2代入计算可得．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，
∴x1+x22，
故选：B．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
6．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是 ﹣4 ．
【分析】设另一个根为a，利用根与系数的关系求出a的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，另一个根为a，
∴2+a＝﹣2，
解得：a＝﹣4，
则另一根是﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
7．（真题•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．
【分析】利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证．
【解答】证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，
∴当b2﹣4ac≥0时，x1，x2，
则x1+x2，
x1•x2•．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，则有x1+x2，x1•x2．
8．（真题•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；
（2）将x＝﹣1代入原方程可求出m的值，进而可得出原方程为x2﹣4x﹣5＝0，设另一根为x1，利用根与系数的关系可得出关于x1的方程，解之即可求出x1的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0，
解得：m≤4，
∴实数m的取值范围为m≤4．
（2）把x＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m＝0，
解得：m＝﹣5，
∴原方程为x2﹣4x﹣5＝0．
设另一根为x1，则x1+（﹣1）＝4，
∴x1＝5，
∴m的值为﹣5，方程的另一根为5．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“两根之和等于，两根之积等于”．
9．（真题•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ＞0，进而得到结论；
（2）根据根与系数的关系即可即可得到结论．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝k2+8，
∵不论k取何实数，k2≥0，
∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为β，
∴2β＝﹣2，
∴β＝﹣1，
∴另一个根为﹣1．
【点评】此题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2，x1•x2，
∴|x1﹣x2|1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2，x1•x2，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|1，即1，
∴b2＝a2+4a．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）
11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔 40或90 支．
【分析】根据题意，求出降价前后的一支铅笔的价格，然后再根据题意列出二元一次方程；最后根据x、y的取值范围来解答．
【解答】解：y元买了x只铅笔，则每只铅笔元；降价20%后，每只铅笔的价格是 （1﹣20%），即，依题意得：（x+10）＝4
∴y（x+10）＝5x
∴x
∴5﹣y＞0，即y＜5；
又∵x、y均是正整数，
∴y的取值为1，2，3，4；∴y只能取3和4；
①当y＝3时，x，即x＝15，
小明两次共买了铅笔：15+15+10＝40（支）
②当y＝4时，x，即x＝40，
小明两次共买了铅笔：40+（40+10）＝90（支）
故答案为：40或90．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用及一元二次方程的整数根．解答此题时，要根据一元二次方程x的y的取值范围及生活实际中的y的取值范围来确定x的值．
12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是 0或1或7 ．
【分析】利用根与系数的关系，得出方程的根，在进行分析得出整数解．
【解答】解：当r＝0时，方程为﹣7x+7＝0显然符合题意
当r≠0时，x1+x2
x1x2，
∴x1x2﹣（x1+x2）＝﹣1
（x1﹣1）（x2﹣1）＝0
∴x1＝1，x2＝1．
可知方程必有一根为1，则另一根为1，是正整数，
∴r是7的正约数，即r＝7或1，
∴r＝7，0，1
故填：7或0或1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的应用，题目比较新颖．
13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．
【分析】（1）解出方程x2x﹣1＝0，即可得出结论；
（2）先求出b2﹣4ac＝4m+29，再利用“全整方程”判断出4m+29是完全平方数，即可得出结论．
【解答】解（1）是，理由：
∵解方程x2x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝3，
∴两个根均为整数，满足定义，
∴方程为“全整方程”，
∴T（a，b，c）；
（2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，
∴b2﹣4ac＝4m+29，
∵5＜m＜22，
即：49＜4m+29＜117，
∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”，
∴b2﹣4ac是完全平方数，
即4m+29是完全平方数，
∴4m+29＝64或81或100，
∵m为整数，
∴m（舍去），m＝13，m（舍去），
即原方程为x2﹣23x+112＝0，
∴T（a，b，c）．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的方法，完全平方数的特征，判断出49＜4m+29＜117是解本题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（ ）
A．Δ＞0B．Δ＝0C．Δ＜0D．无法确定
【分析】先将x＝1代入方程得出a+b＝0，再依据判别式Δ＝b2﹣4ac计算可得．
【解答】解：将x＝1代入方程，得：a﹣2a﹣b＝0，
则a+b＝0，
Δ＝（﹣2a）2﹣4a•（﹣b）＝4a2+4ab＝4a（a+b）＝0，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
2．（真题•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝4﹣4a＞0且a≠0，
解得a＜1且a≠0，
则a的最大整数值是﹣1．
故选：D．
【点评】考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
3．（真题•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】先把方程化为一般式，然后进行判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：方程整理得，x2﹣x+2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（真题•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（ ）
A．m＜b＜n＜cB．b＜m＜n＜cC．m＜n＜b＜cD．m＜b＜c＜n
【分析】画出函数y（x﹣b）（x﹣c）与函数y＝x+1的图象，根据图象可得结论．
【解答】解：由题意，画出函数y（x﹣b）（x﹣c）与函数y＝x+1的图象如图，
∴抛物线开口向下，与x轴的交点为（b，0），（c，0），函数y＝x+1随x的增大而增大，且经过点（﹣1，0），
∵方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，
∴两函数的交点的横坐标为m和n，
∵m＜n．b＜﹣1＜0＜c，
由图象可知，m＜b＜n＜c，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及一元二次方程的关系，利用数形结合的思想解决问题，注意理解“函数y（x﹣b）（x﹣c）与函数y＝x+1交点的横坐标为m和n”，结合图象得出结论．
5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（ ）
A．11B．12
C．m有无数个解D．13
【分析】由题意得m≠0，若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有理根，则△≥0，并且△为有理数的平方．而△＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，再由m满足6＜m＜20，确定出△的范围，即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，
又∵6＜m＜20，
∴25＜4m+1＜81，
∵如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，
∴△为有理数的平方，
∴有无数个有理数m，使（4m+1）是有理数的平方，（如△＝6或7或8或30.25或36或37.21或42.25等），
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程有理根的判断方法，掌握判别式是有理数的平方，此一元二次方程的根是有理数是解本题的关键．
二．填空题（共10小题）
6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝ 5 ，q＝ 4 ．
【分析】由根与系数的关系可得出关于p与q的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，
∴﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×（﹣1）＝q，
∴p＝5，q＝4．
故答案为：5；4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2．根据根与系数的关系得出﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×（﹣1）＝q是解题的关键．
7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ﹣2 ．
【分析】根据已知等式得到x，y为一元二次方程a2﹣4a+3＝0的两根，利用根与系数的关系求出x+y与xy的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，
∴x，y为方程a2﹣4a+3＝0的两根，
∴x+y＝4，xy＝3，
则原式＝4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝ ﹣10 ．
【分析】先利用根与系数的关系得﹣1+3，﹣1×3，则可分别求出m、n的值，然后计算它们的和即可．
【解答】解：根据根与系数的关系得﹣1+3，﹣1×3，
解得m＝﹣4，n＝﹣6，
所以m+n＝﹣4﹣6＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．
9．（真题•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为 5 ．
【分析】由根与系数的关系可直接求得x1+x2的值．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝5，
故答案为5．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝ 1 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝3，
所以x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
11．（真题•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝ 1或2 ．
【分析】由一元二次方程的定义可得出a≠0，因式分解法得到（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，再根据正整数解的定义，即可求出正整数a的值．
【解答】解：∵方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
2ax2﹣（a+4）x+2＝0，
（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，
解得x1，x2，
∵关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，
∴正整数a＝1或2．
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程有一个正整数解确定a的值是难点．
12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝ 1 ．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0；根据根与系数的关系得到：αβ＝1，然后将其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）进行求值即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程解和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是 4 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2即可直接得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1•x2＝3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2．
14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为 0或±1 ．
【分析】①当k＝0时，此方程为一元一次方程，求解判断即可得出结论；
②当k≠0时，此方程为一元二次方程，先用判别式判断出k为非0实数，然后利用根与系数的关系，即可得出结论．
【解答】解：①当k＝0时，原方程可化为﹣x+2＝0，
∴x＝2，此种情况符合题意；
②当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0有根，
∴△＝[﹣（3k+1）]2﹣4k（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴k为非0实数，
设关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0的两根为x1，x2，
根据根与系数的关系得，x1+x23，x1x22，
∵关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数，
∴x1+x2，x1x2也是整数，
∴和也是整数，
∵k为整数，
∴k＝±1，
即满足条件的k为0或±1，
故答案为0或±1．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，用分类讨论的思想是解本题的关键．
15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是 1 ．
【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定出m的范围，进而求出m的值，最后，将m代入方程中，求出方程的解判断即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0有实数根，
∴△＝16﹣16m≥0，且m≠0，∴m≤1且m≠0，
∵关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0有实数根，
∴△＝16m2﹣4（4m2﹣4m﹣5）＝16m+20≥0，
∴m，
∴m≤1且m≠0，
∵m为整数，
∴m＝﹣1或m＝1，
当m＝1时，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即为x2﹣4x+4＝0，解得，x1＝x2＝2，
一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，即为x2﹣4x﹣5＝0，解得，x1＝5，x2＝﹣1，
两方程的解都为整数，符合题意，
当m＝﹣1时，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即为x2+4x﹣4＝0，解得，x2±2，方程的解不是整数，不符合题意，
即满足条件的整数m的值为1，
故答案为1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的意义，根的判别式，解一元二次方程，确定出m的范围是解本题的关键．
三．解答题（共9小题）
16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1．
当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，
解得：k＝12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，
解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．
答：k的值为12或3．
【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用勾股定理，找出关于k的方程．
17．（真题•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的两个根，结合方程有一根小于2，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝2k﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，即[x﹣（k﹣1）]（x﹣2）＝0，
∴x1＝2，x2＝k﹣1，
又∵方程有一个根小于2，
∴k﹣1＜2，
∴k＜3，
即k的取值范围为k＜3．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两根．
18．（真题•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．
【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把（x1﹣x2）2转化成（x1+x2）2﹣4x1x2，再代入求解即可．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．
∵无论m为任何实数，（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0．
∴无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x1﹣x2＝2可得（x1﹣x2）2＝4，
∵x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝2m﹣1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8，
即m2﹣4m+8＝4，
解得m1＝m2＝2，
答：当x1﹣x2＝2时，m的值是2．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
19．（真题•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣2）2≥0，进而可证出：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）将x＝1代入原方程可求出m的值，再利用两根之积等于，即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m．
∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：将x＝1代入原方程得：1﹣（m+2）+2m＝0，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣3x+2＝0．
∵2÷1＝2，
∴方程的另一个根为2．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记两根之积等于．
20．（真题•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（a﹣2）2≥0，进而可证出：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；
（2）代入x＝2可求出m值，再利用两根之积等于可求出方程的另一根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个实数根；
（2）解：将x＝2代入原方程得：4+2a+a﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，
∴原方程为x2﹣x﹣2＝0，
∴方程的另一根为﹣2÷2＝﹣1，
∴a的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记两根之积等于．
21．（真题•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：
（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．
（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
【分析】（1）根据新运算得出3（x+1）2+3＝15，解之可得到答案；
（2）由2★a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．
【解答】解：（1）∵（x+1）★3＝15，
∴3（x+1）2+3＝15，即（x+1）2＝4，
解得：x1＝1，x2＝﹣3；
（2）∵2★a的值小于0，
∴22a+a＝5a＜0，
解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a＝0中，
∵Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键．
22．（真题•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．
（1）当k＝2时，求方程的根；
（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）把k＝2代入x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0，得到x2﹣6x+8＝0，解之可得．
（2）根据根的判别式求出Δ的值，再进行判断即可．
【解答】解：（1）解：当k＝2时，则方程：x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得x1＝4，x2＝2．
（2）证明：∵Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4（k2+2k）＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
23．（真题•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．
【分析】（1）先计算出Δ＝（k﹣1）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝k+3，x1x2＝2k+2，由x1+x2﹣3x1x2＝2得出k+3﹣3（2k+2）＝2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k+3，x1x2＝2k+2，
∵x1+x2﹣3x1x2＝2，
∴k+3﹣3（2k+2）＝2，
解得：k＝1．
故k的值是1．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2，反过来也成立．
24．（真题•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ 18 ；
（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．
【分析】（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．
（4）根据定义可求出n＝2m或nm，代入原式后即可求出答案；
【解答】解：（1）由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣9x+c＝0的解，
∴m+2m＝9，m•2m＝c，
∴m＝3，c＝18，
故答案为18；
（2）由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和x，
∴2或，
当n＝2m时，0，
当nm时，；
故代数式的值0或．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义，本题属于中等题型．
一．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
二．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【考点剖析】
一．根的判别式（共4小题）
1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝c≠aB．a＝b≠cC．a＝c≠bD．a＝b＝c
3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
二．根与系数的关系（共6小题）
5．（真题•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
6．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是 ．
7．（真题•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．
8．（真题•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．
9．（真题•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）
11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔 支．
12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是 ．
13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（ ）
A．Δ＞0B．Δ＝0C．Δ＜0D．无法确定
2．（真题•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
3．（真题•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
4．（真题•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（ ）
A．m＜b＜n＜cB．b＜m＜n＜cC．m＜n＜b＜cD．m＜b＜c＜n
5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（ ）
A．11B．12
C．m有无数个解D．13
二．填空题（共10小题）
6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝ ，q＝ ．
7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ．
8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝ ．
9．（真题•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为 ．
10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
11．（真题•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝ ．
12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝ ．
13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是 ．
14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为 ．
15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是 ．
三．解答题（共9小题）
16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
17．（真题•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．
18．（真题•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．
19．（真题•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．
20．（真题•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．
21．（真题•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：
（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．
（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
22．（真题•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．
（1）当k＝2时，求方程的根；
（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．
23．（真题•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．
24．（真题•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ ；
（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．
第02讲根的判别式、根与系数关系（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
二．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【考点剖析】
一．根的判别式（共4小题）
1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）
＝49+8
＝57
＞0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．b＝c≠aB．a＝b≠cC．a＝c≠bD．a＝b＝c
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝0，再把b＝﹣（a+c）代入得到（a+c）2﹣4ac＝0，所以a＝c，b＝﹣2a，由于a≠0，则a≠b，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∵a+b+c＝0，
即b＝﹣（a+c），
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
∴b＝﹣2a，
而a≠0，
∴a≠b．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，
∴（m﹣2）2，
∵（m﹣2）2≥0，
∴0，
∴c的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
【分析】（1）通过计算Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2，由偶次方的非负性可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可得该方程由两个相等的实数根，结合根的判别式可求解k值，再将k值代入方程，得到x2﹣4x+4＝0，解方程求出两腰的长为2，又已知底边是3，则根据三角形的周长公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形的底边长3，
∴另两边长即为等腰三角形的腰长，
∵另两边长恰好是这个方程的两根，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，
解得k＝1，
将k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
此时△ABC三边为3，2，2；
所以周长为3+2+2＝7．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及三角形的周长，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
二．根与系数的关系（共6小题）
5．（真题•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
【分析】根据根与系数的关系x1+x2代入计算可得．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，
∴x1+x22，
故选：B．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
6．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是 ﹣4 ．
【分析】设另一个根为a，利用根与系数的关系求出a的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，另一个根为a，
∴2+a＝﹣2，
解得：a＝﹣4，
则另一根是﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
7．（真题•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．
【分析】利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证．
【解答】证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，
∴当b2﹣4ac≥0时，x1，x2，
则x1+x2，
x1•x2•．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，则有x1+x2，x1•x2．
8．（真题•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；
（2）将x＝﹣1代入原方程可求出m的值，进而可得出原方程为x2﹣4x﹣5＝0，设另一根为x1，利用根与系数的关系可得出关于x1的方程，解之即可求出x1的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0，
解得：m≤4，
∴实数m的取值范围为m≤4．
（2）把x＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m＝0，
解得：m＝﹣5，
∴原方程为x2﹣4x﹣5＝0．
设另一根为x1，则x1+（﹣1）＝4，
∴x1＝5，
∴m的值为﹣5，方程的另一根为5．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“两根之和等于，两根之积等于”．
9．（真题•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ＞0，进而得到结论；
（2）根据根与系数的关系即可即可得到结论．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝k2+8，
∵不论k取何实数，k2≥0，
∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为β，
∴2β＝﹣2，
∴β＝﹣1，
∴另一个根为﹣1．
【点评】此题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2，x1•x2，
∴|x1﹣x2|1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2，x1•x2，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|1，即1，
∴b2＝a2+4a．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）
11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔 40或90 支．
【分析】根据题意，求出降价前后的一支铅笔的价格，然后再根据题意列出二元一次方程；最后根据x、y的取值范围来解答．
【解答】解：y元买了x只铅笔，则每只铅笔元；降价20%后，每只铅笔的价格是 （1﹣20%），即，依题意得：（x+10）＝4
∴y（x+10）＝5x
∴x
∴5﹣y＞0，即y＜5；
又∵x、y均是正整数，
∴y的取值为1，2，3，4；∴y只能取3和4；
①当y＝3时，x，即x＝15，
小明两次共买了铅笔：15+15+10＝40（支）
②当y＝4时，x，即x＝40，
小明两次共买了铅笔：40+（40+10）＝90（支）
故答案为：40或90．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用及一元二次方程的整数根．解答此题时，要根据一元二次方程x的y的取值范围及生活实际中的y的取值范围来确定x的值．
12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是 0或1或7 ．
【分析】利用根与系数的关系，得出方程的根，在进行分析得出整数解．
【解答】解：当r＝0时，方程为﹣7x+7＝0显然符合题意
当r≠0时，x1+x2
x1x2，
∴x1x2﹣（x1+x2）＝﹣1
（x1﹣1）（x2﹣1）＝0
∴x1＝1，x2＝1．
可知方程必有一根为1，则另一根为1，是正整数，
∴r是7的正约数，即r＝7或1，
∴r＝7，0，1
故填：7或0或1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的应用，题目比较新颖．
13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．
（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．
【分析】（1）解出方程x2x﹣1＝0，即可得出结论；
（2）先求出b2﹣4ac＝4m+29，再利用“全整方程”判断出4m+29是完全平方数，即可得出结论．
【解答】解（1）是，理由：
∵解方程x2x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝3，
∴两个根均为整数，满足定义，
∴方程为“全整方程”，
∴T（a，b，c）；
（2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，
∴b2﹣4ac＝4m+29，
∵5＜m＜22，
即：49＜4m+29＜117，
∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”，
∴b2﹣4ac是完全平方数，
即4m+29是完全平方数，
∴4m+29＝64或81或100，
∵m为整数，
∴m（舍去），m＝13，m（舍去），
即原方程为x2﹣23x+112＝0，
∴T（a，b，c）．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的方法，完全平方数的特征，判断出49＜4m+29＜117是解本题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（ ）
A．Δ＞0B．Δ＝0C．Δ＜0D．无法确定
【分析】先将x＝1代入方程得出a+b＝0，再依据判别式Δ＝b2﹣4ac计算可得．
【解答】解：将x＝1代入方程，得：a﹣2a﹣b＝0，
则a+b＝0，
Δ＝（﹣2a）2﹣4a•（﹣b）＝4a2+4ab＝4a（a+b）＝0，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
2．（真题•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝4﹣4a＞0且a≠0，
解得a＜1且a≠0，
则a的最大整数值是﹣1．
故选：D．
【点评】考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
3．（真题•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】先把方程化为一般式，然后进行判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：方程整理得，x2﹣x+2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（真题•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（ ）
A．m＜b＜n＜cB．b＜m＜n＜cC．m＜n＜b＜cD．m＜b＜c＜n
【分析】画出函数y（x﹣b）（x﹣c）与函数y＝x+1的图象，根据图象可得结论．
【解答】解：由题意，画出函数y（x﹣b）（x﹣c）与函数y＝x+1的图象如图，
∴抛物线开口向下，与x轴的交点为（b，0），（c，0），函数y＝x+1随x的增大而增大，且经过点（﹣1，0），
∵方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，
∴两函数的交点的横坐标为m和n，
∵m＜n．b＜﹣1＜0＜c，
由图象可知，m＜b＜n＜c，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及一元二次方程的关系，利用数形结合的思想解决问题，注意理解“函数y（x﹣b）（x﹣c）与函数y＝x+1交点的横坐标为m和n”，结合图象得出结论．
5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（ ）
A．11B．12
C．m有无数个解D．13
【分析】由题意得m≠0，若关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有理根，则△≥0，并且△为有理数的平方．而△＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，再由m满足6＜m＜20，确定出△的范围，即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，
又∵6＜m＜20，
∴25＜4m+1＜81，
∵如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，
∴△为有理数的平方，
∴有无数个有理数m，使（4m+1）是有理数的平方，（如△＝6或7或8或30.25或36或37.21或42.25等），
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程有理根的判断方法，掌握判别式是有理数的平方，此一元二次方程的根是有理数是解本题的关键．
二．填空题（共10小题）
6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝ 5 ，q＝ 4 ．
【分析】由根与系数的关系可得出关于p与q的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，
∴﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×（﹣1）＝q，
∴p＝5，q＝4．
故答案为：5；4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2．根据根与系数的关系得出﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×（﹣1）＝q是解题的关键．
7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ﹣2 ．
【分析】根据已知等式得到x，y为一元二次方程a2﹣4a+3＝0的两根，利用根与系数的关系求出x+y与xy的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，
∴x，y为方程a2﹣4a+3＝0的两根，
∴x+y＝4，xy＝3，
则原式＝4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝ ﹣10 ．
【分析】先利用根与系数的关系得﹣1+3，﹣1×3，则可分别求出m、n的值，然后计算它们的和即可．
【解答】解：根据根与系数的关系得﹣1+3，﹣1×3，
解得m＝﹣4，n＝﹣6，
所以m+n＝﹣4﹣6＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．
9．（真题•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为 5 ．
【分析】由根与系数的关系可直接求得x1+x2的值．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝5，
故答案为5．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝ 1 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝3，
所以x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
11．（真题•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝ 1或2 ．
【分析】由一元二次方程的定义可得出a≠0，因式分解法得到（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，再根据正整数解的定义，即可求出正整数a的值．
【解答】解：∵方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
2ax2﹣（a+4）x+2＝0，
（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，
解得x1，x2，
∵关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，
∴正整数a＝1或2．
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程有一个正整数解确定a的值是难点．
12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝ 1 ．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0；根据根与系数的关系得到：αβ＝1，然后将其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）进行求值即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程解和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是 4 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2即可直接得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1•x2＝3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2．
14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为 0或±1 ．
【分析】①当k＝0时，此方程为一元一次方程，求解判断即可得出结论；
②当k≠0时，此方程为一元二次方程，先用判别式判断出k为非0实数，然后利用根与系数的关系，即可得出结论．
【解答】解：①当k＝0时，原方程可化为﹣x+2＝0，
∴x＝2，此种情况符合题意；
②当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0有根，
∴△＝[﹣（3k+1）]2﹣4k（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴k为非0实数，
设关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0的两根为x1，x2，
根据根与系数的关系得，x1+x23，x1x22，
∵关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数，
∴x1+x2，x1x2也是整数，
∴和也是整数，
∵k为整数，
∴k＝±1，
即满足条件的k为0或±1，
故答案为0或±1．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，用分类讨论的思想是解本题的关键．
15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是 1 ．
【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定出m的范围，进而求出m的值，最后，将m代入方程中，求出方程的解判断即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0有实数根，
∴△＝16﹣16m≥0，且m≠0，∴m≤1且m≠0，
∵关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0有实数根，
∴△＝16m2﹣4（4m2﹣4m﹣5）＝16m+20≥0，
∴m，
∴m≤1且m≠0，
∵m为整数，
∴m＝﹣1或m＝1，
当m＝1时，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即为x2﹣4x+4＝0，解得，x1＝x2＝2，
一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，即为x2﹣4x﹣5＝0，解得，x1＝5，x2＝﹣1，
两方程的解都为整数，符合题意，
当m＝﹣1时，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即为x2+4x﹣4＝0，解得，x2±2，方程的解不是整数，不符合题意，
即满足条件的整数m的值为1，
故答案为1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的意义，根的判别式，解一元二次方程，确定出m的范围是解本题的关键．
三．解答题（共9小题）
16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1．
当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2，
解得：k＝12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52，
解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）．
答：k的值为12或3．
【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用勾股定理，找出关于k的方程．
17．（真题•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的两个根，结合方程有一根小于2，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝2k﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，即[x﹣（k﹣1）]（x﹣2）＝0，
∴x1＝2，x2＝k﹣1，
又∵方程有一个根小于2，
∴k﹣1＜2，
∴k＜3，
即k的取值范围为k＜3．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两根．
18．（真题•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．
【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把（x1﹣x2）2转化成（x1+x2）2﹣4x1x2，再代入求解即可．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．
∵无论m为任何实数，（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0．
∴无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x1﹣x2＝2可得（x1﹣x2）2＝4，
∵x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝2m﹣1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8，
即m2﹣4m+8＝4，
解得m1＝m2＝2，
答：当x1﹣x2＝2时，m的值是2．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
19．（真题•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣2）2≥0，进而可证出：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）将x＝1代入原方程可求出m的值，再利用两根之积等于，即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m．
∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：将x＝1代入原方程得：1﹣（m+2）+2m＝0，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣3x+2＝0．
∵2÷1＝2，
∴方程的另一个根为2．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记两根之积等于．
20．（真题•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（a﹣2）2≥0，进而可证出：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；
（2）代入x＝2可求出m值，再利用两根之积等于可求出方程的另一根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个实数根；
（2）解：将x＝2代入原方程得：4+2a+a﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，
∴原方程为x2﹣x﹣2＝0，
∴方程的另一根为﹣2÷2＝﹣1，
∴a的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记两根之积等于．
21．（真题•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：
（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．
（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
【分析】（1）根据新运算得出3（x+1）2+3＝15，解之可得到答案；
（2）由2★a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．
【解答】解：（1）∵（x+1）★3＝15，
∴3（x+1）2+3＝15，即（x+1）2＝4，
解得：x1＝1，x2＝﹣3；
（2）∵2★a的值小于0，
∴22a+a＝5a＜0，
解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a＝0中，
∵Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键．
22．（真题•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．
（1）当k＝2时，求方程的根；
（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）把k＝2代入x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0，得到x2﹣6x+8＝0，解之可得．
（2）根据根的判别式求出Δ的值，再进行判断即可．
【解答】解：（1）解：当k＝2时，则方程：x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得x1＝4，x2＝2．
（2）证明：∵Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4（k2+2k）＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
23．（真题•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．
【分析】（1）先计算出Δ＝（k﹣1）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝k+3，x1x2＝2k+2，由x1+x2﹣3x1x2＝2得出k+3﹣3（2k+2）＝2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k+3，x1x2＝2k+2，
∵x1+x2﹣3x1x2＝2，
∴k+3﹣3（2k+2）＝2，
解得：k＝1．
故k的值是1．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2，反过来也成立．
24．（真题•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ 18 ；
（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．
【分析】（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．
（4）根据定义可求出n＝2m或nm，代入原式后即可求出答案；
【解答】解：（1）由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣9x+c＝0的解，
∴m+2m＝9，m•2m＝c，
∴m＝3，c＝18，
故答案为18；
（2）由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和x，
∴2或，
当n＝2m时，0，
当nm时，；
故代数式的值0或．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义，本题属于中等题型．
相关试卷
专题1.7判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优）-【数学讲练课堂】【苏科版】（原卷版+解析版）： 这是一份专题1.7判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优）-【数学讲练课堂】【苏科版】（原卷版+解析版），文件包含专题17判别式和根与系数的关系大题专练重难点培优-讲练课堂2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典苏科版原卷版docx、专题17判别式和根与系数的关系大题专练重难点培优-讲练课堂2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
专题1.5判别式及根与系数的关系-【讲练课堂】2022-2023（原卷版+解析版）： 这是一份专题1.5判别式及根与系数的关系-【讲练课堂】2022-2023（原卷版+解析版），文件包含专题15判别式及根与系数的关系-讲练课堂2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典苏科版原卷版docx、专题15判别式及根与系数的关系-讲练课堂2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题： 这是一份人教版九年级上册<a href="/sx/tb_c95439_t7/?tag_id=28" target="_blank">21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题</a>，文件包含专题02根的判别式与根与系数的关系30题原卷版docx、专题02根的判别式与根与系数的关系30题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
