2024年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷+

这是一份2024年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷+，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）当前，手机移动支付已成为当下流行的消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，记作+100元，那么支出50元应记作为（ ）
A．+50元B．﹣50元C．+100元D．﹣100元
2．（3分）剪纸是中国的传统艺术．下列剪纸图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．5x﹣2x＝3
C．x6÷x2＝x4D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
4．（3分）如图是某一物体的三视图，则此三视图对应的物体是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）若点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．（3分）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cs∠AOB的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）的图象上有四点A（﹣1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＝y3＜y1
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，F是CD延长线上一点，连接EF交对角线BD于点G，连接AG，若BE＝DF，∠CEF＝α，则∠AGB＝（ ）
A．αB．C．α+15°D．135°﹣α
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）分解因式：a2﹣49＝ ．
13．（3分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm．（结果用π表示）
14．（3分）如图，一束光线从点A（﹣4，10）出发，经过y轴上的点B（0，2）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ．
16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E．
（1）∠DCB ∠DBE（填“＞，＜或＝”）；
（2）若，BE＝4，则OE＝ ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（4分）解二元一次方程组：．
18．（4分）如图，A、D、B、F在一条直线上，DE∥CB，BC＝DE，AD＝BF．求证：△ABC≌△FDE．
19．（6分）先化简代数式（m+2+）÷，然后再从1，2，3中选择一个适当的数代入求值．
20．（6分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图部分信息如图：
（1）成绩前三名是2名男生和1名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由．
21．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，此时太阳光线AD与地面CE的夹角为45°．
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中A）到地面的距离小于2.3m时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时 （填“有”或“没有”）安全感；
（2）求阴影CD的长．（结果精确到0.1米：参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29）
22．（10分）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求△ACA′的面积．
23．（10分）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的弦，cs∠BAC＝，∠BAC的平分线AD交⊙O于D．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若AF＝8，求DF的长．
24．（12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设AP＝x．
（1）BQ+DQ的最小值是 ；此时x的值是 ．
（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD＝90°．
①求证：点E是CD的中点；②求x的值．
（3）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，求线段PE的最小值．
25．（12分）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx+m（k、m为常数且k≠0），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线l：y＝﹣x+6与双曲线的切点坐标；
（2）已知一次函数y1＝2x，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点A（﹣3，2），使得直线y1＝2x与，都相切于同一点？若存在，求出y3的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线y3的顶点坐标为B，点P为y轴上一点．在平面内存在点M，使∠AMB＝2∠APB，且这样的点P有且只有一个，则点P的坐标为 ．
2024年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）当前，手机移动支付已成为当下流行的消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，记作+100元，那么支出50元应记作为（ ）
A．+50元B．﹣50元C．+100元D．﹣100元
【分析】利用相反意义量的定义判断即可．
【解答】解：如果在微信零钱记录中，收入100元，记作+100元，那么支出50元应记作为﹣50元．
故选：B．
【点评】此题考查了正数与负数，弄清相反意义量的定义是解本题的关键．
2．（3分）剪纸是中国的传统艺术．下列剪纸图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．5x﹣2x＝3
C．x6÷x2＝x4D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
【分析】分别根据同底数幂的乘法及除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，不符合题意；
B、5x﹣2x＝3x，原计算错误，不符合题意；
C、x6÷x2＝x4，正确，符合题意；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法及除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
4．（3分）如图是某一物体的三视图，则此三视图对应的物体是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题可利用排除法解答．从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除B，C，D．
【解答】解：从主视图左视图可以看出这个几何体是由上、下两部分组成的，从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除B，C，D选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体．
故选：A．
【点评】此题考查由三视图还原实物基本能力，还原实物的形状关键是能想象出三视图和立体图形之间的关系，从而得出该物体的形状．本题只从俯视图入手也可以准确快速解题．
5．（3分）若点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据P为第三象限点，得到横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，表示在数轴上即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：，
由①得：x＜﹣3；
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为x＜﹣3，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：B．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，以及点的坐标，列出不等式组是本题的突破点．
6．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，点A，D之间的距离为2，
∴BE＝CF＝2，
∵CE＝3，
∴BF＝CF+BE+CE＝2+2+3＝7，
故选：B．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质得到BE＝CF＝2．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得出关于m的不等式，求出m的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜，
∴实数m的值可以是2．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
8．（3分）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cs∠AOB的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】作EF⊥OB，则求cs∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．
【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF＝2，OF＝1，由勾股定理得，OE＝．
∴cs∠AOB＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）的图象上有四点A（﹣1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＝y3＜y1
【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，
【解答】解：依题意，A（﹣1，y1），B（3，y1），在二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）的图象上，
∴对称轴为直线，抛物线开口向下，
∵2﹣1＝1，1﹣（﹣2）＝3，
∴点C（2，y2）到对称轴的距离为1，点D（﹣2，y3）到对称轴的距离为3，点B（3，y1）到对称轴的距离为2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，F是CD延长线上一点，连接EF交对角线BD于点G，连接AG，若BE＝DF，∠CEF＝α，则∠AGB＝（ ）
A．αB．C．α+15°D．135°﹣α
【分析】连接AE，AF，根据正方形的性质证明△ABE≌△ADF（SAS），得AE＝AF，∠FAD＝∠EAB，证得△AEF是等腰直角三角形，过E作EH∥CD，交BD于H，然后证明△GHE≌△GDF（ASA），得GE＝GF，再根据等腰三角形的性质得AG⊥EF，利用三角形的外角定义即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE，AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠FAD＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠DAB＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
过E作EH∥CD，交BD于H，
∴∠GHE＝∠GDF，∠GEH＝∠GFD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠HBE＝45°，
∴△HBE是等腰直角三角形，
∴EH＝BE＝DF，
在△GHE和△GDF中，
，
∴△GHE≌△GDF（ASA），
∴GE＝GF，
∴AG⊥EF，
∴∠AGE＝90°，
∴∠AGB＝90°﹣∠BGE，
∵∠BGE＝∠FEC﹣∠DBE＝α﹣45°，
∴∠AGB＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，解决本题的关键是得到△GHE≌△GDF．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为 2.3×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：23000＝2.3×104．
故答案为：2.3×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12．（3分）分解因式：a2﹣49＝ （a+7）（a﹣7） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2﹣49＝（a+7）（a﹣7）．
故答案为：（a+7）（a﹣7）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
13．（3分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 12π cm．（结果用π表示）
【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．
【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r＝＝6，
∴2πr＝2π×6＝12π，
故答案为：12π．
【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．
14．（3分）如图，一束光线从点A（﹣4，10）出发，经过y轴上的点B（0，2）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 ﹣2 ．
【分析】点A（﹣4，10）关于y轴的对称点为A′（4，10），根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B（0，2）和A′（4，10），求出A'B的解析式为：y＝2x+2，再根据反射后经过点C（m，n），2m+2＝n，即可求出答案．
【解答】解：∵点A（﹣4，10）关于y轴的对称点为A′（4，10），
∴反射光线所在直线过点B（0，2）和A′（4，10），
设A'B的解析式为：y＝kx+2，过点A′（4，10），
∴10＝4k+2，
∴k＝2，
∴A'B的解析式为：y＝2x+2，
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m+2＝n，
∴2m﹣n＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 （3，2） ．
【分析】先利用位似的性质得到＝＝，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．
∴＝＝，
而BE＝EF＝6，
∴＝＝，
∴BC＝2，OB＝3，
∴C（3，2）．
故答案为（3，2）
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E．
（1）∠DCB ＝ ∠DBE（填“＞，＜或＝”）；
（2）若，BE＝4，则OE＝ 1 ．
【分析】（1）延长BE交⊙O于点F，连接CF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCF＝90°，从而可得∠F+∠FBC＝90°，再根据垂直定义可得∠BDC＝∠ADC＝90°，从而可得∠A+∠ACD＝90°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠F，从而可得∠ACD＝∠FBC，再利用等腰三角形的性质可得AB＝AC，从而可得∠ABC＝∠ACB，最后利用等式的性质可得∠DBE＝∠DCB，即可解答；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠DBE+∠DEB＝90°，∠FCE+∠DCB＝90°，从而利用等角的余角相等可得∠DEB＝∠FCE，再利用对顶角相等可得∠DEB＝∠FEC，从而可得∠FEC＝∠FCE，进而可得FE＝FC，然后设FE＝FC＝x，在Rt△CBF中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长BE交⊙O于点F，连接CF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∴∠F+∠FBC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠A＝∠F，
∴∠ACD＝∠FBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠DBE＝∠DCB，
故答案为：＝；
（2）解：∵∠BDC＝90°，
∴∠DBE+∠DEB＝90°，
∵∠FCB＝90°，
∴∠FCE+∠DCB＝90°，
∵∠DBE＝∠DCB，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵∠DEB＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
设FE＝FC＝x，
在Rt△CBF中，BC＝4，BF＝BE+EF＝4+x，
∴BC2+CF2＝BF2，
∴32+x2＝（4+x）2，
解得：x＝2，
∴BF＝4+x＝6，
∴OB＝BF＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴OE的长为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（4分）解二元一次方程组：．
【分析】①×2+②得出5x＝﹣5，求出x＝﹣1，再把x＝﹣1代入②求出y即可．
【解答】解：，
①×2+②，得5x＝﹣5，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入②，得﹣1+2y＝3，
解得：y＝2，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．（4分）如图，A、D、B、F在一条直线上，DE∥CB，BC＝DE，AD＝BF．求证：△ABC≌△FDE．
【分析】由SAS可证△ABC≌△FDE即可．
【解答】证明：∵AD＝BF，
∴AD+DB＝DB+BF，
∴AB＝FD，
∵DE∥CB，
∴∠ABC＝∠FDE，
在△ABC与△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
19．（6分）先化简代数式（m+2+）÷，然后再从1，2，3中选择一个适当的数代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝÷
＝﹣•
＝﹣3（m+3）
＝﹣3m﹣9，
当m＝2，3时，原式没有意义；
当m＝1时，原式＝﹣3﹣9＝﹣12．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图部分信息如图：
（1）成绩前三名是2名男生和1名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由．
【分析】（1）画树状图，共有6个等可能的结果，恰好选中1男1女的结果有4个，再由概率公式求解即可；
（2）先求出参赛选手总人数为50人，再求出79.5﹣89.5”和“89.5﹣99.5”两分数段的百分比之和为60%，即可得出结论．
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，恰好选中1男1女的结果有4个，
∴恰好选中1男1女的概率为＝；
（2）某参赛选手的比赛成绩为78分，不能获奖，理由如下：
参赛选手总人数为：（2+3）÷10%＝50（人），
则成绩在“89.5﹣99.5”的所占百分比为：（8+4）÷50×100%＝24%，
∴“79.5﹣89.5”和“89.5﹣99.5”两分数段的百分比之和为：36%+24%＝60%，
即参赛选手的比赛成绩为78分，位于成绩由高到低前60%之后，所以不能获奖．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了扇形统计图和频数分布直方图．
21．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，此时太阳光线AD与地面CE的夹角为45°．
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中A）到地面的距离小于2.3m时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时 有 （填“有”或“没有”）安全感；
（2）求阴影CD的长．（结果精确到0.1米：参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29）
【分析】（1）过点A作AF⊥CE于点F，AG⊥BC于点G，根据正弦的定义求出BG，根据余弦的定义求出AG，进而求出AF，判断即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出DF，再求出CD．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥CE于点F，AG⊥BC于点G，
则四边形GCFA为矩形，
∴GA＝CF，GC＝AF，
在Rt△AGB中，AB＝5米，∠BAG＝16°，
∵sin∠BAG＝，cs∠BAG＝，
∴BG＝AB•sin∠BAG≈5×0.28＝1.4（米），AG＝AB•cs∠BAG≈5×0.96＝4.8（米），
∴GC＝BC﹣BG＝4﹣1.4＝2.6（米），
∵2.6＞2.3，
∴人进出此遮阳棚时有安全感，
故答案为：有；
（2）在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝2.6米，
∴CD＝CF﹣DF＝4.8﹣2.6＝2.2（米），
答：阴影CD的长约为2.2米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（10分）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求△ACA′的面积．
【分析】（1）根据旋转的性质得出C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点，
∴OA＝3，OB＝4，
∴BC＝2，
将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，
∴C′（2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点C′，
∴k＝2×4＝8，
∴该反比例函数的表达式为y＝；
（2）作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵OA＝3，OB＝4，
∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，
∴OH＝1，
∴A′（4，1），
过A′作A′G⊥x轴于G，
∴△ACA′的面积＝△AOC的面积+四边形A′COG的面积﹣△AA′G的面积＝×3×2+＝．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23．（10分）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的弦，cs∠BAC＝，∠BAC的平分线AD交⊙O于D．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若AF＝8，求DF的长．
【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作DE⊥AC交AC的延长线于点E，再连接OE交AD于点F即可；
（2）连接OD，则∠ODA＝∠BAD，而∠DAC＝∠BAD，则∠ODA＝∠CAD，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠AEP＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（3）作DQ⊥AB于点Q，则DQ＝DE，可证明Rt△ADQ≌Rt△ADE，设OA＝OD＝5m，由＝cs∠QOD＝cs∠BAC＝，得OQ＝OD＝3m，则EA＝QA＝8m，再证明△DOF∽△AEF，得＝＝，则DF＝AF＝5．
【解答】（1）解：作法：1．延长AC；
2．以点D为圆心，以适当长度为半径作弧交射线AC于点M、N；
3．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P；
4．作射线DP交AC的延长线于点D；
5．连接OE交AD于点F，
线段DE、OE、点F就是所求的图形．
（2）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于D，
∴∠DAC＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC交AC的延长线于点E，
∴∠ODE＝∠AEP＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（3）解：作DQ⊥AB于点Q，则∠AQD＝∠AED＝90°
∵AD平分∠BAC，作DQ⊥AB于点Q，DE⊥AC交AC的延长线于点E，
∴DQ＝DE，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADQ≌Rt△ADE（HL），
设OA＝OD＝5m，
∵∠QOD＝∠BAC，
∴＝cs∠QOD＝cs∠BAC＝，
∴OQ＝OD＝×5m＝3m，
∴EA＝QA＝OA+OQ＝5m+3m＝8m，
∵OD∥EA，AF＝8，
∴△DOF∽△AEF，
∴＝＝＝，
∴DF＝AF＝×8＝5，
∴DF的长是5．
【点评】此题重点考查尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设AP＝x．
（1）BQ+DQ的最小值是 ；此时x的值是 ﹣1 ．
（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD＝90°．
①求证：点E是CD的中点；②求x的值．
（3）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，求线段PE的最小值．
【分析】（1）BQ+DQ为点B到D两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为，考虑动点运动，这种情形是存在的，由AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x，又∠PDQ＝45°，所以PD＝PQ，即1﹣x＝x，求解可得x；
（2）由已知条件对称分析，AB＝BQ＝BC，则∠BCQ＝∠BQC，由∠BQE＝∠BCE＝90°，可得∠EQC＝∠ECQ．那么若有QE＝ED，则结论可证，再分析新条件∠CQD＝90°，易得结论．求x，通常都是考虑勾股定理，选择直角三角形PDE，发现PE，DE，PD都可用x来表示，进而易得方程，求解即可；
（3）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠ABC＝BCD＝90°，连接BE，推出Rt△QBE≌Rt△CBE（HL），则∠PBE＝∠АВС＝45°，作△PBE的外接圆，圆心为O，过O作OH垂直PE于H，设⊙O的半径为r，则OB＝OP＝OE＝r，PE＝r，OH＝r，OB+OH≥BQ，PЕ＝r≥2﹣2进而作答即可．
【解答】解：（1）当B，Q，D三点共线时，BQ+DQ的最小值为BD＝＝，
此时，设AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x，
∵△POD是等腰直角三角形，
∴PQ＝QD＝x，
∴x2+x2＝（1﹣x）2，
解得：x＝﹣1，
故答案为：，﹣1；
（2）①证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠BCD﹣90°，
∵Q点为A点关于BP的对称点，
∴AB＝QB，∠A＝∠PQB＝90°，
∴QB＝BC，∠BQE＝∠BCE＝90°，
∴∠BQC＝∠BCQ，
∴∠EQC＝∠EQB﹣∠CQB＝∠ECB﹣∠QCB＝∠ECQ，
∴ЕQ＝ЕС，
在Rt△QDC中，
∵∠QDE＝90°﹣∠QCE，∠DQE＝90°﹣∠EQC，
∴∠QDE＝∠DQE，
∴EQ＝ED，
∴CE＝EQ＝ED，
即E为CD的中点；
②AP＝x，AD＝1，
∴PD＝1﹣x，PQ＝x，CD＝1，
在Rt△DQC中，
∵E为CD的中点，
∴DE＝QE＝CE＝，
∴PЕ＝PO+QЕ＝х+，
∴（x+）2＝（1+x）2+（）2，
解得x＝；
（3）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠ABC＝BCD＝90°，
∵Q点为A点关于BP的对称点，
∴AB＝OB，∠ABP＝∠QBP，∠A＝∠PQB＝90°，
∴OB＝ВС，∠ВQЕ＝∠ВСD＝90°，
连接BE，
在Rt△QBE与Rt△CBE中，
，
∴Rt△QBE≌Rt△CBE（HL），
∴∠QBE＝∠CBE，
∵∠ABP＝∠QBP，
∴∠PBE＝∠АВС＝45°，
作△PBE的外接圆，圆心为O，
∵∠PBE＝45°，
∴∠POE＝2∠PBE＝90°，
过O作OH垂直PE于H，设⊙O的半径为r，
则OB＝OP＝OE＝r，PE＝r，OH＝r，
∵OB+OH≥BQ，
∴r+r≥1，
解得：r≥2﹣，
∴PЕ＝r≥2﹣2，
则PE的最小值为2﹣2．
【点评】本题是正方形综合题，考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识并作辅助线．
25．（12分）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx+m（k、m为常数且k≠0），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线l：y＝﹣x+6与双曲线的切点坐标；
（2）已知一次函数y1＝2x，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点A（﹣3，2），使得直线y1＝2x与，都相切于同一点？若存在，求出y3的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线y3的顶点坐标为B，点P为y轴上一点．在平面内存在点M，使∠AMB＝2∠APB，且这样的点P有且只有一个，则点P的坐标为 （0，2） ．
【分析】（1）联立两个函数表达式得﹣x+6＝，解得：x＝3，即可求解；
（2）y1＝2x与相切，得到切点为：（1，2），得到抛物线的表达式为：y3＝ax2+2ax﹣3a+2，由题意得，y3和y1相切，则ax2+2ax﹣3a+2＝2x，得到a＝，即可求解；
（3）在平面内存在点M，使∠AMB＝2∠APB，且这样的点P有且只有一个，则点圆M和y轴相切于点P，即可求解．
【解答】解：（1）联立两个函数表达式得﹣x+6＝，
解得：x＝3，
则切点坐标为：（3，3）；
（2）存在，理由：
∵y1＝2x与相切，
则2x＝x2+1，
解得：x＝1，
则切点为：（1，2），
将（1，2）、（﹣3，2）代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y3＝ax2+2ax﹣3a+2，
由题意得，y3和y1相切，
则ax2+2ax﹣3a+2＝2x，
则Δ＝（2a﹣2）2﹣4a（﹣3a+2）＝0，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x+；
（3）由（2）知，抛物线的表达式为：y＝x2+x+，
则点B（﹣1，0），
∵在平面内存在点M，使∠AMB＝2∠APB，且这样的点P有且只有一个，
则点圆M和y轴相切于点P，如下图：
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣1，
则AB的中点为：（﹣2，1），
则AB的中垂线得表达式为：y＝（x+2）+1＝x+3，
则点M在AB的中垂线上，故设点M（m，m+3），
则MB＝MP，而MP＝﹣（m+3），
即（m+1）2+（m+3）2＝（﹣m﹣3）2，
解得：m＝﹣1，
即点M（﹣1，2），
即BM⊥x轴，
而点M（﹣1，2），
则点P（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到新定义、圆的基本性质等，综合性强，难度适中．