古蔺县蔺阳中学校2024届高三下学期二诊模拟考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份古蔺县蔺阳中学校2024届高三下学期二诊模拟考试数学（理）试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则等于( )
A.B.C.D.
2．已知复数（i为虚数单位）,则z的共轭复数对应的点位于复平面的( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．设，则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．的展开式中的系数为( )
A.15B.6C.21D.9
5．已知，为钝角，，则( )
A.1B.C.2D.
6．已知不重合的两条直线m，l，平面，，且，，给出下列命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.
其中正确的命题是( ).
A.①④B.③④C.①②D.①③
7．已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为( )
A.B.C.D.
8．排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为( )
A.30B.60C.120D.336
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
10．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为( )
A.28B.29C.30D.31
11．双曲线的左､右焦点分别为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与曲线C在第一象限交于点P，且，则曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
12．已知，，，则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知，，则______.
14．已知x，y满足约束条件，则的取值范围为______.
15．定义在R上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则_______.
16．对于函数和，设，，若存在，使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为_____________.
三、解答题
17．在中，，.
（1）若，求；
（2）D为边上一点，且，求的面积.
18．镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按，，，，分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.
（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
（2）现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.
19．如图，在多面体中，四边形为菱形，且，平面，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20．已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设椭圆C的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为A，B，点M，N，为椭圆C上位于x轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程.
21．已知函数.
（1）当时，求在曲线上的点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有两个极值点，，证明：.
22．已知曲线C的极坐标程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程，（t为参数），曲线M的参数方程是（为参数）.
（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，P为曲线M上的动点，求三角形面积的最大值.
23．设函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意，关于x的不等式有解，求实数b的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：，，，.，，.
因此.故选：D
2．答案：C
解析：因为复数,
所以,其对应的点为,在第三象限.
故选：C.
3．答案：A
解析：由，可得，即；
由，可得或，即；
是的真子集，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A
4．答案：D
解析：的展开式中含项为：展开式中项与展开式中项的和，因此展开式中为，所以的展开式中的系数为9.故选：D
5．答案：B
解析：因为，所以，因为为钝角，
所以，则，
所以.
故选：B
6．答案：A
解析：对于①，画出图像如下图所示，
由图可知①正确.证明如下：由于，，所以，由于，所以.
对于②，画出图像如下图所示，由图可知②错误.
对于③，画出图像如下图所示，由图可知③错误.（和①图像相同）
对于④，画出图像如下图所示，由图可知④正确证明如下：由于，所以，由于，所以.故选：A
7．答案：C解析：如图，因为函数定义域是，排除A选项，
当，，排除B，
因为，所以函数为偶函数，根据函数图象不关于y轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项D.
故选：C.
8．答案：B
解析：将甲、乙连同两个座位捆绑在一起看成一个元素，丙连同一个座位捆绑在一起看成一个元素，
剩余5个座位形成6个空隙，从中选出2个空隙安排这两个元素，然后甲、乙可以交换顺序.
所以种不同坐法.故选：B
9．答案：B
解析：由三视图可知几何体的底面为腰为2，底边为的等腰三角形，高为，
设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为O，
连接，，，，，其中平面，O在直线上，
在中，，，
所以，所以，
所以的外接圆半径为，记三棱锥的外接球半径为R，则，在中，，解得，所以外接球的表面积.
故选：B
10．答案：A
解析：由题意，即，
所以，
而，所以，由题意令，而是单调递增的，且发现，，
所以满足不等式的最大正整数n为28.故选：A.
11．答案：A
解析：设切点为A，，连接，则，，
过点P作轴于点E，则，
故，
因为，
解得，
由双曲线定义得，
所以，
在中，由余弦定理得
，
化简得，
又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，
所以离心率.
故选：A.
12．答案：D
解析：设，则，
当时，，则，故在上单调递减，
因为，所以，所以，则，即.
设，则在上单调递增，因为，所以，即，
所以.故选：D.
13．答案：
解析：，，，
，，
，故答案为：.
14．答案：
解析：作出不等式组表示的平面区域如下图：
设，则k表示点与点连线的斜率，又，
所以，即的取值范围为.故答案为：.
15．答案：
解析：是定义在R上的奇函数，，
函数是定义在R上的偶函数，，
则，
所以，则的周期是4，
.
故答案为：.
16．答案：
解析：函数是上的单调递增函数，且，据此可知，
结合“零点相邻函数”的定义可得，则，
据此可知函数在区间上存在零点，
即方程在区间上存在实数根，
整理可得：，
令，，则，
根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又，，，则
据此可知实数a的取值范围是.故答案为：
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理及题设得
，故，解得，
又，所以.
（2）设，则.在中，由余弦定理得，
，即，①
在等腰中，有，②联立①②，解得或（舍去）.
所以为等边三角形，所以，
所以.
解法二：（1）同解法一.
（2）设，则，因为，
所以，由余弦定理得，得，
所以，解得或（舍去）.
所以为等边三角形，所以，
所以.
18．答案：（1）57.5；
（2）分布列见解析；
解析：（1）因为，
所以该板栗园的板栗质量的中位数在内.
设该板栗园的板栗质量的中位数为m，
则，解得，
所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.
（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗.
X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，
，
.
从而X的分布列为
故.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）如图，取的中点H，连结交于点O，连结、.
因为四边形为菱形，则.
又平面，平面，所以.
因为平面，平面，且，
所以平面.因为H、O分别为、的中点，所以，且；又，且.
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，即，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）取中点M，连接.因为菱形中，，所以为正三角形，又M为中点，所以，
因为，所以.因为平面，，平面，所以，.如图，
以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
不妨设，
则，，，，，
因为平面，所以为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，因为，，
所以，不妨令，得.
设平面与平面夹角为θ，
则，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意，得，.
又，，，
椭圆C的标准方程为
（2）由（1），可知，，.
据题意，直线的方程为
记直线与椭圆的另一交点为，设，.
，根据对称性，得.
联立，
消去x，得，其判别式，
，.①
由，得，即.②
由①②，解得，
，.
.
直线的方程为，即.
21．答案：（1）；
（2）单调性见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）由题可知，当时，，
，，切点为，切线的斜率为，
切线方程为：，即；
（2）对函数求导可得，.
当时，.则在上单调递增.
当时，.则，.
令，则，或.，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
(3)有两个极值，，
，是方程的两个不等实根，
则，，，
.
要证：.即证：.
不妨设，即证：.
即证：对任意的恒成立.
令，.则.
从而在上单调递减，故.
所以.
22．答案：（1）；；
（2）
解析：（1）由题意可知，直线l的直角坐标方程为.
（2）将直线l方程代入C的方程并整理得，
设A，B对应的参数分别为，，
则，，
设，
所以点P到直线l的距离，
所以当时，d的最大值，
即三角形面积最大值为.
23．答案：（1）；
（2）
解析：（1）当时，，，，解集为；
（2），，
而，
当时取等号，故，
对恒成立，
设，当或1时，，
，.
X
0
1
2
3
4
P