上海市民办南模中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份上海市民办南模中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了06，已知，则__________，已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知，则__________.
2.已知向量，则__________.
3.在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为__________.
4.已知复数满足：，则__________.
5.若向量的夹角，则__________.
6.在公差为正数的等差数列中，，若成等比数列，则数列的前10项和为__________.
7.已知平面向量与的夹角为，若，则在上的投影向量的坐标为__________.
8.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是__________.
9.已知数列满足：，且是严格增数列，则实数的取值范围是__________.
10.如图，在扇形中，，点在扇形内部，，，则阴影部分的面积为__________.
11.设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”；对于同一平面内的向量，给出下列结论：
①
②；
③
④若是单位向量，则.
以上所有正确结论的序号是__________.
12.欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：.记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为__________.
二､选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.在公差为的等差数列中，，则（ ）
A.1或2 B.1 C.-1 D.-2
14.下列函数在上严格减的是（ ）
A. B.
C. D.
15.已知复数在复平面内对应的点分别为（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ）
A. B. C.的周长 D.的面积
16.在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A.4 B. C.2 D.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
（1）求的值；
（2）记复数，求复数的模.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知向量，函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）若，求函数的值域.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式与单调增区间；
（2）若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图像的对称中心的坐标，并求当时，的最值.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列.
（1）已知等差数列的前项和为，且.
①若，求的通项公式，并写出的前5项；
②若，求数列的前50项的和；
（2）若，证明：对任意或，
，并求数列的所有项的和.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，求当且时，的值；
（2）设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量；
（3）已知为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
一､填空题
1. 2.1或2 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11.①④ 12.
11.【答案】①④
【解析】当共线时，，
当不共线时，，故①正确；
当时，时，，故②不正确；
当与共线时，则存在与不共线，
则，显然，故③错误；
当与不共线时，，
当与共线时，设，故④是正确.
综上，结论一定正确的是①④.
12.【答案】
【解析】在的整数中与不互质的数有，共有个，
所以与5互质的数有个，因此.
在的整数中，2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，
所以.
所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，则恒成立等价于恒成立，
即恒成立，所以，
令，则，
所以，且，
所以，所以，即实数的取值范围模
二､选择题
13.D 14.D 15.A 16.A
15.【答案】A
【解析】因为复数在复平面内对应的点分别为（为坐标原点），则，
由可得，
对于方程，则，解方程
可得，所以，
所以，中，由于不是定值，则的面积､均不为定值.故选：A.
16.【答案】A
【解析】因为，由正弦定理可得：，
再由余弦定理可得：，所以，三角形为直角三角形，角为直角，
因为，由三角形面积公式
所以，又，则，由余弦定理可得，
化简得：，所以，
因为，所以可得，因为
又三点共线，所以，且，
则，当且仅当等号成立.
三､解答题
17.（1）；（2）.
18.（1）（2）
19.（1）
（2）
20.【答案】（1）①的前5项依次为.
②（2）见解析
【解析】（1）设的公差为，
①由.得解得，
所以的前5项依次为.
②因为，则，
当时，可以是任意正整
数，所以数列的第项为，
由得解得，所以，
数列是首项为4､公差为2的等差数列，所以的前50项和为.
（2）证明：假设存在或使得，
当且时，因为，所以，得，这与矛盾，
同理且时也不成立，
当且时，设，因为，所以，
左边为奇数，右边为偶数，所以，
综上得，对任意或，
所以数列的所有项的和为.
21.【答案】（1）（2）和.（3）
【解析】（1）已知可得：，
所以，
因为，所以，所以，所以，
，
（2），
，
所以，所以与共线的单位向量为和.
（3），
因为为的相伴特征向量，
所以，解得，所以，
所以，
假设在的图象上是否存在一点，使得，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
令，令，
所以，
当时，；当时，，所以，
因为，所以当且仅当且时，成立，
此时，且，即点，
所以的图象上是存在一点，使得.