2023-2024学年人教版八年级下学期期末数学试卷（一）

这是一份2023-2024学年人教版八年级下学期期末数学试卷（一），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）2021年5月22日，杂交水稻之父袁隆平院士因病去世，他的团队培育的第三代杂交水稻双季亩产突破3000斤．为了考察A、B两块试验田中稻穗生长情况，从两块试验田分别抽取了200株稻穗进行单株称重．若要选出稻穗生长更均衡的实验田，需要关注以下哪个数据（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
4.（3分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形
B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形
6．（3分）一次函数y＝﹣2023x+2024的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（ ）
A．36°B．144°C．108°D．126°
9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
10．（3分）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②S△ABD＝6；
③当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝2x+b上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
13．（3分）如图是气象台预报我区4月10日至4月19日每天的最高气温折线图，由图中信息可知我区这10天最高气温的中位数为 ℃．
14．（3分）如图，在▱ABCD两对角线A，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△COD的周长是 ．
15．（3分）最简二次根式是同类二次根式，则a的取值为 ．
16．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为 ．
17．（3分）如图，在△ABC，∠A＝90°，AB＝AC．在△ABC内作正方形A1B1C1D1，使点A1，B1分别在两直角边AB，AC上，点C1，D1在斜边BC上，用同样的方法，在△C1B1C内作正方形A2B2C2D2；在△CB2C2作正方形A3B3C3D3…，若AB＝1，则正方形A2021B2021C2021D2021边长为 ．
三、解答题
18．（5分）计算：．
19．（7分）如果，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗？请说明理由．
20．（8分）为提高学生的爱国意识，陶冶爱国情操，某中学举行了以“厉害了，我的国”为主题的书法
绘画大赛，该校九年级共有三个班都参加了这次活动，三个班根据初赛成绩分别选出了10名同学
参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如下表所示：
收集数据：
数据分析：
（1）请填写下表：
得出结论：
（2）如果在每个班级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个班级的实力更强一些？请简要说明理由．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．
（1）证明：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．
22．（10分）某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作A、B两款挂件来进行销售．已知制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元．已知A、B两款挂件的售价如下表：
（1）求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？
（2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？
23．（10分）已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．
（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，
①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是 ．
②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．
（2）点P、Q分别在CD和BC的延长线上，当∠PAQ＝∠B时，CQ和DP会不会相等？如能相等请直接写出此时∠B应满足的条件，如不能相等这说明理由．
24．（12分）在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）已知D、E（2，4）分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据形如（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．
【解答】解：A、当a+1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、当a﹣1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、当a＝0时，a2﹣1＝﹣1＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、∵a2≥0，∴a2+2＞0，是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．（）3＝3，故此选项不合题意；
B．÷＝，故此选项不合题意；
C．﹣无法合并，故此选项不合题意；
D．×＝3，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）2021年5月22日，杂交水稻之父袁隆平院士因病去世，他的团队培育的第三代杂交水稻双季亩产突破3000斤．为了考察A、B两块试验田中稻穗生长情况，从两块试验田分别抽取了200株稻穗进行单株称重．若要选出稻穗生长更均衡的实验田，需要关注以下哪个数据（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵要选出稻穗生长更均衡的实验田，
∴需要关注数据的方差，
故选：C．
4.（3分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小．故注水过程的水的高度是先快后慢再快．
【解答】解：因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小，
所以注水过程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故选项C正确．
故选：C．
5．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形
B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，并对错误的举出反例即可．
【解答】解：如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项A不符合题意；
如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直，故选项B不符合题意；
如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意；
如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）一次函数y＝﹣2023x+2024的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵在一次函数y＝﹣2023x+2024中，k＝﹣2023＜0，b＝2024＞0，
∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
7.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意利用割补法求得△ABC的面积，利用勾股定理算出BC的长，再利用等面积法即可求得AD的长．
【解答】解：由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故选：D．
8．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（ ）
A．36°B．144°C．108°D．126°
【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解．
【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，
∴∠1＝2∠BAC＝36°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故选：D．
9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
10．（3分）已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：
①方程组的解为；
②S△ABD＝6；
③当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
其中正确的说法是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，故①正确，符合题意；
②把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，故②错误，不符合题意；
③点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），故③正确，符合题意；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣5 ．
【分析】根据被开方数为非负数进行解题即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x+5≥0，
解得：x≥﹣5，
故答案为：x≥﹣5．
12．（3分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝2x+b上的两点，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】利用一次函数的增减性判断即可．
【解答】解：在一次函数y＝2x+b中，
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵﹣1＜2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
13．（3分）如图是气象台预报我区4月10日至4月19日每天的最高气温折线图，由图中信息可知我区这10天最高气温的中位数为 16.5 ℃．
【分析】根据中位数的定义解答即可．
【解答】解：把这10天最高气温从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，17，故中位数为＝16.5（℃），
故答案为：16.5．
14．（3分）如图，在▱ABCD两对角线A，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△COD的周长是 29 ．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC+OD＝（AC+BD），再由平行四边形的对边相等可得AB＝CD＝11，继而代入可求出△OCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝11，
∴OC+OD＝（AC+BD）＝18，
∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝18+11＝29．
故答案为：29．
15．（3分）最简二次根式是同类二次根式，则a的取值为 ．
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a+1＝2，解得：a＝．
16．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为 （﹣2，4﹣2） ．
【分析】先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，即可得到点P的坐标．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
y＝x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4，
∴AO＝BO＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2，
∵PD＝BD＝2，
∴P（﹣2，4﹣2），
故答案为（﹣2，4﹣2）．
17．（3分）如图，在△ABC，∠A＝90°，AB＝AC．在△ABC内作正方形A1B1C1D1，使点A1，B1分别在两直角边AB，AC上，点C1，D1在斜边BC上，用同样的方法，在△C1B1C内作正方形A2B2C2D2；在△CB2C2作正方形A3B3C3D3…，若AB＝1，则正方形A2021B2021C2021D2021边长为 （）2021 ．
【分析】从特殊到一般探究规律后，利用规律即可解决问题；
【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为，
正方形A2B2C2D2的边长为×＝＝（）2
正方形A3B3C3D3的边长为××＝＝（）3
…，
正方形A2021B2021C2021D2021的边长为（）2021．
故答案为：（）2021．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
18．（5分）计算：．
【分析】先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：
＝﹣4+4﹣2×6
＝﹣4+4﹣12
＝﹣12．
19．（7分）如果，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗？请说明理由．
【分析】由BO是Rt△ABC斜边上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得OA＝OC＝OB，又由DO＝BO，即可证得四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，则可证得四边形ABCD是矩形．
【解答】解：四边形ABCD是矩形．
理由：∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB，
∵DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
20．（8分）为提高学生的爱国意识，陶冶爱国情操，某中学举行了以“厉害了，我的国”为主题的书法
绘画大赛，该校九年级共有三个班都参加了这次活动，三个班根据初赛成绩分别选出了10名同学
参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如下表所示：
收集数据：
数据分析：
（1）请填写下表：
得出结论：
（2）如果在每个班级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个班级的实力更强一些？请简要说明理由．
【分析】（1）分别根据众数、中位数以及算术平均数的定义与计算方法解答即可；
（2）根据平均数和中位数的意义解答即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）在九年级1班10名同学的决赛成绩中80分出现的次数最多，故众数为80分；
把九年级2班10名同学的决赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是85分，87分，故中位数为＝86（分）；
九年级3班的平均数为：（82+80+78+78+81+96+97+87+92+84）÷10＝85.5（分）；
故答案为：80，86，85.5；
（2）我认为九年级1班的实力更强一些，理由如下：
因为三个班的平均数相同，但九年级1班的中位数比其他两个班高，所以九年级1班的实力更强一些．（答案不唯一）．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．
（1）证明：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）先由勾股定理得BC＝12，再由三角形中位线定理得DE＝BC＝6，然后由平行四边形的性质得DE＝CF＝6，DF＝CE，再由勾股定理得DF＝，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴DE∥CF，
∵DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×12＝6，
∵四边形DECF是平行四边形，
∴DE＝CF＝6，DF＝CE，
∵D是边AC的中点，
∴CD＝AC＝×5＝，
∵∠ACB＝90°，CF是BC的延长线，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF＝＝＝，
∴四边形DECF的周长＝2（DE+DF）＝2×（6+）＝25．
22．（10分）某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作A、B两款挂件来进行销售．已知制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元．已知A、B两款挂件的售价如下表：
（1）求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？
（2）若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据表格中的数据和（1）中的结果，可以写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，再根据制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍，可以列出相应的不等式组，从而可以求出自变量的取值范围，再根据一次函数的性质，可以求得w的最大值．
【解答】解：（1）设制作一个A款挂件的成本为x元，制作一个B款挂件的成本为y元，
由题意可得：，
解得，
答：制作一个A款挂件的成本为7元，制作一个B款挂件的成本为5元；
（2）设安排m人制作A款挂件，则安排（40﹣m）人制作B款挂件，
由题意可得：w＝（12﹣7）×2m+（8﹣5）×3（40﹣m）＝m+360，
∴w随m的增大而增大，
∵制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍，
∴，
解得10≤m≤17，
∵m为整数，
∴10≤m≤17且m为正整数，
∴当m＝17时，w取得最大值，此时w＝377，40﹣m＝23，
答：w（元）与m（人）之间的函数表达式是w＝m+360（10≤m≤17且m为正整数），当安排17人制作A款挂件，23人制作B款挂件时，总利润最大，最大利润为377元．
23．（10分）已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．
（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，
①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是 AP＝AQ ．
②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．
（2）点P、Q分别在CD和BC的延长线上，当∠PAQ＝∠B时，CQ和DP会不会相等？如能相等请直接写出此时∠B应满足的条件，如不能相等这说明理由．
【分析】（1）①由菱形的性质得出BC＝CD，AB∥CD，证明AQ⊥BC，由菱形的面积公式可得出答案；
②过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于M，证明△AMQ≌△ANP（AAS），由全等三角形的性质可得出答案；
（2）过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，连接AC，可证△AMQ≌△ANP（AAS），可得MQ＝NP，又证△AMC≌△AND，可知AC＝AD，即可得出答案．
【解答】解：（1）①AP＝AQ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠B+∠QCD＝180°，
∵∠PAQ＝∠B，
∴∠PAQ+∠QCD＝180°，
∴∠APC+∠AQC＝180°，
∵AP⊥CD，
∴∠APC＝90°，
∴∠AQC＝90°，
∴AQ⊥BC，
∵S菱形ABCD＝BC•AQ＝CD•AP，
∴AP＝AQ，
故答案为：AP＝AQ；
②①中的结论仍然立，
证明：如图2中，过点作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，
∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，
∴S菱形ABCD＝BC•AM＝CD•AN，
∵ВС＝CD，
∴AM＝AN，
∵АВ∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠PAQ＝∠B，
∴∠PAQ+∠C＝180°，
∴∠AQC+∠APC＝180°，
∵∠AQM+∠AQC＝180°，
∴∠AQM＝∠APN，
在△AMQ和△ANP中，
，
∴△AMQ≌△ANP（AAS），
∴АP＝AQ；
（2）CQ和DP会相等，此时∠B＝60°，
理由如下；过点作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，连接AC，
由②可知△AMQ≌△ANP（AAS），
∴АP＝AQ，．MQ＝NP，
当CM＝DN时，MQ﹣MC＝NP﹣DN，
即CQ＝DP，
又∵AM＝AN，∠AMC＝∠AND，
∴△AM≌△AND，
∴CM＝CN，
∵AC＝AD，AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴∠B＝60°，
∴当∠B＝60°时，CQ和DP相等．
24．（12分）在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）已知D、E（2，4）分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过B作BG⊥OA于点G，在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得BG的长，则可求得B点坐标；
（2）由条件可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线DE的解析式；
（3）当OD为边时，则MO＝OD＝5或MD＝OD＝5，可求得M点坐标，由MN∥OD，且MN＝OD可求得N点坐标；当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，则可求得M、N的纵坐标，则可求得M的坐标，利用对称性可求得N点坐标．
【解答】解：（1）如图1，过B作BG⊥OA于点G，
∵BC＝3，OA＝6，
∴AG＝OA﹣OG＝OA﹣BC＝6﹣3＝3，
在Rt△ABG中，由勾股定理可得AB2＝AG2+BG2，即（3）2＝32+BG2，解得BG＝6，
∴OC＝6，
∴B（3，6）；
（2）由OD＝5可知D（0，5），
设直线DE的解析式是y＝kx+b
把D（0，5）E（2，4）代入得，解得：，
∴直线DE的解析式是y＝﹣x+5；
（3）当OD为菱形的边时，则MN＝OD＝5，且MN∥OD，
∵M在直线DE上，
∴设M（t，﹣t+5），
①当点N在点M上方时，如图2，则有OM＝MN，
∵OM2＝t2+（﹣t+5）2，
∴t2+（﹣t+5）2＝52，解得t＝0或t＝4，
当t＝0时，M与D重合，舍去，
∴M（4，3），
∴N（4，8）；
②当点N在点M下方时，如图3，则有MD＝OD＝5，
∴t2+（﹣t+5﹣5）2＝52，解得t＝2或t＝﹣2，
当t＝2时，N点在x轴下方，不符合题意，舍去，
∴M（﹣2，+5），
∴N（﹣2，）；
当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，
∴点M在直线y＝2.5上，
在y＝﹣x+5中，令y＝2.5可得x＝5，
∴M（5，2.5），
∵M、N关于y轴对称，
∴N（﹣5，2.5），
综上可知存在满足条件的点N，其坐标为（4，8）或（﹣5，2.5）或（﹣2，）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/19 21:27:26；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.cm；学号：27405248决赛成绩（单位：分）
九年级1班
80
86
88
80
88
99
80
74
91
89
九年级2班
85
85
87
97
85
76
88
77
87
88
九年级3班
82
80
78
78
81
96
97
87
92
84
平均数（分）
众数（分）
中位数（分）
九年级1班
85.5

87
九年级2班
85.5
85

九年级3班

78
83
手工制品
A款挂件
B款挂件
售价（元/个）
12
8
决赛成绩（单位：分）
九年级1班
80
86
88
80
88
99
80
74
91
89
九年级2班
85
85
87
97
85
76
88
77
87
88
九年级3班
82
80
78
78
81
96
97
87
92
84
平均数（分）
众数（分）
中位数（分）
九年级1班
85.5
80
87
九年级2班
85.5
85
86
九年级3班
85.5
78
83
手工制品
A款挂件
B款挂件
售价（元/个）
12
8