苏科版九年级数学暑假第03讲用一元二次方程解决问题练习(学生版+解析)

这是一份苏科版九年级数学暑假第03讲用一元二次方程解决问题练习(学生版+解析)，共47页。

一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
【考点剖析】
一．由实际问题抽象出一元二次方程（共4小题）
1．（真题•江城区期末）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
2．（真题•镇江期末）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为80（1﹣x）2＝51.2．类似的，一种药品经过n次降价，药价从每盒a元下调至b元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
3．（真题•鄞州区校级期末）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为 ．
4．（2019春•阜阳期中）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为 ；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为： ．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
二．一元二次方程的应用（共4小题）
5．（2022•泗洪县一模）某工厂两年内产值翻了一番，则该工厂产值年平均增长的百分率等于 ．（结果精确到0.1%，参考数据：1.414，1.732．）
6．（真题•淮安区期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．
7．（2022春•定远县期中）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
8．（2022春•拱墅区月考）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．
（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．
三．配方法的应用（共4小题）
9．（真题•江宁区期中）填空：x2﹣2x+ ＝（x﹣ ）2．
10．（真题•太仓市期中）已知代数式A＝3x2﹣x+1，B＝4x2+3x+7，则A B（填＞，＜或＝）．
11．（真题•沭阳县校级月考）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝ ＝ ．﹣a2+12a＝ ＝ ．
（2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
12．（2020春•滨湖区期中）阅读理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
方法应用：
（1）a2+4a+b2+4＝0，则a＝ ，b＝ ；
（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．
四．高次方程（共4小题）
13．（2019秋•泗阳县期末）方程（x﹣1）（3x2+1）＝0的实数根为 ．
14．（2021•盂县一模）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（ ）
A．1B．1C．3D．3
15．（2019秋•泗阳县期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0
（3）已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．
16．（2019春•太仓市期末）阅读下面的材料：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常采用换元法降次：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y1＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y2＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
仿照上述换元法解下列方程：
（1）x4+3x2﹣4＝0 （2）．
五．无理方程（共4小题）
17．（2020春•崇川区校级月考）若关于x的方程﹣2x+m4020＝0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ．
18．（真题•江都区期末）阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式过程中，发现可以运用“类比”的方法，达成事半功倍的学习效果，比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减，先通分，转化为同分母分式加减进行运算，解分式方程可以类比有分母的一元一次方程，先去分母，转化为整式方程求解；比较分式的大小，可以类比整式比较大小运用的“比差法”……
问题：
（1）材料中分式“通分”的依据是 ；
“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是 ；
（2）类比解分式方程的思想方法，解方程：；
（3）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：甲乙两组人各自平分线，已知两组人数相同，相关信息如表：
试比较甲乙两组哪组人均分的钱多？
19．（真题•溧阳市期中）阅读与理解：
阅读材料：像x3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．
解法如下：移项：3﹣x；两边平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．
解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5．
检验所得到的两个根，只有 是原无理方程的根．
理解应用：解无理方程x2．
20．（真题•松山区期中）阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．
例如：解方程2x．
解：两边平方得：x2+12＝4x2．
解得：x1＝2，x2＝﹣2
经检验，x1＝2是原方程的根，
x2＝﹣2代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是x＝2．
解决问题：
（1）填空：已知关于x的方程x有一个根是x＝1，那么a的值为 ；
（2）求满足x的x的值；
（3）代数式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022春•姜堰区期中）若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（真题•常州期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（ ）
A．200（1+x）＝288B．200（1+2x）＝288
C．200（1+x）2＝288D．200（1+x2）＝288
3．（2022•青羊区模拟）某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（ ）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
4．（真题•通辽期末）为增强学生体质，丰富学生的课外生活，为同学们搭建一个互相交流的平台，学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，学校计划安排15场比赛．设学校应邀请x个队参赛，根据题意列方程为（ ）
A．x（x+1）＝15B．x（x﹣1）＝15
C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝15
5．（2022•常州模拟）香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克，售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
6．（2022•吴中区模拟）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21C．D．
二．填空题（共8小题）
7．（2017春•雨城区校级月考）若m2+n2﹣6n+4m+13＝0，m2﹣n2＝ ．
8．（2022春•广陵区校级月考）若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是 ．
9．（2022春•大丰区校级月考）一个容器盛满纯药液45升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是20升，则每次倒出的液体是 升．
10．（2022•南通模拟）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 人．
11．（真题•盱眙县期末）要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米？设AB＝x米，根据题意可列出方程的为 ．
12．（真题•金湖县期末）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 ．
13．（2022春•泰兴市校级月考）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则由题意列出方程 ．
14．（真题•鼓楼区校级期末）某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同．设平均每次降价的百分率是x，可列方程为 ．
三．解答题（共9小题）
15．（真题•无锡期末）某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折．
（1）该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；
（2）如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
16．（2022春•苏州月考）利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料：
材料一：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0
∴m＝n＝4．
材料二：探索代数式x2+4x+2与﹣x2+2x+3是否存在最大值或最小值？
①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．
∴代数式x2+4x+2有最小值﹣2；
②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．
∴代数式﹣x2+2x+3有最大值4．
学习方法并完成下列问题：
（1）代数式x2﹣6x+3的最小值为 ；
（2）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
（3）已知△ABC的三条边的长度分别为a，b，c，且a2+b2+74＝10a+14b，且c为正整数，求△ABC周长的最小值．
17．（真题•亭湖区期末）随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
18．（真题•姜堰区期末）学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．
19．（2022春•江都区月考）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
20．（2022春•安庆期中）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
21．（真题•镇江期末）【阅读】
小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，
根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．
【理解】
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
（1）关于x的方程ax+bc＝0（a≠0）的两根分别是 （用含有m、n的代数式表示）；
（2）方程 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
观察下表中每个方程的解的特点：
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 的两个根互为倒数；
（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
22．（真题•仪征市期末）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
23．（真题•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
组别
人数（人）
总金额（元）
甲
b2
乙
2b﹣5
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1
3x2+4x+1＝0
x11
2x2﹣7x+3＝0
x13
3x2﹣7x+2＝0
x1＝2，x2
x2﹣2x﹣8＝0
x1＝4，x2＝﹣2
8x2+2x﹣1＝0
x1，x2
…
…
…
…
第03讲用一元二次方程解决问题（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
【考点剖析】
一．由实际问题抽象出一元二次方程（共4小题）
1．（真题•江城区期末）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
【分析】直接利用已知分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案．
【解答】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程为：
5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量是解题关键．
2．（真题•镇江期末）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为80（1﹣x）2＝51.2．类似的，一种药品经过n次降价，药价从每盒a元下调至b元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 a（1﹣x）n＝b ．
【分析】利用经过n次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）n，即可得出关于x的一元n次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：a（1﹣x）n＝b．
故答案为：a（1﹣x）n＝b．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元高次方程是解题的关键．
3．（真题•鄞州区校级期末）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为 （40﹣2x）（30﹣2x）＝600 ．
【分析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，根据纸盒的底面积为600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，
依题意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故答案为：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2019春•阜阳期中）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为 （60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240 ；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为： （x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240 ．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可．
（2）利用（1）中所列方程求出答案．
【解答】解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；
（2）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特产应定价54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，
答：每千克特产应定价54元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
二．一元二次方程的应用（共4小题）
5．（2022•泗洪县一模）某工厂两年内产值翻了一番，则该工厂产值年平均增长的百分率等于 41.4% ．（结果精确到0.1%，参考数据：1.414，1.732．）
【分析】设该工厂产值年平均增长的百分率为x，利用两年后的产值＝原产值×（1+年平均增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该工厂产值年平均增长的百分率为x，
依题意得：（1+x）2＝2，
解得：x11≈0.414＝41.4%，x21≈﹣2.414（不合题意，舍去），
∴该工厂产值年平均增长的百分率约为41.4%．
故答案为：41.4%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及近似数和有效数字，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（真题•淮安区期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 30﹣2x m（用含x的代数式表示）；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．
【分析】（1）根据图形直接可得答案；
（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．
【解答】解：（1）由图可得：平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，
故答案为：30﹣2x；
（2）根据题意得：
x•（30﹣2x）＝100，
∴x2﹣15x+50＝0，
解得x＝5或x＝10，
当x＝5时，30﹣2x＝20＞18，
∴x＝5不合题意，舍去，
∴x＝10，
答：x的值为10m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是数形结合列方程．
7．（2022春•定远县期中）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出（200）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）结合（1）可得出x＝80，再由现售价及原价可求出打的折扣数．
【解答】解：（1）设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出（200）千克，
依题意，得：（400﹣240﹣x）（200）＝41600，
整理，得：x2﹣110x+2400＝0，
解得：x1＝30，x2＝80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）∵为尽可能让利于顾客，
∴x＝80，
∴10＝8．
答：该店应按原售价的八折出售．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022春•拱墅区月考）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．
（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．
【分析】（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，根据“一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价；
（2）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年2月第一周每个冰墩墩的进价为120元，每个雪容融的进价为80元．
（2）依题意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，
整理得：m2+114m﹣1240＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣124（不合题意，舍去）．
答：m的值为10．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
三．配方法的应用（共4小题）
9．（真题•江宁区期中）填空：x2﹣2x+ 1 ＝（x﹣ 1 ）2．
【分析】根据公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2；
故答案为：1，1．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，掌握公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，配方的关键是二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
10．（真题•太仓市期中）已知代数式A＝3x2﹣x+1，B＝4x2+3x+7，则A ＜ B（填＞，＜或＝）．
【分析】将两式相减，再配方即可作出判断．
【解答】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2﹣2＜0，
∴A﹣B＜0，
∴A＜B，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
11．（真题•沭阳县校级月考）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝ a2﹣4a+4﹣4 ＝ （a﹣2）2﹣4 ．﹣a2+12a＝ ﹣（a2﹣12a+36）+36 ＝ ﹣（a﹣6）2+36 ．
（2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
【分析】（1）原式配方即可得到结果；
（2）利用非负数的性质确定出结果即可；
（3）根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4；﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36；
故答案为：a2﹣4a+4﹣4；（a﹣2）2﹣4；﹣（a2﹣12a+36）+36；﹣（a﹣6）2+36；
（2）存在，理由为：
∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，
∴当a＝2时，代数式a2﹣4a存在最小值为﹣4；
（3）根据题意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，
则x＝3时，S最大值为9．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．（2020春•滨湖区期中）阅读理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
方法应用：
（1）a2+4a+b2+4＝0，则a＝ ﹣2 ，b＝ 0 ；
（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式的左边变形，根据偶次方的非负性求出a、b；
（2）用x表示y，把原式变形，根据偶次方的非负性、负整数指数幂的概念解答即可．
【解答】解：（1）∵a2+4a+b2+4＝0，
∴a2+4a+4+b2＝0，
∴（a+2）2+b2＝0，
∴（a+2）2＝0，b2＝0，
∴a＝﹣2，b＝0，
故答案为：﹣2；0；
（2）∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x，
原式变形为x（8﹣x）﹣z2﹣4z＝20，
整理得，8x﹣x2﹣z2﹣4z＝20，
∴x2﹣8x+16+z2+4z+4＝0，
∴（x﹣4）2+（z+2）2＝0，
∴（x﹣4）2＝0，（z+2）2＝0，
∴x＝4，z＝﹣2，
∴y＝8﹣x＝4，
∴（x+y）z．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
四．高次方程（共4小题）
13．（2019秋•泗阳县期末）方程（x﹣1）（3x2+1）＝0的实数根为 x＝1 ．
【分析】由已知可得x﹣1＝0或3x2+1＝0即可求解．
【解答】解：∵（x﹣1）（3x2+1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x2+1＝0，
∴x＝1，
故答案为x＝1．
【点评】本题考查高次方程的解；熟练掌握方程的求解方法是解题的关键．
14．（2021•盂县一模）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（ ）
A．1B．1C．3D．3
【分析】利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，用一元二次方程求根公式得x，且x＞0，所以x取，代入即可求得．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x•x2+1＝x（x+1）+1＝x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，
∵x＞0，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是x的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化简后的2x+2中计算出结果．
15．（2019秋•泗阳县期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元法 法达到 降次 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0
（3）已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．
【分析】（1）解方程的方法是通过换元达到了降次的目的；
（2）设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，利用因式分解法解得y1＝﹣2，y2＝6．然后分别解方程x2+x＝﹣2和方程x2+x＝6即可；
（3）把等式看作关于a的一元二次方程，利用因式分解法解方程得到a＝4b或a＝﹣3b，从而可得到的值．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；
故答案为换元法；降次；
（2）设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝﹣2，y2＝6．
当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，方程没有实数解；
当y＝6时，x2+x＝6，∴x＝2或﹣3；
原方程有两个根：x1＝2，x2＝﹣3；
（3）（a﹣4b）（a+3b）＝0，
a﹣4b＝0或a+3b＝0，
所以a＝4b或a＝﹣3b，
当a＝4b时，4；
当a＝﹣3b时，3．
即的值为4或﹣3．
【点评】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
16．（2019春•太仓市期末）阅读下面的材料：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常采用换元法降次：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y1＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y2＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
仿照上述换元法解下列方程：
（1）x4+3x2﹣4＝0
（2）．
【分析】（1）由x4+3x2﹣4＝0知（x2+4）（x2﹣1）＝0，据此得出x2的值，再进一步求解可得；
（2）令y，知y1＝0，即y2+y﹣6＝0，解之求得y的值，再进一步求解可得．
【解答】解：（1）∵x4+3x2﹣4＝0，
∴（x2+4）（x2﹣1）＝0，
则x2+4＝0或x2﹣1＝0，
解得x2＝﹣4＜0（舍去），x2＝1，
解得x＝1或x＝﹣1；
（2）令y，
则方程为y1＝0，即y2+y﹣6＝0，
则（y+3）（y﹣2）＝0，
∴y+3＝0或y﹣2＝0，
解得y＝﹣3或y＝2，
当y＝﹣3时，3，解得x；
当y＝2时，2，解得x＝1；
经检验x和x＝1均是方程的解．
【点评】本题主要考查解高次方程，通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
五．无理方程（共4小题）
17．（2020春•崇川区校级月考）若关于x的方程﹣2x+m4020＝0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 18 ．
【分析】将原方程变形为m2x﹣4020，由m为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再将是正整数的m的值相加即可得出结论．
【解答】解：原题可得：m2x﹣4020，
∵m为正整数，
∴m0，
∴2x﹣4020≥0，
∴x≥2010．
∵2018﹣x≥0，
∴x≤2018，
∴2010≤x≤2018．
当x＝2010时，2m＝0，m＝0，不符合题意；
当x＝2011时，m＝2，m，不符合题意；
当x＝2012时，m＝4，m，不符合题意；
当x＝2013时，m＝6，m，不符合题意；
当x＝2014时，2m＝8，m＝4；
当x＝2015时，m＝10，m，不符合题意；
当x＝2016时，m＝12，m＝6，不符合题意；
当x＝2017时，m＝14；
当x＝2018时，0＝16，不成立．
∴正整数m的所有取值的和为4+14＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键．
18．（真题•江都区期末）阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式过程中，发现可以运用“类比”的方法，达成事半功倍的学习效果，比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减，先通分，转化为同分母分式加减进行运算，解分式方程可以类比有分母的一元一次方程，先去分母，转化为整式方程求解；比较分式的大小，可以类比整式比较大小运用的“比差法”……
问题：
（1）材料中分式“通分”的依据是 分式的基本性质 ；
“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是 等式的基本性质 ；
（2）类比解分式方程的思想方法，解方程：；
（3）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：甲乙两组人各自平分线，已知两组人数相同，相关信息如表：
试比较甲乙两组哪组人均分的钱多？
【分析】（1）根据分式的基本性质和等式的基本性质即可求解；
（2）由方程可得1﹣2x＝9，解出x即可；
（3）根据题意，只需比较总钱数的多少即可，用作差法比较大小即可求解．
【解答】解：（1）分式的基本性质：分式的分子、分母都乘同一个不为0的整式，分式的值不变，
等式的基本性质：等式的两边都乘同一个数，所得的结果仍是等式，
故答案为：分式的基本性质，等式的基本性质；
（2）∵
∴1﹣2x＝9，
∴x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解；
（3）∵两组人数相同，
∴每组人均的钱数与总钱数相关，
b2﹣（2b﹣5）＝b2﹣2b+5＝（b﹣1）2+4＞0，
∴b2＞2b﹣5，
∴甲组人均多．
【点评】本题考查分式的基本性质，二次根式的运算，实数的大小比较，理解题意，能将所给信息与所学知识相结合是解题的关键．
19．（真题•溧阳市期中）阅读与理解：
阅读材料：像x3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．
解法如下：移项：3﹣x；两边平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．
解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5．
检验所得到的两个根，只有 x＝2 是原无理方程的根．
理解应用：解无理方程x2．
【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解为x＝2；
理解应用：先移项得到x﹣2；再两边平方：x2﹣4x+4（x+1），然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根．
【解答】解：阅读材料：
经检验x＝2是原方程的解；
故答案为x＝2；
理解应用：移项：x﹣2；
两边平方：x2﹣4x+4（x+1），
解这个一元二次方程：x1，x2＝3，
经检验原无理方程的根为x＝3．
【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
20．（真题•松山区期中）阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．
例如：解方程2x．
解：两边平方得：x2+12＝4x2．
解得：x1＝2，x2＝﹣2
经检验，x1＝2是原方程的根，
x2＝﹣2代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是x＝2．
解决问题：
（1）填空：已知关于x的方程x有一个根是x＝1，那么a的值为 2 ；
（2）求满足x的x的值；
（3）代数式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）把x＝1代入方程x得1，然后解关于a的无理方程即可；
（2）利用乘方把无理方程转化为得x+6＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣2，然后进行检验确定原方程的根；
（3）通过解方程8得到此方程无解可判断代数式的值不能等于8．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程x得1，
两边平方得3﹣a＝1，解得a＝2，
经检验a＝1是方程1的解；
所以a的值为2；
故答案为2；
（2）x，
方程两边平方得x+6＝x2，
解得x1＝3，x2＝﹣2，
经检验，x2＝﹣2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1＝3是原方程的根，
∴原方程的根是x＝3；
（3）代数式的值不能等于8．
理由如下：8，
移项得8，
两边平方得（8﹣x）2+9＝64﹣16x2+9，
整理得x，
两边平方得x2+9＝x2，
所以方程无解，
所以，代数式的值不能等于8．
【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022春•姜堰区期中）若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】将x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1化简求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1，
∴x2﹣4x+a＝x2﹣2bx+b2﹣1，
∴2b＝4，a＝b2﹣1，
∴b＝2，a＝22﹣1＝3，
∴a+b＝3+2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
2．（真题•常州期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（ ）
A．200（1+x）＝288B．200（1+2x）＝288
C．200（1+x）2＝288D．200（1+x2）＝288
【分析】根据从5月份到7月份销售量的月增长率相同，根据5月份销售200个，7月份销售288个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月增长率为x，
根据题意得，200（1+x）2＝288，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022•青羊区模拟）某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（ ）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
【分析】根据该快递公司今年一月份及第一季度完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（真题•通辽期末）为增强学生体质，丰富学生的课外生活，为同学们搭建一个互相交流的平台，学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，学校计划安排15场比赛．设学校应邀请x个队参赛，根据题意列方程为（ ）
A．x（x+1）＝15B．x（x﹣1）＝15
C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝15
【分析】利用安排比赛的场次数＝邀请参赛的队伍数×（邀请参赛的队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝15．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2022•常州模拟）香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．某水果店以每千克10元的进价进了批香水梨，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克，售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该水果店想平均每天获利408元，设这种香水梨的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
【分析】设这种香水梨的售价上涨了x元，则每千克的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）千克，利用每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这种香水梨的售价上涨了x元，则每千克的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）千克，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2022•吴中区模拟）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21C．D．
【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛21场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝21，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
7．（2017春•雨城区校级月考）若m2+n2﹣6n+4m+13＝0，m2﹣n2＝ ﹣5 ．
【分析】已知等式常数项13变形为9+4，结合后利用完全平方公式变形，根据两非负数之和为0，两非负数分别为0求出m与n的值，即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵m2+n2﹣6n+4m+13＝（m2+4m+4）+（n2﹣6n+9）＝（m+2）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+2＝0，n﹣3＝0，即m＝﹣2，n＝3，
则m2﹣n2＝4﹣9＝﹣5．
故答案为：﹣5
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（2022春•广陵区校级月考）若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是 15 ．
【分析】先将条件变形，得y2＝﹣2x2+6x，再将x2+y2+2x配方成﹣（x﹣4）2+16，根据y2＝﹣2x2+6x≥0，求出x的取值范围，即可求出最大值．
【解答】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，
∴y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，
∵（x﹣4）2≥0，
∴x2+y2+2x≤16，
∵y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得0≤x≤3，
当x＝3时，x2+y2+2x取得最大值为15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键．
9．（2022春•大丰区校级月考）一个容器盛满纯药液45升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是20升，则每次倒出的液体是 15 升．
【分析】设每次倒出的液体是x升，则第一次倒出再加满水后药液的浓度为100%，根据第二次又倒出同样多的药液后容器内剩下的纯药液是20升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每次倒出的液体是x升，则第一次倒出再加满水后药液的浓度为100%，
依题意得：（45﹣x）•100%＝20，
解得：x1＝15，x2＝75（不合题意，舍去）．
∴每次倒出的液体是15升．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022•南通模拟）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 4 人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝25，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了4人．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（真题•盱眙县期末）要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米？设AB＝x米，根据题意可列出方程的为 （100﹣4x）x＝400 ．
【分析】设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米，然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
故答案为：（100﹣4x）x＝400．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
12．（真题•金湖县期末）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 300（1+x）2＝507 ．
【分析】根据两年内从300千克增加到507千克，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：平均每年增产的百分率为x，
根据题意得，300（1+x）2＝507，
故答案为：300（1+x）2＝507．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2022春•泰兴市校级月考）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则由题意列出方程 1+x+x（1+x）＝100 ．
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后有100人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x（1+x）人被传染．
依题意得：1+x+x（1+x）＝100．
故答案为：1+x+x（1+x）＝100．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（真题•鼓楼区校级期末）某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同．设平均每次降价的百分率是x，可列方程为 100（1﹣x）2＝81 ．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程．
【解答】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝81．
故答案是：100（1﹣x）2＝81．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．增长率问题：增长率＝增长数量原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为a，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
三．解答题（共9小题）
15．（真题•无锡期末）某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折．
（1）该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；
（2）如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量可求出按照方案一的优惠方式购买书籍10本所需费用，由该值小于600可得出读书兴趣小组购买书籍的数量超过10本，设读书兴趣小组购买书籍x本，则每本的售价为（70﹣2x）元．利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不低于35元/本，即可得出读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本；
（2）设书店给出的优惠方案二中超过5本以上的部分打y折销售，利用总价＝单价×数量，结合该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量且实付金额少于600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵50×10＝500（元），500＜600，
∴读书兴趣小组购买书籍的数量超过10本．
设读书兴趣小组购买书籍x本，则每本的售价为50﹣2（x﹣10）＝（70﹣2x）元，
依题意得：（70﹣2x）x＝600，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20．
当x＝15时，70﹣2x＝70﹣2×15＝40＞35，符合题意；
当x＝20时，70﹣2x＝70﹣2×20＝30＜35，不符合题意，舍去．
答：读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本．
（2）设书店给出的优惠方案二中超过5本以上的部分打y折销售，
依题意得：50×5+（15﹣5）×50600，
解得：y＜7．
答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
16．（2022春•苏州月考）利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料：
材料一：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0
∴m＝n＝4．
材料二：探索代数式x2+4x+2与﹣x2+2x+3是否存在最大值或最小值？
①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．
∴代数式x2+4x+2有最小值﹣2；
②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．
∴代数式﹣x2+2x+3有最大值4．
学习方法并完成下列问题：
（1）代数式x2﹣6x+3的最小值为 ﹣6 ；
（2）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
（3）已知△ABC的三条边的长度分别为a，b，c，且a2+b2+74＝10a+14b，且c为正整数，求△ABC周长的最小值．
【分析】（1）将代数式配方即可；
（2）设花圃的面积为S平方米，根据题意得S＝x（100﹣2x）配方成﹣2（x﹣25）2+1250，即可求出最大面积；
（3）根据配方法可得a和b的值，再根据三角形的三边关系即可求出c的最小值，进一步求周长最小值即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝x2﹣6x+9﹣9+3＝（x﹣3）2﹣6，
∵（x﹣3）2≥0，
∴x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6≥﹣6，
故答案为：﹣6．
（2）设花圃的面积为S平方米，根据题意，
得S＝x（100﹣2x）
＝﹣2x2+100x
＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）
＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵﹣2（x﹣25）2≤0，
∴S＝﹣2（x﹣25）2+1250≤1250，
当x＝25时，100﹣50＝50＜100，
∴花圃的最大面积为1250平方米；
（3）∵a2+b2+74＝10a+14b，
∴a2﹣10a+25+b2﹣14b+49＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣7）2＝0，
∴a＝5，b＝7，
∴2＜c＜12，
∵c为正整数，
∴c最小为3，
∴△ABC周长的最小值为5+7+3＝15．
【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
17．（真题•亭湖区期末）随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
【分析】（1）设每天增长的百分率是x，利用第三天的产量＝第一天的产量×（1+每天增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，根据该厂要保证每天生产口罩3900万个，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要节省投入，即可得出应该增加4条生产线．
【解答】解：（1）设每天增长的百分率是x，
依题意得：300（1+x）2＝432，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率是20%．
（2）设应该建y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，
依题意得：y[900﹣30（y﹣1）]＝3900，
整理得：y2﹣31y+130＝0，
解得：y1＝5，y2＝26（不合题意舍去）．
答：应该增加5条生产线．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（真题•姜堰区期末）学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．
【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长；
（2）根据矩形的面积公式列式求解即可．
【解答】解：（1）设AB边长为x米，则EF＝DC＝AB＝x米，
所以BC＝（21﹣3x）米；
（2）根据题意得：x（21﹣3x）＝30，
解得：x＝2或x＝5，
答：AB的长为2米或5米．
【点评】考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长，难度不大．
19．（2022春•江都区月考）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
【分析】（1）设月平均增长率为x，利用2021年12月的销量＝2021年10月的销量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2022年1月的销量＝2021年12月的销量×（1+月平均增长率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1 （不合题意，舍去）．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）假设保持相同的月平均增长率，那么2022年1月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件）．
答：2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
20．（2022春•安庆期中）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．
【分析】（1）设每盒的售价为x元，则月销量为（570﹣20x）盒，根据月销量不低于270盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）利用月销售利润＝每盒的销售利润×月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每盒的售价为x元，则月销量为330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），
依题意得：570﹣20x≥270，
解得：x≤15．
答：每盒售价最高为15元；
（2）依题意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，
解得：a1＝1，a2＝﹣2（不合题意，舍去）．
答：a的值为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．（真题•镇江期末）【阅读】
小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，
根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．
【理解】
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
（1）关于x的方程ax+bc＝0（a≠0）的两根分别是 m2，n2 （用含有m、n的代数式表示）；
（2）方程 ax2+2bx+4c＝0 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
观察下表中每个方程的解的特点：
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 cx2+bx+a＝0 的两个根互为倒数；
（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
【分析】【理解】（1）令y，根据题意可得m或n，即可求解方程；
（2）由题意可知m+n，mn，由于方程的两个根分别是2m，2n，则2m+2n，am•2n，即可写出符合条件的方程；
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数；
（2）先将cx2+bx+a＝0变形为，设，方程可变形为ay2+by+c＝0，设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，则可得方程ay2+by+c＝0的解为y1＝m，y 2＝n，把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x，即可证明．
【解答】解：【理解】（1）令y，
∴方程ax+bc＝0（a≠0）可化为ay2+by+c＝0，
∵ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴y＝m或y＝n，
∴m或n，
∴x＝m2或x＝n2，
故答案为：m2，n2；
（2）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴x＝m或x＝n，
∴m+n，mn，
∵方程的两个根分别是2m，2n，
∴2m+2n，am•2n，
∴方程ax2+2bx+4c＝0的两个根为2m，2n，
故答案为：ax2+2bx+4c＝0；
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数，
故答案为：cx2+bx+a＝0；
（2）证明：由cx2+bx+a＝0两边同除以x2，得，
设，方程可变形为ay2+by+c＝0，
设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，
可得方程ay2+by+c＝0的解是y1＝m，y 2＝n，
把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x，
所以方程cx2+bx+a＝0的解是，，
即方程ax2+bx+c＝0的两个根与方程cx2+bx+a＝0的两个根互为倒数．
【点评】本题考查无理方程的解，理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活运用换元法解方程是解题的关键．
22．（真题•仪征市期末）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
【分析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，根据矩形的面积公式列出方程并解答；
（2）根据矩形的面积公式列出方程，由一元二次方程根的判别式符号判定所列方程是否有根，据此进行判定．
【解答】解：（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，
依题意，得（42﹣3x）x＝144．
解得x1＝6，x2＝8．
由于x2＝8＞7，所以不合题意，舍去．
所以x＝6符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为6米；
（2）依题意，得（42﹣3x）x＝150．
整理，得x2﹣14x+50＝0．
因为Δ＝（﹣14）2﹣4×1×50＝﹣4＜0．
所以该方程无解．
所以生态园的面积不能达到150平方米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
23．（真题•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝ （12﹣2t） cm；BQ＝ 4t cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案是：（12﹣2t）；4t；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC．
∴AB∥DH．
又∵D是AC的中点，
∴BHBC＝12cm，DH是△ABC的中位线．
∴DHAB＝6cm．
根据题意，得（12﹣2t）（24﹣4t）×62t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0．
解得：t1＝2，t2＝4，
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
组别
人数（人）
总金额（元）
甲
b2
乙
2b﹣5
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1
3x2+4x+1＝0
x11
2x2﹣7x+3＝0
x13
3x2﹣7x+2＝0
x1＝2，x2
x2﹣2x﹣8＝0
x1＝4，x2＝﹣2
8x2+2x﹣1＝0
x1，x2
…
…
…
…