备战2024年高考数学考前3刷定天下（新高考通用）-专题05 数列（含数列新定义）（原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
3．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
二、解答题
4．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
5．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
7．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
8．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
9．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
一、单选题
1．（2024·山东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．156B．252C．192D．200
2．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A．B．0C．1D．2
3．（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·浙江·二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2024·河北石家庄·二模）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列有最小项，且有最大项B．使的项共有项
C．满足的的值共有个D．使取得最小值的为4
7．（2024·辽宁·一模）已知数列的首项为，且，则（ ）
A．存在使数列为常数列
B．存在使数列为递增数列
C．存在使数列为递减数列
D．存在使得恒成立
8．（2024·山东烟台·一模）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
9．（2024·辽宁沈阳·二模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列单调递减
B．若对任意，都有，则
C．若，则对任意，都有
D．若的最大项与最小项之和为正数，则
10．（2024·吉林延边·一模）与大家熟悉的黄金分割相类似的还有一个白银分割，比如A4纸中就包含着白银分割率．若一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数：0，1，2，5，12，29，70，169，408，985，2378，…，则随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越接近白银分割率．记该数列为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．（）B．
C．D．
三、填空题
11．（2024·辽宁抚顺·三模）已知数列的前项和为，若，则 ， ．
12．（2024·广东广州·一模）已知数列的前项和，当取最小值时， .
13．（2024·湖北·二模）方程有三个互不相等的实根，这三个实根适当排列后可构成一个等比数列，也可构成一个等差数列，则 ，该方程的解集为
14．（2024·浙江嘉兴·二模）设数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，则 .
15．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为 ．
四、解答题
16．（2024·辽宁·一模）已知为数列的前n项和，满足，且成等比数列，当时，．
(1)求证：当时，成等差数列；
(2)求的前n项和．
17．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
18．（2024·吉林白山·二模）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
19．（2024·辽宁大连·一模）对于数列，定义“T变换”：T将数列A变换成数列，其中，且．这种“T变换”记作，继续对数列B进行“T变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：
(2)若不全相等，判断数列不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；
(3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
20．（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求其生成数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列满足，则有（ ）
A．最小值B．最大值18C．最小值27D．最大值
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·重庆·模拟预测）若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 则 的值为（ ）
A．21B．22C．23D．24
二、多选题
4．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，且对，都有，则（ ）
A．是等比数列B．
C．D．
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．
C．数列是等差数列D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．若数列为常数列，则
C．若数列为递增数列，则D．当时，
三、填空题
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）等比数列的公比为，其通项为，如果，则 ；数列的前5项和为 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则 ．
9．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则 ，的最小值为 .
四、解答题
10．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，且满足，，求．
11．（2024·浙江·模拟预测）已知实数，定义数列如下：如果，，则．
(1)求和（用表示）；
(2)令，证明：；
(3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：当取得最大值时，．