苏科版七年级数学暑假第07讲代数式、数字与图形变化规律练习(学生版+解析)

这是一份苏科版七年级数学暑假第07讲代数式、数字与图形变化规律练习(学生版+解析)，共29页。

1. 理解用字母表示数的意义，会用字母表示数，知道求含有字母式子的值的方法；
2. 了解代数式的值的概念，会求代数式的值，会利用求代数式的值解决较简单的实际问题。
【基础知识】
一．代数式
代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2等．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
二．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
三．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
四．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【考点剖析】
一．代数式（共3小题）
1．（真题•宽城县期末）代数式a2﹣的正确解释是（ ）
A．a的平方与b的倒数的差B．a与b的倒数的差的平方
C．a的平方与b的差的倒数D．a与b的差的平方的倒数
2．（真题•海安市期中）下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）
A．x•5B．﹣abC．1xD．4m×n
3．（真题•高淳区期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式100﹣9.8x的实际意义 ．
二．列代数式（共3小题）
4．（2022春•鼓楼区校级月考）某种产品的原料进行价格调整，现有三种方案：
（1）第一次提价p%，第二次降价p%；
（2）第一次提价2p%，第二次降价p%；
（3）第一次提价2p%，第二次降价2p%．
其中p是正数，三种方案中哪种方案最后定价最低？（ ）
A．第（1）种B．第（2）种
C．第（3）种D．三种方案价格一样
5．（2022•邳州市一模）周末小明与同学相约在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的菜单总共为10个汉堡，x杯饮料，y份沙拉，则他们点的B餐份数为（ ）
A．10﹣xB．10﹣yC．x﹣yD．10﹣x﹣y
6．（真题•泰州期末）下列关于“代数式4x+2y”的意义叙述正确的有（ ）个．
①x的4倍与y的2倍的和是4x+2y；
②小明以x米/分钟的速度跑了4分钟，再以y米/分钟的速度步行了2分钟，小明一共走了（4x+2y）米；
③苹果每千克x元，橘子每千克y元，买4千克橘子、2千克苹果一共花费（4x+2y）元．
A．3B．2C．1D．0
三．规律型：数字的变化类（共4小题）
7．（2022春•邗江区校级月考）我们将如图所示的两种排列形式的点数分别称作“三角形点数”（如1，3，6，10…）和“正方形点数”（如1，4，9，16，…）．在小于300的点数中，设最大的“三角形点数”为m，最大的“正方形点数”为n，则m+n的值为（ ）
A．589B．565C．556D．532
8．（真题•江阴市期末）将﹣1，2，﹣2，3按如图的方式排列，规定（m，n）表示第m排左起第n个数，则（5，4）与（21，7）表示的两个数之积是（ ）
A．﹣2B．4C．﹣4D．6
9．（真题•徐州期末）下列一组数：1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1，2，…其中第2022个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（真题•句容市期末）观察下列两列数：
第一列：2，4，6，8，10，12，……
第二列：2，5，8，11，14，17，……
通过探究可以发现，第1个相同的数是2，第2相同的数是8，…．则第2022个相同的数在第一列中是第（ ）个．
A．6062B．6064C．6066D．6068
四．规律型：图形的变化类（共3小题）
11．（真题•建湖县期末）如图所示的图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，若要得到604个圆，则为第（ ）个图形．
A．200B．201C．202D．302
12．（真题•宣化区期末）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，记第1个图形中总的点数为S2＝3，第2个图形中总的点数为S3＝6，依次为S4＝9，S5＝12．以下说法错误的是（ ）
A．S7＝18B．S11＝30
C．若Sn＝60，则n＝21D．若Sn+Sn+1＝57，则n＝11
13．（真题•锦江区校级期末）下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，…，按此规律排列，则第10个图形中小圆的个数为（ ）
A．37B．40C．41D．42
【过关检测】
一．选择题（共11小题）
1．（2019秋•邓州市期末）关于代数式“4a”意义，下列表述错误的是（ ）
A．4个a相乘B．a的4倍C．4个a相加D．4的a倍
2．（2019春•秦淮区期末）关于代数式x+1的结果，下列说法一定正确的是（ ）
A．比1大B．比1小C．比x大D．比x小
3．（真题•莲池区校级期末）下面式子中符合代数式书写要求的是（ ）
A．ab3B．2xy2C．D．x+3克
4．（真题•亭湖区期末）用代数式表示“x的2倍与3的差”为（ ）
A．3﹣2xB．2x﹣3C．2（x﹣3）D．2（3﹣x）
5．（真题•崇川区期末）有18m长的木料，要做成一个如图的窗框．如果窗框横档的长度为xm，窗框厚度忽略不计，那么窗户的面积是（ ）
A．x（9﹣x）m2B．x（9﹣1.5x）m2
C．x（9﹣3x）m2D．x（18﹣2x）m2
6．（真题•东平县期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2021个图形中，上层黑色正方形的数量是（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
7．（真题•新吴区期末）由点组成的正方形，每条边上的点数n与总点数s的关系如图所示，则当n＝60时，计算s的值为（ ）
A．220B．236C．240D．216
8．（2019秋•无锡期中）下列各式：①1x；②2•3；③20%x；④a﹣b÷c；⑤；⑥x﹣5千克；其中，不符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
9．（真题•滨湖区期末）今年苹果的单价比去年便宜了10%，已知今年苹果的单价是每千克a元，则去年苹果的单价是（ ）
A．10%aB．（1﹣10%）aC．D．
10．（真题•如东县期末）将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，…．按此规律，若2022是第m行第n个数，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝674，n＝1346B．m＝674，n＝1347
C．m＝675，n＝1348D．m＝675，n＝1349
11．（2022•安宁市一模）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，…则1+3+5+7+…+2021＝（ ）
A．10102B．10112C．20202D．20212
二．填空题（共4小题）
12．（2019秋•溧水区期中）已知一个等边三角形的边长为a，则3a所表示的实际意义是 ．
13．（2022春•鼓楼区校级期中）通过计算发现：22﹣21＝2，23﹣22＝22，24﹣23＝23……，则 21+22+23+…+22021﹣22022＝ ．
14．（2022春•鼓楼区期中）如图，在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的长为x，宽为y，阴影部分面积为S，则S＝ （用含有x，y的代数式表示）．
15．（2022春•盐都区期中）如图①是一块正方形纸板，边长为1，面积记为S1，沿图①的底边剪去一个边长为的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为S2，然后再沿同一底边依次剪去一块更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的）后得到图③，④，…，记第n块纸板的面积为Sn，则Sn+1﹣Sn＝ ．（用含n的代数式表示）
三．解答题（共3小题）
16．（2022春•丰县月考）观察以下一系列等式：
①21﹣20＝2﹣1＝20；
②22﹣21＝4﹣2＝21；
③23﹣22＝8﹣4＝22；
④ ；
…
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式： ；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式： ；
（3）请利用上述规律计算：20+21+22+…+21000．
17．（2022春•滨海县期中）观察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42……
（1）请你根据上面式子的规律直接写出第6个式子： ；
（2）探索以上式子的规律，试写出第n个等式（n为正整数），并证明你写的等式．
18．（真题•德州期中）（1）先观察下列等式，再完成题后问题：
＝﹣，＝﹣，＝﹣
①请你猜想：＝ ．
②若a、b为有理数，且|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
求：+++…+的值．
（2）探究并计算：+++…+．
（3）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：++++++…+（直接写答案）．
第07讲 代数式、数字与图形变化规律
【学习目标】
1. 理解用字母表示数的意义，会用字母表示数，知道求含有字母式子的值的方法；
2. 了解代数式的值的概念，会求代数式的值，会利用求代数式的值解决较简单的实际问题。
【基础知识】
一．代数式
代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2等．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
二．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
三．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
四．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【考点剖析】
一．代数式（共3小题）
1．（真题•宽城县期末）代数式a2﹣的正确解释是（ ）
A．a的平方与b的倒数的差B．a与b的倒数的差的平方
C．a的平方与b的差的倒数D．a与b的差的平方的倒数
【分析】根据代数式的字母表示，用文字解释代数式的意义即可．
【解答】解：因为代数式a2﹣计算过程是先算乘方，再算减法，
所以代数式a2﹣的正确解释是：
a的平方与b的倒数的差．
故选：A．
【点评】本题考查了代数式，解决本题的关键是正确理解代数式的算理．
2．（真题•海安市期中）下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）
A．x•5B．﹣abC．1xD．4m×n
【分析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：A、字母与数字相乘时，乘号省略不写，数字写在前面，原书写错误，故此选项不符合题意；
B、符合代数式的书写要求，原书写正确，故此选项符合题意；
C、带分数应写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意；
D、字母与字母相乘时，通常简写成“•”或者省略不写，原书写错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
3．（真题•高淳区期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式100﹣9.8x的实际意义 用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱 ．
【分析】根据题意结合图片得出代数式100﹣9.8x的实际意义．
【解答】解：代数式100﹣9.8x的实际意义为：用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱．
故答案为：用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱．
【点评】此题主要考查了代数式，结合题意利用图片得出是解题关键．
二．列代数式（共3小题）
4．（2022春•鼓楼区校级月考）某种产品的原料进行价格调整，现有三种方案：
（1）第一次提价p%，第二次降价p%；
（2）第一次提价2p%，第二次降价p%；
（3）第一次提价2p%，第二次降价2p%．
其中p是正数，三种方案中哪种方案最后定价最低？（ ）
A．第（1）种B．第（2）种
C．第（3）种D．三种方案价格一样
【分析】先设原价为x，可得方案一的定价为（1+p%）（1﹣p%）x，方案二的定价为（1+2p%）（1﹣p%）x，方案三的定价为（1+2p%）（1﹣2p%）x，比较即可求解．
【解答】解：设原价为x，则
方案一的定价为（1+p%）（1﹣p%）x，方案二的定价为（1+2p%）（1﹣p%）x，方案三的定价为（1+2p%）（1﹣2p%）x，
∵（1+p%）（1﹣p%）x﹣（1+2p%）（1﹣p%）x
＝（1﹣p%）x（﹣p%）
＝﹣p%（1﹣p%）x，
显然，﹣p%（1﹣p%）x＜0，
∴方案一的定价比方案二的定价低，
∵（1+p%）（1﹣p%）x﹣（1+2p%）（1﹣2p%）x
＝[1﹣（p%）2]x﹣[1﹣（2p%）2]x
＝3（p%）2x，
显然，3（p%）2x＞0，
∴方案三的定价比方案一的定价低，
∴方案三最后定价最低，
故选：C．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是先表示出每种方案的定价，再比较大小．
5．（2022•邳州市一模）周末小明与同学相约在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的菜单总共为10个汉堡，x杯饮料，y份沙拉，则他们点的B餐份数为（ ）
A．10﹣xB．10﹣yC．x﹣yD．10﹣x﹣y
【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份汉堡，根据题意可得点A餐10﹣x，从而可求B餐的份数．
【解答】解：∵x杯饮料则在B和C餐中点了x份汉堡，
∴点A餐为10﹣x，
∴y份沙拉，则点C餐有y份，
∴点B餐的份数为：10﹣（10﹣x）﹣y＝x﹣y，
故选：C．
【点评】本题考查列代数式；能够根据题意，以意大利面为依据，准确列出代数式是解题的关键．
6．（真题•泰州期末）下列关于“代数式4x+2y”的意义叙述正确的有（ ）个．
①x的4倍与y的2倍的和是4x+2y；
②小明以x米/分钟的速度跑了4分钟，再以y米/分钟的速度步行了2分钟，小明一共走了（4x+2y）米；
③苹果每千克x元，橘子每千克y元，买4千克橘子、2千克苹果一共花费（4x+2y）元．
A．3B．2C．1D．0
【分析】按照代数式的意义和运算顺序判断各项．
【解答】解：“代数式4x+2y”的意义是x的4倍与y的2倍的和，故①正确；
将“代数式4x+2y”赋予实际意义，可以是小明跑步速度为x米/分钟，步行的速度为y米/分钟，则小明跑步4分钟后步行2分钟，一共走了（4x+2y）米，故②正确；
还可以是苹果每千克x元买了2千克，橘子每千克y元买了4千克，则一共花费（2x+4y）元，故③错误．
故正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．注意掌握代数式的意义．
三．规律型：数字的变化类（共4小题）
7．（2022春•邗江区校级月考）我们将如图所示的两种排列形式的点数分别称作“三角形点数”（如1，3，6，10…）和“正方形点数”（如1，4，9，16，…）．在小于300的点数中，设最大的“三角形点数”为m，最大的“正方形点数”为n，则m+n的值为（ ）
A．589B．565C．556D．532
【分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n＝，第n个正方形数为n2，据此可以得出最大的三角形数和正方形数，即可以求得m和n的值，从而可以计算出m+n的值．
【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n＝，第n个正方形数为n2，
当n＝23时，＝276＜300，当n＝24时，＝300，
所以最大的三角形数m＝276；
当n＝17时，n2＝289＜300，当n＝18时，n2＝324＞300，所以最大的正方形数n＝289；
则m+n＝276+289＝565，
故选：B．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现三角形数和正方形数的变化特点，求出m、n的值．
8．（真题•江阴市期末）将﹣1，2，﹣2，3按如图的方式排列，规定（m，n）表示第m排左起第n个数，则（5，4）与（21，7）表示的两个数之积是（ ）
A．﹣2B．4C．﹣4D．6
【分析】通过观察发现，所给的数分别是﹣1，2，﹣2，3四个数循环摆放，每行分别有1个数，2个数，3个数，求出前20行共有10×（1+20）＝210个数，可得第21行的第一个数是﹣2，由此可求（21，7）是﹣1，又由（5，4）是2，即可求解．
【解答】解：由所给的数，每行分别有1个数，2个数，3个数，
∴前20行共有10×（1+20）＝210个数，
通过观察发现，所给的数分别是﹣1，2，﹣2，3四个数循环摆放，
∵210÷4＝52…2，
∴第20行的最后一个数2，
∴第21行的第一个数是﹣2，
∴（21，7）是﹣1，
∵（5，4）是2，
∴（5，4）与（21，7）表示的两个数之积是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查数字的变化规律，能根据所给数的特点，找到数的循环规律是解题的关键．
9．（真题•徐州期末）下列一组数：1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1，2，…其中第2022个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】不难发现这组数以1，2，3，4，3，2，这6个数不断循环出现，则2022÷6＝372，从而可判断第2022个数．
【解答】解：由题意得：这组数以1，2，3，4，3，2，这6个数不断循环出现，
∵2022÷6＝372，
∴第2022个数是2．
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律．
10．（真题•句容市期末）观察下列两列数：
第一列：2，4，6，8，10，12，……
第二列：2，5，8，11，14，17，……
通过探究可以发现，第1个相同的数是2，第2相同的数是8，…．则第2022个相同的数在第一列中是第（ ）个．
A．6062B．6064C．6066D．6068
【分析】根据探究发现：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8，…，第n个相同的数是2+6（n﹣1）＝6n﹣4，进而可得n的值．
【解答】解：第1个相同的数是2，
第2个相同的数是8＝2+6，
第3个相同的数是14＝2+6×2，
第4个相同的数是20＝2+6×3，
…，
第n个相同的数是2+6（n﹣1）＝6n﹣4，
所以n＝2022时，6×2022﹣4＝12128，
则12128在第一列中的12128÷2＝6064位，
故选：B．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现第n个相同的数的规律．
四．规律型：图形的变化类（共3小题）
11．（真题•建湖县期末）如图所示的图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，若要得到604个圆，则为第（ ）个图形．
A．200B．201C．202D．302
【分析】观察图形的变化可知：第1个图形中圆的个数为4；第2个图形中圆的个数为4+3＝7；第3个图形中圆的个数为4+3+3＝10；进而发现规律，即可得第n个图形中圆的个数，从而可求得到604个圆时，n的值．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中圆的个数为4；
第2个图形中圆的个数为4+3＝4+3×1＝7；
第3个图形中圆的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；
…
则第n个图形中圆的个数为4+3×（n﹣1）＝3n+1．
当有604个圆时，得3n+1＝604，
解得：n＝201．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律．
12．（真题•宣化区期末）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，记第1个图形中总的点数为S2＝3，第2个图形中总的点数为S3＝6，依次为S4＝9，S5＝12．以下说法错误的是（ ）
A．S7＝18B．S11＝30
C．若Sn＝60，则n＝21D．若Sn+Sn+1＝57，则n＝11
【分析】根据已知的图形中点的个数得出变化规律，逐项分析可得答案．
【解答】解：第1个图形中总的点数为S2＝3＝3×（2﹣1），
第2个图形中总的点数为S3＝6＝3×（3﹣1），
第3个图形中总的点数为S4＝9＝3×（4﹣1），
第4个图形中总的点数为S5＝12＝3×（5﹣1），
……，
故第n个图形中的点数为Sn+1＝3×（n+1﹣1）＝3n，
所以S7＝3×6＝18，故A正确，不符合题意；
S11＝3×10＝30，故B正确，不符合题意；
若Sn＝60，则n＝21，故C正确，不符合题意；
若Sn+Sn+1＝57＝27+30，则n＝10，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
13．（真题•锦江区校级期末）下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，…，按此规律排列，则第10个图形中小圆的个数为（ ）
A．37B．40C．41D．42
【分析】由图形可知：第①个图形有5个小圆，第②个图形有5+4＝9个小圆，第③个图形有5+4+4＝13个小圆，…，由此得出第n个图形中小圆的个数为5+4（n﹣1）＝4n+1，由此进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵第①个图形有5个小圆，
第②个图形有5+4＝9个小圆，
第③个图形有5+4+4＝13个小圆，
…，
∴第n个图形中小圆的个数为5+4（n﹣1）＝4n+1，
∴第10个图形中小圆的个数为4×10+1＝41．
故选：C．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．
【过关检测】
一．选择题（共11小题）
1．（2019秋•邓州市期末）关于代数式“4a”意义，下列表述错误的是（ ）
A．4个a相乘B．a的4倍C．4个a相加D．4的a倍
【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．
【解答】解：A、4个a相乘用代数式表示a•a•a•a＝a4，故A选项符合题意；
B、a的4倍用代数式表示4a，故B选项不符合题意；
C、4个a相加用代数式表示a+a+a+a＝4a，故C选项不符合题意；
D、4的a倍用代数式表示4a，故D选项B不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．
2．（2019春•秦淮区期末）关于代数式x+1的结果，下列说法一定正确的是（ ）
A．比1大B．比1小C．比x大D．比x小
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：由于1＞0，
∴x+1＞x，
故选：C．
【点评】本题考查代数式，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
3．（真题•莲池区校级期末）下面式子中符合代数式书写要求的是（ ）
A．ab3B．2xy2C．D．x+3克
【分析】根据代数式的书写要求对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应该写成3ab，故本选项错误；
B、应写成xy2，故本选项错误；
C、可以，故本选项正确；
D、应该写成（x+3）克，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
4．（真题•亭湖区期末）用代数式表示“x的2倍与3的差”为（ ）
A．3﹣2xB．2x﹣3C．2（x﹣3）D．2（3﹣x）
【分析】先表示x的2倍为2x，然后再减去3即可．
【解答】解：由题意得，x的2倍与3的差表示为：2x﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
5．（真题•崇川区期末）有18m长的木料，要做成一个如图的窗框．如果窗框横档的长度为xm，窗框厚度忽略不计，那么窗户的面积是（ ）
A．x（9﹣x）m2B．x（9﹣1.5x）m2
C．x（9﹣3x）m2D．x（18﹣2x）m2
【分析】根据已知条件得到另一条边是＝（9﹣1.5x）（米），再根据长方形的面积公式计算．
【解答】解：结合图形，显然窗框的另一边是 ＝（9﹣1.5x）（米）．
根据长方形的面积公式，得：窗框的面积是x（9﹣1.5x）平方米．
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式．特别注意窗框的横档有3条边．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
6．（真题•东平县期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2021个图形中，上层黑色正方形的数量是（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量再减去n个黑色正方形即可．
【解答】解：根据图形变化规律可知：
第1个图形中黑色正方形的数量为2，则上层黑色正方形的个数为：2﹣1＝1，
第2个图形中黑色正方形的数量为3，则上层黑色正方形的个数为：3﹣2＝1，
第3个图形中黑色正方形的数量为5，则上层黑色正方形的个数为：5﹣3＝2，
第4个图形中黑色正方形的数量为6，则上层黑色正方形的个数为：6﹣4＝2，
...，
当n为奇数时，黑色正方形的个数为[3×（n+1）﹣1]，则上层黑色正方形的个数为：3×（n+1）﹣1﹣n＝（n+1），
当n为偶数时，黑色正方形的个数为（3×n），则上层黑色正方形的个数为：3×n﹣n＝，
∴第2021个图形中上层黑色正方形的数量是．
故选：C．
【点评】本题主要考查规律型：图形的变化类，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是解题的关键．
7．（真题•新吴区期末）由点组成的正方形，每条边上的点数n与总点数s的关系如图所示，则当n＝60时，计算s的值为（ ）
A．220B．236C．240D．216
【分析】观察可得规律：n每增加一个数，s就增加四个．
【解答】解：
n＝2时，s＝4＝1×4；
n＝3时，s＝8＝2×4；
n＝4时，s＝12＝3×4；
…；
n＝60时，s＝（60﹣1）×4＝236．
故选：B．
【点评】主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
8．（2019秋•无锡期中）下列各式：①1x；②2•3；③20%x；④a﹣b÷c；⑤；⑥x﹣5千克；其中，不符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据代数式书写要求判断即可．
【解答】解：①1x＝x，不符合要求；
②2•3应为2×3，不符合要求；
③20%x，符合要求；
④a﹣b÷c＝a﹣，不符合要求；
⑤，符合要求；
⑥（x﹣5）千克，不符合要求，
不符合代数式书写要求的有4个，
故选：B．
【点评】此题考查了代数式，弄清代数式的书写要求是解本题的关键．
9．（真题•滨湖区期末）今年苹果的单价比去年便宜了10%，已知今年苹果的单价是每千克a元，则去年苹果的单价是（ ）
A．10%aB．（1﹣10%）aC．D．
【分析】根据：去年的单价×（1﹣10%）＝今年的单价，代入数据可求得去年的单价．
【解答】解：由题意得，去年的单价×（1﹣10%）＝a，
则去年的单价＝．
故选：D．
【点评】本题考查列代数式，关键是知道今年的单价和去年单价的关系，从而列出代数式．
10．（真题•如东县期末）将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，…．按此规律，若2022是第m行第n个数，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝674，n＝1346B．m＝674，n＝1347
C．m＝675，n＝1348D．m＝675，n＝1349
【分析】第n行最后一个数是1+3（n﹣1），先求出第674行的最后一个数是2020，再求2022在第675行中的位置即可．
【解答】解：由题意可知，第n行最后一个数是1+3（n﹣1），
当2022＝1+3（n﹣1）时，n＝674…2，
∴第674行的最后一个数是2020，
∴2022是第675行的数，
∴m＝675，
∵2022﹣675+1＝1348，
∴n＝1348，
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，找到最后一个数的规律是解题的关键．
11．（2022•安宁市一模）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，…则1+3+5+7+…+2021＝（ ）
A．10102B．10112C．20202D．20212
【分析】观察等式左边的数和等式右边的底数之间的关系，知底数是左边数的中位数，从而得出结果．
【解答】解：由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，猜想：1+3+5+•••+（2n﹣1）＝n2，
验证：当n＝4时，1+3+5+7＝16＝42，当n＝5时，1+3+5+7+9＝25＝52，猜想成立，
∴2n﹣1＝2021，
解得：n＝1011，
∴1+3+5+7+…+2021＝10112．
故选：B．
【点评】本题以找规律为背景，考查了学生对于数学计算的熟练程度和归纳验证的能力，要求学生对于常见数的中位数、平均数、平方熟练掌握．
二．填空题（共4小题）
12．（2019秋•溧水区期中）已知一个等边三角形的边长为a，则3a所表示的实际意义是 这个等边三角形的周长 ．
【分析】根据题意所列代数式即可得结论．
【解答】解：因为等边三角形的边长为a，
所以3a所表示的实际意义是这个三角形的周长．
故答案为这个等边三角形的周长．
【点评】本题考查了代数式，解决本题的关键是根据代数式赋予其实际意义．
13．（2022春•鼓楼区校级期中）通过计算发现：22﹣21＝2，23﹣22＝22，24﹣23＝23……，则 21+22+23+…+22021﹣22022＝ ﹣2 ．
【分析】根据所给的等式可得：2n+1﹣2n＝2n，再利用这一规律进行求解即可．
【解答】解：∵22﹣21＝2，23﹣22＝22，24﹣23＝23……，
∴2n+1﹣2n＝2n，
∴21+22+23+…+22021﹣22022
＝22﹣21+23﹣22+24﹣23+…+22022﹣22021﹣22022
＝﹣21
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
14．（2022春•鼓楼区期中）如图，在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的长为x，宽为y，阴影部分面积为S，则S＝ x2﹣xy+6y2 （用含有x，y的代数式表示）．
【分析】用含有x，y的代数式表示长方形ABCD的面积，再减去六个小长方形的面积即可求解．
【解答】解：AD＝3y+x，AB＝x+2y，
长方形ABCD的面积＝（3y+x）（x+2y）＝x2+5xy+6y2，
∴S＝x2+5xy+6y2﹣6xy＝x2﹣xy+6y2．
故答案为：x2﹣xy+6y2．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是用含有x，y的代数式表示出AB和CD．
15．（2022春•盐都区期中）如图①是一块正方形纸板，边长为1，面积记为S1，沿图①的底边剪去一个边长为的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为S2，然后再沿同一底边依次剪去一块更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的）后得到图③，④，…，记第n块纸板的面积为Sn，则Sn+1﹣Sn＝ ﹣2﹣2n ．（用含n的代数式表示）
【分析】根据图形的变化归纳出S2﹣S1，S3﹣S2，S4﹣S3，…，Sn+1﹣Sn即可．
【解答】解：由题知，S2﹣S1＝﹣（）2，
S3﹣S2＝﹣（）2，
S4﹣S3＝﹣（）2，
…，
Sn+1﹣Sn＝﹣（）2＝﹣2﹣2n，
故答案为：﹣2﹣2n．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出Sn+1﹣Sn＝﹣2﹣2n是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
16．（2022春•丰县月考）观察以下一系列等式：
①21﹣20＝2﹣1＝20；
②22﹣21＝4﹣2＝21；
③23﹣22＝8﹣4＝22；
④ 24﹣23＝16﹣8＝23 ；
…
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式： 24﹣23＝16﹣8＝23 ；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式： 2n﹣2n﹣1＝2n﹣1 ；
（3）请利用上述规律计算：20+21+22+…+21000．
【分析】（1）根据已知规律写出④即可；
（2）根据已知规律写出第n个等式，利用提公因式法即可证明规律的正确性；
（3）写出第1001个等式，将这些等式相加，整理即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得，
第④个等式为：24﹣23＝16﹣8＝23；
故答案为：24﹣23＝16﹣8＝23；
（2）∵①21﹣20＝2﹣1＝20；
②22﹣21＝4﹣2＝21；
③23﹣22＝8﹣4＝22；
∴第n个等式为：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1；
证明：2n﹣2n﹣1
＝2n﹣1×（2﹣1）
＝2n﹣1；
故答案为：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1；
（3）∵21﹣20＝2﹣1＝20；
22﹣21＝4﹣2＝21；
23﹣22＝8﹣4＝22；
21001﹣21000＝21000；
∴原式＝21﹣20+22﹣21+23﹣22+…+21001﹣21000
＝21001﹣20
＝21001﹣1；
∴20+21+22+…+21000＝21001﹣1；
【点评】本题主要考查数字的变化规律，理解题意，找到序号和数字变化的关系是解题的关键．
17．（2022春•滨海县期中）观察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42……
（1）请你根据上面式子的规律直接写出第6个式子： 6×8+1＝72 ；
（2）探索以上式子的规律，试写出第n个等式（n为正整数），并证明你写的等式．
【分析】（1）根据所给的式子的形式进行求解即可；
（2）分析所给的式子的形式，不难得到第n个等式为：n（n+2）+1＝（n+1）2，把等式左边进行整理即可证明．
【解答】解：（1）由题意得：第6个等式为：6×8+1＝72；
故答案为：6×8+1＝72；
（2）第n个式子表达式为：n（n+2）+1＝（n+1）2．
左边＝n2+2n+1
＝（n+1）2
＝右边．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式的形式总结出存在的规律．
18．（真题•德州期中）（1）先观察下列等式，再完成题后问题：
＝﹣，＝﹣，＝﹣
①请你猜想：＝ ﹣ ．
②若a、b为有理数，且|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
求：+++…+的值．
（2）探究并计算：+++…+．
（3）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：++++++…+（直接写答案）．
【分析】（1）①根据题意类比得出 ＝﹣；
②先根据非负数的性质得出a、b的值，代入原式变形为1﹣+﹣+﹣…+﹣是解题的关键；
（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；
（3）由数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可．
【解答】解：（1）①得出 ＝﹣；
故答案为：﹣；
②∵|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2，
原式＝1﹣+﹣+﹣…+﹣
＝1﹣
＝；
（2）原式＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣ ）
＝×（1﹣）
＝；
（3）++++++…+
＝1﹣
＝．
【点评】此题考查数字的变化规律和图形的变化规律，从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，利用规律解决问题．