苏科版九年级数学暑假第04讲圆与圆的对称性练习(学生版+解析)

这是一份苏科版九年级数学暑假第04讲圆与圆的对称性练习(学生版+解析)，共46页。
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
四．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
五．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【考点剖析】
一．圆的认识（共5小题）
1．（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
2．（真题•东丽区期末）已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．6cmB．12cmC．16cmD．20cm
3．（真题•白云区校级期中）如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝ ．
4．（2019秋•宜兴市期中）如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
5．（真题•巨野县期末）已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是 cm．
二．垂径定理（共3小题）
6．（2022•南沙区一模）如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 ．
7．（真题•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
8．（2022•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ．
三．垂径定理的应用（共3小题）
9．（真题•伊通县期末）在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为 ．
10．（真题•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 寸．（1尺＝10寸）
11．（2021•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
四．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）
12．（真题•临邑县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．65°B．55°C．60°D．75°
13．（真题•鼓楼区校级月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等
B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°
C．在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大
D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧
14．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．
（1）求证AB＝AC；
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．
五．点与圆的位置关系（共3小题）
15．（真题•沭阳县期末）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
16．（2022•常州模拟）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
17．（真题•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·江苏泰州市·）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（ ）
A．点在内B．点在上C．点在外D．无法确定
2．（江苏泰州市·八年级期中）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2020·射阳县第二初级中学）平面内，若⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能
4．（2020·江苏宿迁市·八年级期中）直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（ ）
A．三角形内B．三角形外C．斜边的中点D．不能确定
5．（2020·镇江市江南学校八年级月考）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．5个B．6个
C．7个D．8个
6．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（ ）
A．10B．8C．7D．9
二、填空题
8．（2020·射阳县第二初级中学）下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．
9．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________．
10．（2021·江苏泰州市·）如图，的直径，弦，垂足为，，则的长为______．
11．（2021·江苏盐城市·景山中学八年级期末）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．
12．（2020·扬州市江都区国际学校八年级期中）如图是一个俱乐部的徽章.徽章的图案是一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为10cm，则徽章内的菱形的边长为_____cm．

13．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．
14．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．
15．（2017·江苏盐城市·东台市实验中学八年级月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动．在运动过程中，点B到原点的最大距离是________
16．（2019·沭阳县修远中学八年级期末）已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为____.
17．（2019·江苏扬州市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直线AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B/CP，连接B/A，B/A长度的最小值是m，B/A长度的最大值是n，则m+n的值等于______.
18．（2021·江苏八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为__________．
19．（2021·江苏盐城市·）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．
三、解答题
20．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
21．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长
22．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．
23．（2019·江苏扬州市·八年级期中）（1）发现：如图1，点A为一动点，点B和点C 为两个定点，且BC=a，AB=b.（a>b）
填空：当点A位于______时，线段AC的长取得最小值，且最小值为______(用含a，b的式子表示)
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最小值.
③如图3所示，分别以AB，AC为边，作正方形ADEB和正方形ACFG，连接CD，BG.图中线段CD，BG的关系是____________，线段BG 的最大值是__________.
24．（2021·江苏盐城市·景山中学八年级期末）我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：
（1）如图1，点A的坐标为（-5，1），将点A绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点，若反比例函数的图像经过点，求k的值．
（2）将（1）中的的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x轴相交于点B，若直线x=与旋转后的图像交于点C与点D，求△BCD的面积．
（3）在（2）的情况下，半径为6的M的圆心M在x轴上，如图3，若要使△BCD完全在M的内部，求M的圆心M横坐标xm的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．
第04讲圆与圆的对称性（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
四．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
五．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【考点剖析】
一．圆的认识（共5小题）
1．（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝52°，
∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
2．（真题•东丽区期末）已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．6cmB．12cmC．16cmD．20cm
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为12cm．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
3．（真题•白云区校级期中）如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝ 20° ．
【分析】由半径相等得CB＝CD，则∠B＝∠CDB，在根据三角形内角和计算出∠B（180°﹣∠BCD）＝70°，然后利用互余计算∠A的度数．
【解答】解：∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB，
∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，
∴∠B（180°﹣∠BCD）（180°﹣40°）＝70°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝20°．
故答案为20°．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了三角形内角和定理．
4．（2019秋•宜兴市期中）如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
【分析】连接OD，如图，由AB＝2DE，AB＝2OD得到OD＝DE，根据等腰三角形的性质得∠DOE＝∠E＝20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO＝40°，加上∠C＝∠ODC＝40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC．
【解答】解：连接OD，如图，
∵AB＝2DE，
而AB＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝20°，
∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝40°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
5．（真题•巨野县期末）已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是 12 cm．
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为2×6＝12（cm）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
二．垂径定理（共3小题）
6．（2022•南沙区一模）如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 3≤OP≤5 ．
【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM＝3，即OP的最小值为3，所以3≤OP≤5．
【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，
∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
【点评】解决本题的关键是确定OP的最小值，所以求OP的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
7．（真题•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DECD＝3，
在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，
OE2+CE2＝OC2，
即（5﹣r）2+32＝r2，
解得r＝3.4，
∴AE＝AB﹣BE＝3.4×2﹣5＝1.8，
答：AE的长为1.8．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提．
8．（2022•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 （0，﹣4） ．
【分析】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．
【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB4，FC＝FD，
∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，
∴E（2，0），
设P（2，m），则F（0，m），
连接PC、PA，
在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，
在Rt△APE中，PA2＝m2+42，
∵PA＝PC，
∴（3﹣m）2+22＝m2+42，
∴m（舍正），
∴F（0，），
∴CF＝DF，
∴OD＝OF+DF4，
∴D（0，﹣4），
故答案为：（0，﹣4）．
【点评】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．
三．垂径定理的应用（共3小题）
9．（真题•伊通县期末）在直径为200cm的圆柱形油箱内装入一些油以后，截面如图（油面在圆心下）：若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为 40cm ．
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．
【解答】40cm解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB＝160cm，
∴OA＝OE＝100cm，AM＝80cm，
∴OM60cm，
∴ME＝OE﹣OM＝100﹣60＝40cm．
故答案为40cm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．（真题•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 26 寸．（1尺＝10寸）
【分析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，由垂径定理得AD＝BDAB＝5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图：
设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，
∵OE⊥AB，AB＝10寸，
∴AD＝BDAB＝5（寸），
在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+52，
解得：x＝13，
∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），
即木材的直径CD是26寸，
故答案为：26．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．（2021•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF中，HF16，
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键．
四．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）
12．（真题•临邑县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．65°B．55°C．60°D．75°
【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
13．（真题•鼓楼区校级月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等
B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°
C．在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大
D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等，正确；
B、在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，正确；
C、在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大，正确；
D、若两弧的度数相等，则这两条弧不一定是等弧，错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，注意在同圆和等圆中这个条件不能忽略．
14．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．
（1）求证AB＝AC；
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠EDA＝90°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到∠BAD＝∠CAD，进而证明∠B＝∠C，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）连接DF，DG，证明△AEC∽△DGC，根据相似三角形的性质求出AE，根据勾股定理求出DE，进而求出CE．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠EDA＝90°，
∵D是的中点，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：连接DF，DG．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝10，BC＝12，
∴AC＝10，CD＝6，
由勾股定理得：AD8，
∵DF∥AC，
∴，
∴BF＝FA，
在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，
∴DG＝DFAB＝5，
∴DG＝DF＝5，
∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，
∴△AEC∽△DGC，
∴，即，
解得：AE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE，AD＝8，
∴DE，
∴EC＝CD﹣DE．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据△AEC∽△DGC求出AE是解题的关键．
五．点与圆的位置关系（共3小题）
15．（真题•沭阳县期末）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
【分析】根据题意得⊙O的半径为5cm，则点A到圆心O的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O内．
【解答】解：∵⊙O的直径为10，
∴⊙O的半径为5，
而圆心O的距离为6，
∴点A在⊙O外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
16．（2022•常州模拟）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
【分析】根据勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD的长，然后与300m比较大小，即可解答本题．
【解答】解：∵AB＝300cm，BC＝400cm，AC＝500cm，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵点D是斜边AC的中点，
∴AD＝CD＝250cm，BDAC＝250cm，
∵250＜300，
∴点A、B、C都在圆内，
∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．
故选：D．
【点评】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到D点的距离．
17．（真题•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．
【分析】连接CD，过点A作AE⊥BC于点E．过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE，解直角三角形求出CD，BD即可判断．
【解答】解：连接CD，过点A作AE⊥BC于点E．过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE，
∵AB＝AC＝2，BC＝4，
∴BEBC＝2，
∴AE4，
∵点D是AB中点，即DF是中位线
∴DFAE＝2，BFBE＝1，
∴CF＝3，
∴CD，
又DBAB，
∴r的取值范围是r．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·江苏泰州市·）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（ ）
A．点在内B．点在上C．点在外D．无法确定
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系即可得．
【详解】解：，
点在外，
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
2．（江苏泰州市·八年级期中）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM=AB=3，
根据勾股定理，得：OA==5，
即⊙O的半径为5．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值．
3．（2020·射阳县第二初级中学）平面内，若⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能
【答案】A
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】∵OP＜3，
∴点P在⊙O内部．
故选A．
【点睛】此题考查点与圆的位置关系的判断．解题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
4．（2020·江苏宿迁市·八年级期中）直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（ ）
A．三角形内B．三角形外C．斜边的中点D．不能确定
【答案】C
【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．
【详解】∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，
∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．（2020·镇江市江南学校八年级月考）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．5个B．6个
C．7个D．8个
【答案】C
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】解：如图：
①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有7个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
6．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．
7．（2020·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（ ）
A．10B．8C．7D．9
【答案】C
【分析】根据点为平面内一点且满足，得到点的运动轨迹是以点为圆心，半径是2的圆，可得当线段过圆心时，的值最大，据此求解即可．
【详解】解：∵，，三点的坐标为： (0，1)， (0，3)，(0，-1)，
则有：，
又∵点为平面内一点且满足，则点的运动轨迹是以点为圆心，半径是2的圆，
如图示，当线段过圆心时，的值最大，
过点作轴，交轴于点，过点作，交于点，
∵点的坐标是(4，4)，点的坐标是(0，1)，
∴，，
则：
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，平面坐标系内的两点的距离，点的运动等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
二、填空题
8．（2020·射阳县第二初级中学）下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．
【答案】①
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】解：直径是弦，但弦不是直径，故① 正确；圆心相同但半径不同的两个圆是同心圆，故② 错误；若两个半圆的半径不等，则这两个半圆的弧长不相等，故③错误；经过圆的圆心可以作无数条的直径，故④错误.综上，正确的只有①.
故答案为：①
【点睛】本题考查了圆的知识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大.
9．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________．
【答案】12
【分析】过P点作PH⊥AB于H点，根据垂径定理可知：HA=HB，根据勾股定理求出HB，即可求解．
【详解】解：过P点作PH⊥AB于H点，如下图所示：
根据垂径定理可知：HA=HB，
且，∴PH=3，
，
∴AB=2HB=8，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，平面直角坐标系等相关知识点，属于基础题，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键．
10．（2021·江苏泰州市·）如图，的直径，弦，垂足为，，则的长为______．
【答案】24
【分析】连接，先根据求出的长，再在中，利用勾股定理可得的长，然后利用垂径定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
的直径，
，
，，
，
，
，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
11．（2021·江苏盐城市·景山中学八年级期末）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．
【答案】
【分析】作OD⊥AB，由1≤OP≤2，证得，求出，根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】
解：作OD⊥AB，
∵P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，
∴OD=1，
∵⊙O的半径是2，
∴，
∵OA=OB，
∴，
∴弦AB所对的圆心角，
故答案为： ．
【点睛】此题考查直角三角形直角边等于斜边一半的性质，圆的半径相等的性质，等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的关键．
12．（2020·扬州市江都区国际学校八年级期中）如图是一个俱乐部的徽章.徽章的图案是一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为10cm，则徽章内的菱形的边长为_____cm．

【答案】5
【分析】连接圆心和矩形邻边的两个中点，易得一个矩形，那么菱形的边长为圆的半径．
【详解】如图，连接圆心和矩形邻边的两个中点，
根据垂径定理，可得过圆心的这两条线段，分别垂直于矩形的两边，则组成的四边形是矩形，
因为矩形的对角线相等，
所以徽章内的菱形的边长等于半径的长，即5cm．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查垂径定理、矩形的判定和性质等知识点，难点是作出辅助线，构造出矩形．
13．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．
【答案】3
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
【详解】连接OC，
Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．
【答案】12
【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．
【详解】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
15．（2017·江苏盐城市·东台市实验中学八年级月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动．在运动过程中，点B到原点的最大距离是________
【答案】2+2
试题解析：如图，取CA的中点D，连接OD、BD，
则OD=CD=AC=×4=2，
由勾股定理得，BD=，
所以，点B到原点的最大距离是2+2．
16．（2019·沭阳县修远中学八年级期末）已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为____.
【答案】x2＋y2＝1
【详解】因为原点为圆心,过点P（1,0）的圆即是以（0,0）半径为1的圆,则标准方程为: （x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案为: x2＋y2＝1.
17．（2019·江苏扬州市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直线AB上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B/CP，连接B/A，B/A长度的最小值是m，B/A长度的最大值是n，则m+n的值等于______.
【答案】16
【分析】先判断出长度的最大值与长度的最小值相应的位置，然后进一步计算即可.
【详解】
如图，以C点为圆心，BC长为半径画圆，交AC于N点，延长AC交圆于M点，
∵点P是直线AB上的动点，△BCP沿CP所在的直线翻折得到△，
∴点B落在以点C为圆心，BC为半径的圆上，
∴CM=CN=BC=6，
∵圆外一点到圆上的点的距离最大和最小的点是圆外一点过圆心的直线与圆的交点，
∴长度的最小值m=AN=AC-CN=8-6=2，
且长度的最大值n=AM=AC+CM=8+6=14，
∴m+n=16，
所以答案为16.
【点睛】本题主要考查了三角形动点问题与圆的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
18．（2021·江苏八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC即可求出C点坐标．
【详解】解：∵A(8，0)，B(0，6)，
∴OA=8，OB=6，
∴，
∴AC=AB=10，
∴点C的横坐标为：8-10=-2，纵坐标为：0，
∴点C的坐标为(-2，0)，
故答案为(-2，0)．
【点睛】本题考查了勾股定理、同圆半径相等和坐标与图形性质的应用， 解此题的关键是求出OC的长， 注意： 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
19．（2021·江苏盐城市·）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．
【答案】8
【分析】先分析出点的运动轨迹是以A为圆心，5为半径的圆弧，要求的最小值，只要求出点C到圆心的距离再减去半径即可．
【详解】解：∵折叠，
∴，
∴点的运动轨迹就是以A为圆心，5为半径的圆弧，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴．
故答案是：8．
【点睛】本题考查矩形与折叠，线段最值的求解，解题的关键是分析出动点的轨迹，再根据点到圆上一点最短距离的求解方法进行求解．
三、解答题
20．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见解析.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.
【详解】解：如图，
连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∵点E是AB的中点，
∴OE＝AB，
同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
【点睛】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.
21．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长
【答案】2
【分析】作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD.
【详解】解：如图，作CE⊥AB于E．
∵∠B=180°-∠A-∠ACB
=180°-20°-130°
=30°，
在Rt△BCE中，
∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，
∴CE=BC=1，BE=CE=，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，
∴BD=2EB=2.
【点睛】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型.
22．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．
【答案】2
【分析】连接OC，利用直径AB=10，则OC=OA=5，再由CD⊥AB，根据垂径定理得CE=DE=CD=4，然后利用勾股定理计算出OE，再利用AE=OA-OE进行计算即可．
【详解】连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．
【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是关键．
23．（2019·江苏扬州市·八年级期中）（1）发现：如图1，点A为一动点，点B和点C 为两个定点，且BC=a，AB=b.（a>b）
填空：当点A位于______时，线段AC的长取得最小值，且最小值为______(用含a，b的式子表示)
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最小值.
③如图3所示，分别以AB，AC为边，作正方形ADEB和正方形ACFG，连接CD，BG.图中线段CD，BG的关系是____________，线段BG 的最大值是__________.
【答案】（1）线段BC上， a-b；（2）①BE=CD，证明见解析；②2；③相等且垂直，.
【分析】（1）根据点A为一动点，且BC=a，AB=b，可得当点A位于线段CB上时，线段AC的长取得最小值，且最小值为BC-AB=a-b；
（2）①根据等边三角形ABD和等边三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根据全等三角形的性质可得CD=BE；
②BE的最小值即CD的最小值，当D在线段BC上时最小;
③当D点在CB的延长线上时，BG取得最大值.
【详解】(1)如图1，∵点A为一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于线段CB上时，线段AC的长取得最小值，且最小值为BC-AB=a-b.
故答案为在线段CB上，a-b；
(2)①CD=BE.
理由：如图2，∵等边三角形ABD和等边三角形ACE，
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB(SAS)，
∴CD=BE；
②BE的最小值即CD的最小值，当D在线段BC上时CD最小;此时BE=CD=BC-AB=3-1=2.
③易证△BAG≌△CAD，所以BG=CD，当D点在CB的延长线上时，BG取得最大值.最大值等于BD＋BC=．
【点睛】本题考查了最短路径的问题，明确何时取得最短路径是解题的关键.
24．（2021·江苏盐城市·景山中学八年级期末）我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：
（1）如图1，点A的坐标为（-5，1），将点A绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点，若反比例函数的图像经过点，求k的值．
（2）将（1）中的的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x轴相交于点B，若直线x=与旋转后的图像交于点C与点D，求△BCD的面积．
（3）在（2）的情况下，半径为6的M的圆心M在x轴上，如图3，若要使△BCD完全在M的内部，求M的圆心M横坐标xm的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】（1）利用旋转的性质得到点的坐标，利用待定系数法求出k的值；
（2）设上点E绕原点O顺时针方向旋转45°，得到点B，过点E作EF⊥x轴，设，利用旋转的性质得到，列得，求出a的值得到OB的长；设CD交x轴于点R，△OCR是由△OMN绕点O顺时针方向旋转45°得到的，得到N（3,3），求出直线MN的解析式，得到M（1,5），利用勾股定理求出CR的长，即可利用三角形面积公式求出答案；
（3）分别计算点M在直线CD左侧及右侧时的位置，即可得到答案．
【详解】解：（1）点A的坐标为（-5，1），将点A绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点（1,5），
∵反比例函数的图像经过点，
∴；
（2）设上点E绕原点O顺时针方向旋转45°，得到点B，过点E作EF⊥x轴，
设,
∵，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴；
设CD交x轴于点R，△OCR是由△OMN绕点O顺时针方向旋转45°得到的，
∵ON=OR=，
∴N（3,3），
∵直线ON的解析式为y=x，MN⊥OE，
∴设直线MN的解析式为y=-x+b，将点N的坐标代入，得b=6，
∴直线MN的解析式为y=-x+6，
当时，得（舍去），
∴y=-1+6=5，
∴M（1,5），
∴，
∴，
∴CD=2CR=，
∴△BCD的面积=
（3）当点M在直线CD左侧，且M恰好经过点C、D时，连接MC，
∵MC=6，，
∴，
∴；
当点M在直线CD右侧，且M恰好经过点B时，连接MC，
∵，，
∴，
此时，点C、D在M内部，，
综上，M的圆心M横坐标xm的范围为．
【点睛】此题考查旋转的性质，勾股定理，求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数解析式，圆的半径相等的性质，解题中运用分类思想思考问题，这是一道较难的几何图形类综合题．