上海市复兴高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份上海市复兴高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了06，已知，则__________等内容，欢迎下载使用。
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知等差数列满足，则__________.
2.设复数满足（是虚数单位），则__________.
3.已知，则角是第__________象限的角.
4.已知复数满足，则__________.
5.已知，则__________.
6.记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了__________项.
7.已知，则向量在向量方向上的数量投影为__________.
8.在数列中，，则__________.
9.已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为__________.
10.在中，且，则的面积等于__________.
11.若正项等比数列满足：，则的最大值为__________.
12.如图，动点在以为直径的半圆上（异于），，且，若，则的取值范围为__________.
二､选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题4分，第15-16题5分）
13.“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
14.下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ）
A. B.
C. D.
15.等差数列中，已知，且，则数列前项和中最小的是（ ）
A.或 B. C. D.
16.如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（ ）
A.4 B. C. D.6
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
已知，且与的夹角为，设.
（1）求的值；
（2）若，求实数的值.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根.
（1）设满足方程，求；
（2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知是等差数列，是等比数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足.
（1）求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值；
（3）令，对任意实数，当时，有成立.将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值.
参考答案
一､填空题
1.1 2. 3.三 4.3 5.3 6.
7. 8. 9.或 10.或 11. 12.
11.【答案】2
【解析】数列是各项均为正数的等比数列，，
等比数列各项均为正数，，当且仅当时，取等号，
时，的最大值为2.故答案是：2.
12.【答案】
【解析】设，则，作则的延长线于点，
由余弦定理
所以，即，
因为，所以，所以
所以故答案为：.
二､选择题
13.C 14.D 15.C 16.C
15.【答案】C
【解析】等差数列中，已知，且，
设公差为，则，解得
.
令，可得，故当时，，当时，，
故数列前项和中最小的是，故选C.
16.【答案】C
【解析】因为为的中点，且.
所以
因为三点共线，所以，由图可知，，
所以
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：C
三､解答题
17.（1）（2）
18.（1）或（2）
19.（1）（2）
20.【答案】（1）见解析（2）（3）或9
【解析】（1）证明：由已知，
而函数在上是而函数，所以
（2）因为，所以，
两式相减，得所以，数列的通项公式为
（3）因为，
由题意，为的最大项，则，要使为最大值，则
则.得或，所以存在或9，使得成立
21.【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）函数
若，则与是相邻的最小值点和最大值点，
所以的最小正周期为，由，解得；
（2）
所以
所以或，
解得或，
又，得，所以，函数最小正周期，
令，即，解得或
若在上恰好有4个零点，则，
要使最小，则恰好为的零点，所以的最小值为；
（3）由题意，
因为，所以，当且仅当时取等号，
又因为函数的最大值为10，所以同时取得最大值1，
所以，所以，所以满足条件的的最小值为.