期末复习模块02 数的认识—因数和倍数和分数篇-【期末精讲】最新五下数学典型题型精讲（原卷版+解析版）

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1、注重基础知识和基本技能的培养。人教社编的小学数学教材，注重基础知识和基本技能的培养。在教材中，学生可以系统地学习和掌握数学的基本概念、原理和方法。
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最新五年级数学下册典型例题系列之
期末复习专题二：数的认识—因数和倍数和分数篇
（原卷版）
编者的话：
《2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
本专题是期末复习专题二：数的认识—因数、倍数和分数篇。本部分内容包括因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数以及分数的部分内容等，包括期末常考典型例题，涵盖较广，部分内容和题型较复杂，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为八大篇目，欢迎使用。
【篇目一】因数和倍数基本题型。
【知识总览】
一、因数与倍数。
1.因数与倍数的定义：
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。
例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。
2.三点注意：
（1）因数与倍数是相互依存的：
在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。
（2）0不作为研究因数与倍数的对象。
倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。
二、求一个数的因数。
1.求一个数的因数的方法：
列乘法或除法算式。
2.因数的特征：
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
三、求一个数的倍数。
1.求一个数的倍数的方法：
用这个数依次乘非0自然数。
2.倍数的特征：
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。
【典型例题1】因数和倍数的定义。
1. 12÷2＝6，所以，( )是2倍数，2是12的( )。
2. 根据4×6＝24，我们说4和( )是( )的因数，( )是( )和6的倍数。
【典型例题2】求因数。
找出40的所有因数。
【典型例题3】求倍数。
若一个数的最小倍数是12，请写出这个数在50以内的倍数。
【典型例题4】因数和倍数综合。
一个数既是6的倍数，又是54的因数，这个数最小可能是( )，最大可能是( )。
【典型例题5】因数和倍数的实际应用。
小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？
【典型例题2】
体操表演队由48名同学组成，表演时要排成长方形队形，都可以怎样排？（至少写出3种排法）
【篇目二】2、5、3的倍数特征基本题型。
【知识总览】
一、2、5的倍数特征。
个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
2.个位上是0或5的数是5的倍数。
二、3的倍数特征。
1. 3的倍数的特征：
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2. 2、5、3倍数特征之间的联系：
三、奇数与偶数。
1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。
2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。
3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。
4.自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。
四、奇数与偶数的基本性质。
【典型例题1】2、5的倍数特征。
分一分。
【典型例题2】利用2、5的倍数特征填空。
有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是2的倍数，□里最大可以填( )。
【典型例题3】2、5倍数特征的实际应用。
食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？
【典型例题4】3的倍数特征。
要使207同时是2和3的倍数，里应填( )；要使307既含有因数3又是5的倍数，里应填( )。
【典型例题5】3的倍数特征的实际应用。
商店里有69个鸡蛋，每2个装一盒，能正好装完吗？每3个装一盒，能正好装完吗？
【典型例题6】利用倍数特征组数。
从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。
2的倍数有： 3的倍数有：
5的倍数有：
既是2的倍数又是3的倍数有：
既是2的倍数又是5的倍数有：
既是3的倍数又是5的倍数有：
既是2、3的倍数，又是5的倍数有：
【典型例题7】奇数和偶数。
在0、1、2、3、4、5、6、7、8中，奇数是：( )；偶数是：( )。
【典型例题8】奇数和偶数的性质。
用“偶数”和“奇数”填空。
偶数+偶数=（ ）
奇数+奇数=（ ）
（ ）+偶数=奇数
偶数×偶数=（ ）
奇数×（ ）=偶数
奇数-（ ）=偶数
【典型例题9】奇数和偶数的实际应用。
晚上，平平打开灯做作业，淘气的弟弟跑过来，一下子按了27下电灯的开关，请问现在灯是亮了还是不亮？
【典型例题10】连续偶数或奇数的求法。
1.如果三个连续偶数的和是84，最大的偶数是多少？
2.三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？
【典型例题11】倍数特征的复杂应用。
1.在3□2□中，□里可以填人适当的数字，使组成的四位数既是3的倍数又是5的倍数，这个数最大是多少？
2.如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？
3.一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？
【篇目三】质数与合数基本题型。
【知识总览】
一、质数与合数。
质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的：
1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。
注意：
①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。
②最小的质数是2，没有最大的质数。
2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。
注意：
①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。
②最小的合数是4，没有最大的合数。
3. 注意：0、1既不是质数，也不是合数。
【典型例题1】质数与合数。
在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有( )，质数有( )，奇数有( )，偶数有( )。
【典型例题2】质数的分解。
在括号里填上适当的质数。
15＝( )×( ) 20＝( )＋( )＋( )
【典型例题3】质数和合数综合应用。
一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是偶数，这个数最大是( )。
【典型例题4】猜数问题。
小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？
【典型例题5】质数的复杂应用。
（1）两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？
（2）一块长方形的菜地的周长是28米，长和宽的米数是不同的质数。这块菜地的面积是多少平方米？
【典型例题6】分解质因数及其实际应用。
1.将102分解质因数。
2.已知甲数=2×3×5，那么甲数的因数共有多少个？
3.盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？
【篇目四】分数的认识和意义基本题型。
【知识总览】
一、分数的认识与意义。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
二、单位“1”的认识与确定。
一个物体，一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。
三、分数单位的认识与确定。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
四、分数与除法。
1.在除法中，被除数÷除数=商，在分数中，被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值，除号相当于分数线，用分数表示为。
2.求一个数占另一个数的几分之几，用一个数÷另一个数=。
【典型例题1】分数。
把一个图形看作单位“1”，用分数表示图中涂色部分的大小。

( ) ( ) ( )
【典型例题2】分数的意义。
kg表示把5kg平均分成（ ）份，取其中的（ ）份，即kg；也表示把（ ）kg平均分成（ ）份，取其中的（ ）份，即kg。
【典型例题3】单位“1”。
“长江流域可供开发的矿产资源约占”，这里是把( )看作单位“1”的量，表示( )是( )的。
【典型例题4】分数单位。
的分数单位是( )，再添( )个这样的分数单位是最小的质数。
【典型例题5】分数与除法。
在下面的括号里填上适当的数。
7÷12＝ （ ）÷8＝
6÷（ ）＝ ＝（ ）÷（ ）
【典型例题6】单位换算。
单位换算。
立方分米立方米 平方厘米平方分米
19分＝时 9角＝元 56平方米＝公顷
【典型例题7】分数与除法的实际应用。
把一根7米长的绳子平均截成9段，每段长( )米，每段占全长的( )。
【典型例题8】分数与除法的实际应用。
书法兴趣班有9人近视，38人视力正常，近视的人数占班级总人数的几分之几？视力正常的人数占班级总人数的几分之几？
【篇目五】分数的基本性质基本题型。
【知识总览】
一、分数的基本性质。
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
二、分小互化。
1.分数和小数的互化
（1）小数化为分数：有几位小数分母就是1后面带几个0，例如：0.1=，0.23=。
（2）分数化常见的为小数：先将分数化为除法，再计算成小数，例如=1÷4=0.25。
2.分数与小数之间的互化：
=0.5 =0.2 =0.625
=0.25 =0.4 =0.125
=0.75 =0.6 =1.375
=0.0625 =0.8 =0.875
=0.04 =0.08 =0.12 =0.16
三、分数化有限小数。
判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
【典型例题1】分数的基本性质。
看图填分数。
【典型例题2】分数的基本性质。
根据分数的基本性质，在下面的括号里填一填。

【典型例题3】分数基本性质的应用。
在下面的括号里填上适当的数。
。
【典型例题4】分数基本性质的应用。
1.一个分数是，如果把它的分子减去15，要使这个分数的大小不变，分母应减去几？
2.如果的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应该加上( )。
【典型例题5】分数与小数的互化。
把下面的小数化成分数（最简分数）或把分数化成小数。
0.6＝( ) 0.18＝( )
＝( ) ＝( )
【典型例题6】分数小数大小比较。
1.在0.6、、0.66，中，最大的数( )，最小的( )。
2.在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( )3.25 ( )
( ) ( )0.825
【典型例题7】分数与有限小数。
在、中，能化成有限小数的是( )，化成的有限小数是( )。
【篇目六】分数的分类基本题型。
【知识总览】
一、分数的分类。
1.真分数的意义和特征：分子比分母小的分数叫做真分数. 真分数小于1。
2.假分数的意义和特征：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。
3.带分数的意义和特征：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。
二、假分数与带分数互化。
1.假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变。
2.带分数化成假分数的方法：带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子。
【典型例题1】
把下列各数填入相应的圈内。
6 7 45
假分数 真分数 带分数
【典型例题2】
分数单位是的最小假分数是( )，最大真分数是( )。
【典型例题3】
在数轴上面的里填上假分数，在下面的里填上带分数。
【典型例题4】
如果是一个真分数，a最小是( )；如果是一个假分数，a最大是( )。
【典型例题5】
假分数与带分数互化。


【篇目七】约分和通分基本题型。
【知识总览】
一、约分。
1.约分：
利用分数的基本性质，将分子和分母同时除以同一个非零的数，这个过程叫做约分。
2.最简分数：
一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。
（互质数：只有公因数1的两个数。）
3.约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分，或者多约几次，直到互质再停，注意强调互质再停止约分。
二、通分。
1.通分：
将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。
2.通分的方法
（1）利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数；
（2）计算每个分数的分母化为最小公倍数时的变化情况，分子也随之变化。
注意：通分也不改变分数的大小。
【典型例题1】
化简下列各分数。

【典型例题2】
是以分母为12的最简真分数，则自然数可能是( )。
【典型例题3】
如果一个最简真分数，分子分母的和是9，那么这样的最简真分数有( )个。
【典型例题4】
分数单位是的最简真分数有( )个。
【典型例题5】约分的复杂应用。
1.一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是( )。
2.一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是( )。
3.一个分数的分母比分子大24，约分后是，这个分数是。
4. 的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？
【典型例题6】
把下面的各组分数通分。
和 和 和
【典型例题7】
1.在括号填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( ) ( ) ( )
2. 在、和这三个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。
3. 王、张、李三位师傅加工同一种零件，王师傅3小时加工13个，张师傅4小时加工17个，李师傅5小时加工21个，请把三位师傅的工作效率按从小到大排列。
【篇目八】最大公因数和最小公倍数基本题型。
【知识总览】
一、最大公因数。
1.最大公因数的定义
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数
2.求两个数的最大公因数的方法：
（1）列举法；（2）短除法
3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。
注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。
二、最小公倍数。
1.最小公倍数的定义：
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2.求最小公倍数的方法：
（1）列举法；（2）短除法。
3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。
注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。
三、分解质因数求最大公因数和最小公倍数。
分解质因数求最大公因数和最小公倍数：
求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。
四、最大公因数和最小公倍数的特殊情况。
1.公因数只有1的两个数，叫做互质数。
2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
3.当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
【典型例题1】最大公因数。
求下列每组数的最大公因数。
36和48 13和78 12和16
【典型例题2】最小公倍数。
求下面各组数的最小公倍数。
36和18 72和64 12和11
【典型例题3】分解质因数。
如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【典型例题4】三个数的最大公因数和最小公倍数。
求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
13、39和117 42、56和84 240、840和360
【典型例题5】求最大公因数和最小公倍数。
1. b和t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
2.如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（ ）。
A．m B．9 C．n D．mn
3. 72÷9＝8，72和9的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
4. 3和9的最小公倍数是( )
【典型例题6】分线段问题。
用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？
【典型例题7】分长方形问题。
选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？
【典型例题8】分配问题。
篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？
【典型例题9】日期问题。
1.我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？
2.甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
【典型例题10】同余数问题。
现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？
【典型例题11】同差问题。
有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块?
7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车