山东省临沂市第三中学北校区2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

这是一份山东省临沂市第三中学北校区2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45∘，腰和上底长均为2的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )
A. 2+ 2B. 4+2 2C. 8+4 2D. 16+8 2
2.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块喝冷饮降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为2cm的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心O(水没有溢出)，则原来高脚杯内水的体积是( ) A. 16π9cm3B. 32π9cm3C. 16π3cm3D. 64π9cm3
3.圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是( )
A. 34B. 12C. 34D. 3 34
4.已知m，n是不重合的直线，α,β,γ是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若α⊥γ,β⊥γ，则α//βB. m⊂α,n⊂α,m//β,n//β，则α//β
C. 若α⊥β,m⊥β，则m//αD. m//α,m⊂β,α∩β=n，则m/​/n
5.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( ) A. 35B. 33C. 35D. 45
6.如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A. 3010B. 12C. 32D. 1510
7.长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼．取一长方，如图长方体ABCD-A1B1C1D1，按平面ABC1D1斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥D1-ABCD称为阳马，余下的三棱锥D1-BCC2是由四个直角三角形组成的四面体称为鱉臑，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2，BC=3，AA1=4，按以上操作得到阳马，则该阳马的最长棱长为( )
A. 2 5 B. 5C. 29 D. 4 2
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是棱AA1、A1D1的中点，点P为底面四边形ABCD内(包括边界)的一动点，若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为( )
A. 2B. 5C. 6D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则( )
A. AC/​/平面A1BC1B. AD⊥平面A1BC1
C. A1C1⊥AD1D. 平面A1BC1⊥平面BB1D1D
10.如图，在四面体ABCD中，点P,Q,M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的为( )
A. AC//截面PQMNB. 异面直线PM与BD所成的角为60°
C. AC⊥BDD. BD⊥平面ACD
11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，将△ABE，△ADF分别沿AE，AF折起，使B，D两点重合于H，下列说法正确的是( )
A. 若把△CEF沿EF继续折起，C与H恰好重合 B. AH⊥EF
C. 四面体A-HEF的外接球体积为 6π D. 点H在面AEF上的射影为△AEF的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面α⊥平面β，a∩β=l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α(m,n是两条不同的直线)，则直线m与n的位置关系是 .(填“平行”、“相交”或“异面”)
13.如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边CA,AB,BC的中点，将▵ADE，▵BEF，▵CFD分别沿DE,EF,FD向上翻折至与平面DEF均成直二面角，得到几何体ABC-DEF.则二面角C-AB-E的余弦值为 ；几何体ABC-DEF的外接球表面积为 ．
14.在侧棱长为 2，底面边长为2的正三棱锥P-ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，M，N分别为PE和平面PAF上的动点，则BM+MN的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题13分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，M，N分别是BC，PC的中点．
(1)求证：MN //平面PAB；
(2)求证：BC⊥AN．
16. (本小题15分)如图，平面ABCD⊥平面DBNM，且四边形ABCD与四边形DBNM是正方形．
(1)求证：平面ACN⊥平面DBMN；
(2)若AB=2，求三棱锥D-MAC的体积．
17. (本小题15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC．
(1)若CD⊥PB，AB⊥BC.求证：CD⊥PA；
(2)若E，F分别在棱AC，PA上，且AE=EC，PF=3AF，问在棱PB上是否存在一点D，使得CD//平面BEF.若存在，则求出PDDB的值；若不存在.请说明理由．
18. (本小题17分)如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，E是PC上的一点，PE=2EC，PC⊥平面BED，PA=2，
(1)求AC的长；
(2)若平面APB⊥平面CPB，试求PB与平面PDC所成角的正弦值．
19. (本小题17分)如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,∠ABC=90∘,AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将ΔADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合)．
(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；
(2)是否存在点N，使得二面角B-EN-M的余弦值 66？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．
高一数学6月月考答案和解析
1. C 2. A 3. C 4. D 5. D 6. A 7. C 8. B
【解答】解：在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，取 BC中点 G，连接 AG,AD1,D1G，如图，
因E、 F分别是棱 AA1、 A1D1的中点，则 EF//AD1，
而EF⊂平面 BEF， AD1不在平面BEF上，则有AD1//平面 BEF，
因 BC//AD//A1D1，则 BG//D1F，而 BG=D1F，则有四边形 BGD1F为平行四边形，有 D1G//BF，又 BF⊂平面 BEF， D1G不在平面BEF上，
于是得 D1G//平面 BEF，而 AD1∩D1G=D1， AD1,D1G⊂平面 AD1G，
因此，平面 AD1G//平面 BEF，直线D1P与平面BEF无公共点，
则线段 AG是点 P在底面 ABCD内的轨迹， AG= AB2+BG2= 22+12= 5，
所以点 P的轨迹长度为 5．
9.【答案】AD 10.【答案】AC 11.【答案】ABC
【解答】解：如图：因为HE=HF=CE=CF，故把△CEF沿着EF继续折起，C与H恰好重合，A正确；由题意可知HG⊥EF，AG⊥EF，又HG∩AG=G，HG,AG⊂平面AGH，∴EF⊥平面AGH，又AH⊂平面AGH，所以AH⊥EF，B正确；对于C，由翻折的性质可知，AH，HE，HF两两垂直，将其补成长方体，
则长方体外接球和四面体外接球相同，其体对角线长l= 22+1+1= 6，
所以长方体外接球的半径为R= 62，故外接球的体积为V=43π·( 62)3= 6π，故C正确；对于D，因为AH，HE，HF两两互相垂直，所以点H在平面AEF上的射影为△AEF的垂心，故D错误；
12.【答案】平行 13.【答案】- 55；20π3 14.【答案】 3+12
【解答】解：取AC中点H，连接EH交AF于点O，证得EO⊥面PAO，
要使BM+MN的值最小，可得MN⊥平面PAF，可得MN⊥PO，
又可证明MN//EO，再把平面POE绕PE旋转，与面PAB共面，N',O'是N，O在旋转之后对应的点，
又可证得∠POE=90°，因为EH=12BC=1,EO=12EH=12，又因为PA=PB= 2,AB=2，
所以PA⊥PB,PE=12AB=1，所以sin∠OPE=12，即∠OPE=30°，所以∠MPN'=30°，
所以∠BPN'=45°+30°=75°，可得sin75°= 6+ 24，(BM+MN)min=BN'=PB⋅sin75°= 3+12．
故答案为： 3+12．
15.【答案】证明：(1)因为M，N分别是BC，PC的中点，所以MN/​/PB，而MN⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以MN/​/平面PAB；
(2)因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，且PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，
因为AN⊂平面PAC，所以BC⊥AN．
16.【答案】(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
因为平面ABCD⊥平面DBNM，平面ABCD∩平面DBNM=BD，AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥平面DBNM，又AC⊂平面ACN，所以平面ACN⊥平面DBMN．
(2)解：因为四边形DBNM是正方形，所以MD⊥BD．
因为平面ABCD⊥平面DBNM，平面ABCD∩平面DBNM=BD，MD⊂平面DBNM，
所以MD⊥平面ABCD．在正方形ABCD中，AB=2，所以AD=DC=2,DB=2 2，
所以在正方形DBNM中，MD=DB=2 2，
所以VD-MAC=VM-ACD=13×12×AD×DC×MD=4 23．

17.【答案】解：证明：(1)∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB，
又∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC，∴AB⊥平面PBC，
又CD⊂平面PBC，∴AB⊥CD，
∵CD⊥PB，AB∩PB=B，AB,PB⊂平面PAB，∴CD⊥平面PAB，∵PA⊂平面PAB，
∴CD⊥PA．
(2)存在，且PDDB=2，理由如下：如图，作PA的中点M，连接CM，DM，
由PF=3AF得PM=2FM，又∵PD=2DB，
∴DM//BF，DM⊄平面BEF，BF⊂平面BEF，∴DM//平面BEF，
又∵E，F分别为AC，AM的中点，
∴EF//CM，又CM⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CM//平面BEF，
∵CM∩DM=M，CM⊂平面CDM，DM⊂平面CDM，
∴平面BEF//平面CDM，∵CD⊂平面CDM，∴CD//平面BEF．
18.【答案】解：(1)设AC∩BD=F，连接EF，
∵PC⊥平面BED，EF⊂面BDE，
∴PC⊥EF，则△PAC～△FEC，
设AC=2a，则CF=a，CE=13PC= 4+4a23，
∴CEa=ACPC，即a= 2，∴AC=2 2．
(2)过点A作AG⊥PB于G，∵面APB⊥CPB，且APB∩面CPB=PB，
故AG⊥面PBC，又∵BC⊂面PBC，
∴BC⊥AG，又∵BC⊥PA，且AG∩PA=A，AG⊂面PAB，PA⊂面PAB，
∴BC⊥面PAB，AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB，
∴四边形ABCD为正方形，故AB=2，设点B到面PCD的距离为d，
∵AB/​/CD，AB⊄面PCD，所以AB/​/面PCD，∴点A到面PCD的距离即为点B到面PCD的距离，
可得d= 2，∴sinθ=dPB=12，故PB与面PCD所成角的正弦值为12．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵，，，EB，ED⊂平面．
∴平面．又平面，∴平面平面，
而平面，，且平面PEB∩平面=EB，
所以BC⊥平面PEB，而ME⊂平面PBE，∴BC⊥EM，
由，PM=MB知，
而BC∩PB=B，且PB，BC⊂平面PBC，可知平面，
又平面，∴平面平面．
(Ⅱ)假设存在点满足题意，过作MQ⊥EB于Q，
由知，
由(Ⅰ)得平面，所以平面，
过作于，连接，
由平面，且EN⊂平面，
故MQ⊥EN，而QR⊥EN，且QR∩QM=Q，QR，QM⊂平面MQR，
则EN⊥平面MQR，而MR⊂平面MQR，则，
即是二面角的平面角，不妨设，则，
在中，设()，由得，
即，得，∴，
依题意知，即，
解得，此时为的中点．
综上知，存在点，使得二面角的余弦值，此时为的中点．