专题11 排列组合与二项式（15区新题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

这是一份专题11 排列组合与二项式（15区新题速递）（教师卷）- 2024年高考数学一模试题分类汇编（上海专用），共6页。试卷主要包含了排列组合，二项式定理等内容，欢迎下载使用。

一、排列组合
1．（2024上·上海虹口·高三统考期末）将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为 ．（结果用分数表示）
【答案】
【分析】根据排列组合相关知识直接计算求解.
【详解】将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，共有种方案，
乙两人安排在同一天，共有，
所以甲、乙两人安排在同一天的概率为.
故答案为：
2．（2024上·上海浦东新·高三统考期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）．
【答案】0.25
【分析】由题意先求出事件总数，再求出恰好有一件二等品的事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】从这批产品中抽取3件，则事件总数为，
其中恰好有一件二等品的事件有，
所以恰好有一件二等品的概率为.
故答案为：0.25
3．（2024·上海长宁·统考一模）将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有 种不同排法.
【答案】12
【分析】利用捆绑法，先将甲乙看成一个整体，再与剩余学生排列.
【详解】先将甲乙看成一个整体，共有种不同排法，
再与剩余学生排列，共有种不同排法，
所以共有种不同排法.
故答案为：12.
4．（2024·上海虹口·统考一模）第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为 ．（结果用分数表示）
【答案】/
【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】“甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动”共有种可能，
“甲同学参加连续两天活动”共有种可能，
故甲同学参加连续两天活动的概率.
故答案为：.
5．（2024·上海金山·统考一模）从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为 （结果用数值表示）．
【答案】/0.4
【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可.
【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有，
所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种，
所以所抽到的两个数的和大于6的概率为.
故答案为：
6．（2024·上海闵行·统考一模）今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为 ．
【答案】
【分析】先确定值班天的人，有种选择，再将三个人全排即可，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】三人值班的天数分别为、、，先确定值班天的人，有种选择，
再将三个人全排即可，所以，不同的排法种数为种.
故答案为：.
7．（2024·上海徐汇·统考一模）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是 ．
【答案】
【分析】先排第一节，再利用插空法计算即可.
【详解】先排第一节有种排法，
再在其后排语数英中除第一节外的两科目，有种不同排列,
并形成3个空排艺术、体育两门科目，有种排法，
故不同的排课方法有种方法.
故答案为：24.
8．（2024·上海嘉定·统考一模）已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为 ．
【答案】
【分析】4个球有三个颜色，肯定有两个球同色，按同色的球的颜色分情况讨论，再结合古典概型概率的计算公式可求答案.
【详解】从11个球中随机取出4个球的取法有：.
又4个球有三种颜色，所以必定有且只有两个球同色.
若同色的两个球为红色，满足条件的取法有：；
若同色的两个球为黑色，满足条件的取法有：；
若同色的两个球为白色，满足条件的取法有：.
∴取出的4个球中三种颜色都有的概率为：
故答案为：
二、二项式定理
9．（2024·上海闵行·统考一模）已知，则 ．
【答案】
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】展开式的通项为，取得到.
故答案为：.
10．（2024·上海金山·统考一模）若，则 ．
【答案】
【分析】采用赋值法，令即可求得结果.
【详解】令，则，
所以，
故答案为：.
11．（2024·上海崇明·统考一模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】10
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．
【详解】由的展开式的通项公式为，，
令，得，
所以展开式中的系数为．
故答案为：10．
12．（2024·上海普陀·统考一模）设，若.则 .
【答案】4
【分析】由二项展开式通项公式可确定，可构造关于的方程，解方程求得结果.
【详解】展开式的通项公式为：，分别令，，，
则，即，解得：.
故答案为：4.
13．（2024·上海嘉定·统考一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
【答案】
【分析】设系数最大的项为，则可得，直接求解即可.
【详解】设系数最大的项为，
则，解得，
因为且为整数，
所以，此时最大的项为.
故答案为：
14．（2024·上海杨浦·统考一模）已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题得,，根据组合数公式和基本不等式即可求解.
【详解】,
=,
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为，
故答案为：.