专题06 平面向量（15区新题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

这是一份专题06 平面向量（15区新题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共8页。试卷主要包含了填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．（2024·上海嘉定·统考一模）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据向量坐标的线性运算可得答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
2．（2024·上海长宁·统考一模）设向量，若∥，则 .
【答案】2
【分析】根据向量平行的坐标表示分析求解.
【详解】因为∥，则，解得.
故答案为：2.
3．（2024·上海宝山·统考一模）已知向量，，若，则实数
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积与向量垂直的关系，结合坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，， ，
所以，解得.
故答案为：1.
4．（2024·上海杨浦·统考一模）已知向量，，则在方向上的投影为 .
【答案】
【分析】直接利用向量的投影公式计算即可.
【详解】向量，，
则在方向上的投影为.
故答案为：
5．（2024上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则
【答案】0
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】∵，，∴，
∴.
故答案为：0.
6．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得，结合投影向量公式，求得，即可求解.
【详解】由向量，，可得，可得，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
7．（2024·上海闵行·统考一模）若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】不妨设，，，其中、，根据平面向量数量积的坐标运算可得出、的值，求出的值，再利用平面向量数量积的坐标运算结合两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】不妨设，，，其中、，
则，所以，或，
，所以，或，
所以，，
因为，
当时，；
当时，；
当时，.
所以，的所有可能的值组成的集合为.
故答案为：.
8．（2024·上海青浦·统考一模）已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】为在上的投影向量，得到，计算得到答案.
【详解】为在上的投影向量，故，，
故.
故答案为：.
9．（2024·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】先由数量积的定义推得，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解.
【详解】依题意，设与的夹角为，，
因为，，所以，即，
则，所以，
因为对任意的，都有成立，
所以，即，即对于恒成立，
故，又，解得，
综上，，则的最小值为.
故答案为：.
10．（2024上·上海虹口·高三统考期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ．
【答案】3
【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可.
【详解】由，得向量、、分别看作是以为起点，
以为终点的向量，且是边长为2的正三角形，为正的中心，

由对任意的，均有，得向量、、是以为起点，
各边中点为终点的向量，则，
所以.
故答案为：3
【点睛】思路点睛：涉及向量的模探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答.
二、问答题
11．（2024·上海嘉定·统考一模）已知三角形，，三角形的面积，
(1)求角的值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)或
【分析】⑴根据求得，根据，求得，联立两式求角的值；
⑵由求得，结合角的范围与的正负确定角的值，分两种情况利用正弦定理求值.
【详解】（1）根据，有，即，
又因为，，即，
所以，所以，即，
因为，所以
（2）由，有，，
又因为,，结合，有，即，
所以或，即或；
因为，，两值都符合题意，所以：
当，由正弦定理有，
即，，解得；
当，由正弦定理有，
即，，解得.
综上：时，；时，.
12．（2024·上海奉贤·统考一模）已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点，求的取值范围；
(3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在点，使得//，理由见解析
【分析】（1）由题意计算即可得；
（2）由设出点坐标，表示出，结合与点坐标范围计算即可得.
（3）设出直线方程后联立得一元二次方程，由直线与椭圆交于不同的两点可得该方程，并由方程中的韦达定理表示出直线斜率，假设存在该点，则有，借此设出直线方程，则该直线与椭圆必有焦点，即联立后有，结合前面所得可计算出的范围.
【详解】（1）由题意，得，，所以，
则椭圆的标准方程为；
（2）设动点，，，
，
，所以的取值范围为；
（3）显然直线的斜率存在，故可设直线，、，
联立， 消去得，
，即①，
则，，
则，，
则，
故，
若，则有，
设直线为，
联立，消去有，
要使得存在点，则，
整理得，
故②，
由①②式得，，
则，解得，
所以当时，不存在点，使得.