专题08 空间向量与立体几何（15区新题速递）（学生卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

这是一份专题08 空间向量与立体几何（15区新题速递）（学生卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共6页。试卷主要包含了空间几何体，空间向量与立体几何等内容，欢迎下载使用。

一、点、直线、平面之间的位置关系
1．（2024·上海嘉定·统考一模）已知四面体．分别对于下列三个条件：
①；②；③，
是的充要条件的共有几个（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024·上海闵行·统考一模）已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ．
3．（2024·上海普陀·统考一模）图1所示的是等腰梯形，，，，于点，现将沿直线折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示.
(1)若，求证：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.
二、空间几何体
4．（2024·上海长宁·统考一模）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·上海闵行·统考一模）已知圆锥的底面周长为，母线长为3，则该圆锥的侧面积为 ．
6．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为 ．
7．（2024·上海崇明·统考一模）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ．
8．（2024·上海奉贤·统考一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体中，平面，．
(1)若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积；
(2)若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小．
9．（2024·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，
(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；
(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．
10．（2024上·上海松江·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且．
(1)求证：平面；
(2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小．
三、空间向量与立体几何
11．（2024上·上海奉贤·高三校考期中）如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（ ）
A．与所成的角是
B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C．与平面所成的角的正弦值是
D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为
12．（2024上·上海·高三上海市进才中学校考期中）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．

13．（2024·上海奉贤·统考一模）在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ．
14．（2024·上海崇明·统考一模）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为 ．
15．（2024·上海长宁·统考一模）若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
16．（2024上·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面.
(1)求证：为的中点；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（2024上·上海虹口·高三校考期中）如图，三棱锥中，，，，E为的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求平面和平面所成的锐二面角．
18．（2024上·上海·高三上海市行知中学校考期中）如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.
(1)判断直线与直线的位置关系并证明；
(2)求直线与平面所成的角的大小.
圆形截面
正方形截面
矩形截面
条件
r为圆半径
a为正方形边长
h为矩形的长，b为矩形的宽，
抗弯截面系数