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    2024年贵州省黔东南州从江县宰便中学中考数学二模试卷+

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    这是一份2024年贵州省黔东南州从江县宰便中学中考数学二模试卷+,共28页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(3分)计算的结果正确的是( )
    A.x6B.C.D.x9
    2.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
    A.B.C.D.
    3.(3分)中国天眼位于贵州省平塘县,其综合观测性能世界第一,它的内球面反射面积为250000平方米,相当于35个
    足球场的面积,250000这个数用科学记数法可表示为( )
    A.250×103B.25×104C.2.5×105D.0.25×106
    4.(3分)实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,下列式子正确的是( )
    A.c(b﹣a)<0B.b(c﹣a)<0C.a(b﹣c)>0D.a(c+b)>0
    5.(3分)在平面直角坐标系中,将点(1,﹣2)先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,最后所得点所在的象限是( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    6.(3分)对于二元一次方程组,将①式代入②式,消去y可以得到( )
    A.x+2x﹣1=7B.x+2x﹣2=7C.x+x﹣1=7D.x+2x+2=7
    7.(3分)某射击小组有20人,成绩如表所示:
    这组数据的众数和中位数分别是( )
    A.8;8B.7;8C.7;7.5D.8;7.5
    8.(3分)一瓶牛奶的营养成分中,碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍,碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x(g),y(g),可列出方程为( )
    A.x+y=30B.x+y=30C.x+y=30D.x+y=30
    9.(3分)一个不透明的盒子内装中有除颜色外,其余完全相同的2个红球,2个白球,2个黄球,小星将盒中小球搅匀后,每次从中随机摸出一球,记下颜色后放回盒中搅匀,再从中随机摸出一球下面是他前两次摸球的情况:当小星第三次摸球时,下列说法正确的是( )
    A.一定摸到红球
    B.摸到红球的可能性小
    C.一定摸不到红球
    D.摸到红球、白球、黄球的可能性一样大
    10.(3分)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,且满足BC∥OD,若∠BDC=40°,则∠BOD的度数为( )
    A.60°B.50°C.45°D.30°
    11.(3分)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )
    A.关于直线x=1对称
    B.有最小值﹣1,有最大值3
    C.y值随x值的增大而增大
    D.有最小值0,有最大值3
    12.(3分)如图,在矩形ABCD中,AC是对角线,∠ACD=60°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点E,连接AE,则∠BAE的度数是( )
    A.28°B.30°C.32°D.35°
    二、填空题:每小题4分,共16分。
    13.(4分)函数y=的自变量x的取值范围是 .
    14.(4分)某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润率不能少于10%,则最多可打 折.
    15.(4分)如图,点A是反比例函数图象上的一个点,过点A作AB⊥x轴,AC⊥y轴,垂足分别为B,C,矩形ABOC的面积为6,则k= .
    16.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC,BD平分∠ABC,AE,BD相交于点F,且AF=6,DF=,则AC的长为 .
    三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(12分)(1)计算:.
    (2)如图,在所给的方格纸中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C位于格点处,请按要求画图:在图(1)中画出格点P,使AC=CP;在图(2)中画出一个以点A,B,C,P为顶点的格点四边形,使AP2+CP2=9.
    18.(10分)贵阳某学校为满足学生多样化学习需求,准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团.学校为了解学生的参与度,随机抽取了部分学生进行调查,将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:
    (1)求本次调查的学生人数,并补全条形统计图;
    (2)若全校共有学生2400人,估计愿意参加阅读类社团的学生人数;
    (3)甲、乙两名同学决定在阅读、科普、劳动社团中选择参加一种社团,请用树状图或列表法表示出所有等可能结果,并求出恰好选中同一社团的概率.
    19.(10分)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连结EF.
    (1)求证:AE=AF;
    (2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
    20.(10分)贵州民族文化宫是贵州民族特色建筑,某数学兴趣小组利用所学的如识测量文化宫的高度,倡助无人机设计了如下测量方案:如图,在点C处,测得C处到文化宫底部B处的水平距离为114.6m,∠ECD=30°,无人机沿着CE方向飞行76m到达E处,此时测得文化宫顶部A处的仰角为58°.已知DE⊥BC于点D,点A,B,C,D,E均在同一平面内.
    (1)求DE的长;
    (2)求贵州民族文化宫AB的高度(结果精确到1m).(参考数据:tan58°≈0.84,cs58°≈0.52,tan58≈1.6,)
    21.(10分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为正方形,其中点A、C分别在x轴负半轴,y轴负半轴上,点B在第三象限内,点A(t,0),点P(1,2)在函数 的图象上.
    (1)求k的值;
    (2)连接BP、CP,记△BCP的面积为S,设T=2S﹣2t2,求T的最大值.
    22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是一条弦,D是弧AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,交⊙O于点H,DB交AC于点G.
    (1)求证:AF=DF.
    (2)若AF=,sin∠ABD=,求⊙O的半径.
    23.(12分)某中学组织学生研学,原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆,则有30人没有座位;若租用可坐乘客60人的B种客车,则可少租6辆,且恰好坐满.
    (1)求原计划租用A种客车多少辆?这次研学去了多少人?
    (2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆,要求B种客车不超过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案?
    (3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租金每辆300元,应该怎样租车才最合算?
    24.(12分)据统计,每年因汽车追尾而造成的交通事故占交通事故总数的70%以上.注意车速,保持车距是行车安全中必须遵守的.某公路上正在行驶的甲车,发现前方道路有一辆乙车并开始减速,减速后甲车行驶的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系如表所示.
    (1)根据所得数据中甲车行驶的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的变化规律,利用初中所学函数知识求出s与t之间的函数关系式,并写出n的值;
    (2)若乙车因事故抛锚在距甲车50米处,甲车是否会追尾抛锚的车辆?试说明理由;
    (3)乙车以4m/s的速度匀速行驶,若要避免发生追尾事故,甲车至少在距离乙车多少米处开始刹车?
    25.(12分)问题情境:如图1,在△ABC中,AB=AC=17,BC=30,AD是BC边上的中线.如图2,将△ABC的两个顶点B,C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合,折痕分别交AB,AC,BC于点E,F,G,H.
    猜想证明:(1)如图2,试判断四边形AEDG的形状,并说明理由;
    问题解决:(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN折叠,使得顶点B与点H重合,折痕分别交AB,BC于点M,N,BM的对应线段交DG于点K,求四边形MKGA的面积.
    2024年贵州省黔东南州从江县宰便中学中考数学二模试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题:以下每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分。
    1.(3分)计算的结果正确的是( )
    A.x6B.C.D.x9
    【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果.
    【解答】解:,
    故选:B.
    【点评】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则,熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键.
    2.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
    A.B.C.D.
    【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.
    【解答】解:A、原图既是中心对称图形,又是轴对称图形,故此选项符合题意;
    B、原图是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;
    C、原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
    D、原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
    故选:A.
    【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合.
    3.(3分)中国天眼位于贵州省平塘县,其综合观测性能世界第一,它的内球面反射面积为250000平方米,相当于35个
    足球场的面积,250000这个数用科学记数法可表示为( )
    A.250×103B.25×104C.2.5×105D.0.25×106
    【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,且n比原来的整数位数少1,据此判断即可.
    【解答】解:250000=2.5×105.
    故选:C.
    【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键.
    4.(3分)实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,下列式子正确的是( )
    A.c(b﹣a)<0B.b(c﹣a)<0C.a(b﹣c)>0D.a(c+b)>0
    【分析】由数轴可得a<0<b<c,然后得出b﹣a,c﹣a,b﹣c,c+b与0的大小关系,再根据有理数乘法法则进行判断即可.
    【解答】解:由数轴可得a<0<b<c,
    则b﹣a>0,c﹣a>0,b﹣c<0,c+b>0,
    那么c(b﹣a)>0,b(c﹣a)>0,a(b﹣c)>0,a(c+b)<0,
    则A,B,D均不符合题意,C符合题意,
    故选:C.
    【点评】本题考查实数与数轴的关系,结合数轴得出b﹣a,c﹣a,b﹣c,c+b与0的大小关系是解题的关键.
    5.(3分)在平面直角坐标系中,将点(1,﹣2)先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,最后所得点所在的象限是( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【分析】根据题意得出点(1,﹣2)平移后点的坐标,据此可解决问题.
    【解答】解:由题知,
    将点(1,﹣2)向右平移2个单位长度所得点的坐标为(3,﹣2),
    再向上平移1个单位长度所得点的坐标为(3,﹣1),
    显然点(3,﹣1)在第四象限.
    故选:D.
    【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移,能根据题意得出平移后点的坐标及熟知每个象限内点的坐标特征是解题的关键.
    6.(3分)对于二元一次方程组,将①式代入②式,消去y可以得到( )
    A.x+2x﹣1=7B.x+2x﹣2=7C.x+x﹣1=7D.x+2x+2=7
    【分析】将①式代入②式,得x+2(x﹣1)=7,去括号即可.
    【解答】解:,将①式代入②式,
    得x+2(x﹣1)=7,
    ∴x+2x﹣2=7,
    故选:B.
    【点评】本题考查了解二元一次方程组,掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键.
    7.(3分)某射击小组有20人,成绩如表所示:
    这组数据的众数和中位数分别是( )
    A.8;8B.7;8C.7;7.5D.8;7.5
    【分析】根据表格中的数据可以求得这组数据的众数和中位数,从而可以解答本题.
    【解答】解:由表格中的数据可得,
    这组数据的众数是8,中位数是:(7+8)÷2=7.5,
    故选:D.
    【点评】本题考查众数和中位数,解答本题的关键是明确众数和中位数的定义,找出这组数据的众数和中位数.
    8.(3分)一瓶牛奶的营养成分中,碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍,碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x(g),y(g),可列出方程为( )
    A.x+y=30B.x+y=30C.x+y=30D.x+y=30
    【分析】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系,可得出碳水化合物含量是1.5x g,结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g,即可得出关于x,y的二元一次方程,此题得解.
    【解答】解:∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍,且蛋白质的含量为x g,
    ∴碳水化合物含量是1.5x g.
    根据题意得:1.5x+x+y=30,
    ∴x+y=30.
    故选:A.
    【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键.
    9.(3分)一个不透明的盒子内装中有除颜色外,其余完全相同的2个红球,2个白球,2个黄球,小星将盒中小球搅匀后,每次从中随机摸出一球,记下颜色后放回盒中搅匀,再从中随机摸出一球下面是他前两次摸球的情况:当小星第三次摸球时,下列说法正确的是( )
    A.一定摸到红球
    B.摸到红球的可能性小
    C.一定摸不到红球
    D.摸到红球、白球、黄球的可能性一样大
    【分析】根据概率公式直接得出答案.
    【解答】解:∵不透明的盒子内装有完全相同的2个红球,2个白球,2个黄球,
    ∴小星第三次摸到红球、白球、黄球的可能性一样大.
    故选:D.
    【点评】此题考查了可能性的大小,用到的知识点为:可能性等于所求情况数与总情况数之比.
    10.(3分)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,且满足BC∥OD,若∠BDC=40°,则∠BOD的度数为( )
    A.60°B.50°C.45°D.30°
    【分析】由AB是⊙O的直径,得∠ACB=90°,由同弧所对的圆周角相等得∠A=∠BDC=40°,进而得出∠ABC=90°﹣∠A=50°,再根据BC∥OD得∠BOD=∠ABC=50°.
    【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵∠BDC=40°,
    ∴∠A=∠BDC=40°,
    ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°,
    ∵BC∥OD,
    ∴∠BOD=∠ABC=50°.
    故选:B.
    【点评】本题主要考查圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
    11.(3分)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )
    A.关于直线x=1对称
    B.有最小值﹣1,有最大值3
    C.y值随x值的增大而增大
    D.有最小值0,有最大值3
    【分析】根据二次函数的图象的性质求解.
    【解答】解:根据轴对称定义得,该函数的图象不是轴对称图形,故A是错误的;
    根据函数图象的最高点和最低点,得出函数的最大值为3,最小值为﹣1,故B是正确的;
    根据图象当0≤x≤1时,y随x的增大而减小;当1<x≤3时,y随x的增大而增大,故C是错误的;
    由B得D是错误的;
    故选:B.
    【点评】本题考查了二次函数图形的性质,理解二次函数的图象和性质是解题的关键.
    12.(3分)如图,在矩形ABCD中,AC是对角线,∠ACD=60°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点E,连接AE,则∠BAE的度数是( )
    A.28°B.30°C.32°D.35°
    【分析】分别求出∠ABC,∠EAC可得结论.
    【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴B=∠DCB=90°,
    ∵∠ACD=60°,
    ∴∠ACB=30°,∠BAC=60°,
    由作图可知MN垂直平分线段AC,
    ∴AE=EC,
    ∴∠EAC=∠ACB=30°,
    ∴∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣30°=30°,
    故选:B.
    【点评】本题考查作图﹣基本作图,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
    二、填空题:每小题4分,共16分。
    13.(4分)函数y=的自变量x的取值范围是 x>1 .
    【分析】由二次根式的被开方数大于等于0可得x﹣1≥0,由分式有意义的性质可得x﹣1≠0,即可求出自变量x的取值范围.
    【解答】解:根据题意得:x﹣1≥0且x﹣1≠0,
    即x﹣1>0,
    解得:x>1.
    故答案为:x>1.
    【点评】考查了函数自变量的范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
    (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
    (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
    (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
    14.(4分)某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润率不能少于10%,则最多可打 8.8 折.
    【分析】利润率不能少于10%,意思是利润率大于或等于10%,相应的关系式为:(打折后的销售价﹣进价)÷进价≥10%,把相关数值代入即可求解.
    【解答】解:设这种商品可以按x折销售,
    则售价为5×0.1x,那么利润为5×0.1x﹣4,
    所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%,
    解得:x≥8.8.
    答:该商品最多可以打8.8折,
    故答案为:8.8.
    【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用,解决本题的关键是得到利润率的相关关系式,注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”;利润率是利润与进价的比值.
    15.(4分)如图,点A是反比例函数图象上的一个点,过点A作AB⊥x轴,AC⊥y轴,垂足分别为B,C,矩形ABOC的面积为6,则k= ﹣6 .
    【分析】由于点A是反比例函数y=上一点,矩形ABOC的面积S=|k|=6,则k的值即可求出.
    【解答】解:由题意得:S矩形ABOC=|k|=6,
    ∵双曲线位于第二、四象限,
    ∴k=﹣6,
    故答案为:﹣6.
    【点评】本题主要考查了反比例函数y=图中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点.
    16.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC,BD平分∠ABC,AE,BD相交于点F,且AF=6,DF=,则AC的长为 .
    【分析】过点D作DG⊥AE于点G,连接CF,证明△EFG是等腰直角三角形,得FG=DG=2,则AG=4,再由勾股定理得AD=2,然后证明△ADF∽△AFC,得=,即可得出结论.
    【解答】解:如图,过点D作DG⊥AE于点G,连接CF,
    则∠DGF=90°,
    ∵AE平分∠BAC,BD平分∠ABC,
    ∴∠CAE=∠BAE,∠CBD=∠ABD,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴2(BAE+∠ABD)=90°,
    ∴∠BAE+∠ABD=45°,
    ∴∠DFG=∠BAE+∠ABD=45°,
    ∴△EFG是等腰直角三角形,
    ∴=DF,FG=DG=DF=2,
    ∴AG=AF﹣FG=6﹣2=4,
    ∴AD===2,
    ∵AE平分∠BAC,BD平分∠ABC,
    ∴CF平分∠ACB,
    ∴∠ACF=45°=∠AFD,
    ∵∠CAF=∠FAD,
    ∴△ADF∽△AFC,
    ∴=,
    即=,
    ∴AC=,
    故答案为:.
    【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识,熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键.
    三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(12分)(1)计算:.
    (2)如图,在所给的方格纸中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C位于格点处,请按要求画图:在图(1)中画出格点P,使AC=CP;在图(2)中画出一个以点A,B,C,P为顶点的格点四边形,使AP2+CP2=9.
    【分析】(1)根据二次根式的性质,零指数幂,整数指数幂计算即可;
    (2)利用勾股定理,数形结合的思想画出图形.
    【解答】解:(1)原式=3+1﹣1
    =3;
    (2)如图1中,点P即为所求;如图2中,四边形ABCP即为所求.
    【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图,实数的运算,零指数幂,勾股定理等知识,解题的关键是掌握实数的运算法则,学会利用数形结合的思想解决问题.
    18.(10分)贵阳某学校为满足学生多样化学习需求,准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团.学校为了解学生的参与度,随机抽取了部分学生进行调查,将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:
    (1)求本次调查的学生人数,并补全条形统计图;
    (2)若全校共有学生2400人,估计愿意参加阅读类社团的学生人数;
    (3)甲、乙两名同学决定在阅读、科普、劳动社团中选择参加一种社团,请用树状图或列表法表示出所有等可能结果,并求出恰好选中同一社团的概率.
    【分析】(1)用愿意参加劳动类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数,即可解决问题;
    (2)用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可;
    (3)画出树状图,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种.再根据概率公式即可求解.
    【解答】解:(1)调查学生人数:50÷25%=200 (人),
    科普类人数:200﹣40﹣50﹣80=30 (人),
    补全条形统 计图如图:
    (2)愿意参加阅读类社团的学生人数:
    =960(人);
    (3)根据题意,把阅读、科普、劳动社团分别用A,B,C表示,用列表法表示如下图:
    共有9种等可能的结果,选中同一社团的结果有3 种.
    ∴恰好选中同一社团的概率为 .
    【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.解答本题的关键要掌握:概率=所求情况数与总情况数之比.
    19.(10分)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连结EF.
    (1)求证:AE=AF;
    (2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
    【分析】(1)欲证明AE=AF,只需要证得△ABE≌△ADF即可;
    (2)根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答.
    【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AB=AD,∠B=∠D.
    又∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,
    ∴∠AEB=∠AFD=90°,
    在△ABE与△ADF中,
    ∵.
    ∴△ABE≌△ADF(AAS).
    ∴AE=AF;
    (2)解:∵四边形ABCD是菱形,
    ∴∠B+∠BAD=180°.
    而∠B=60°,
    ∴∠BAD=120°.
    又∵∠AEB=90°,∠B=60°,
    ∴∠BAE=30°.
    由(1)知△ABE≌△ADF,
    ∴∠BAE=∠DAF=30°.
    ∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°.
    ∴△AEF是等边三角形.
    ∴∠AEF=60°.
    【点评】本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
    20.(10分)贵州民族文化宫是贵州民族特色建筑,某数学兴趣小组利用所学的如识测量文化宫的高度,倡助无人机设计了如下测量方案:如图,在点C处,测得C处到文化宫底部B处的水平距离为114.6m,∠ECD=30°,无人机沿着CE方向飞行76m到达E处,此时测得文化宫顶部A处的仰角为58°.已知DE⊥BC于点D,点A,B,C,D,E均在同一平面内.
    (1)求DE的长;
    (2)求贵州民族文化宫AB的高度(结果精确到1m).(参考数据:tan58°≈0.84,cs58°≈0.52,tan58≈1.6,)
    【分析】(1)根据垂直的定义得到∠EDC=90°,根据直角三角形的性质即可得到结论;
    (2)根据直角三角形的性质得到CD=CE=(m)求得BD=BC﹣CD=(114.6﹣38)m,过E作EF⊥AB于F,则四边形BFED是矩形,根据矩形的性质得到EF=BD=(114.6﹣38)m,BF=DE=38m,于是得到结论.
    【解答】解:(1)∵DE⊥BC,
    ∴∠EDC=90°,
    ∵CE=76m,
    ∴DE==38(m);
    答:DE的长为38m;
    (2)在Rt△CDE中,CD=CE=(m),
    ∵BC=114.6m,
    ∴BD=BC﹣CD=(114.6﹣38)m,
    过E作EF⊥AB于F,
    则四边形BFED是矩形,
    ∴EF=BD=(114.6﹣38)m,BF=DE=38m,
    ∴AF=EF•tan58≈(114.6﹣38)×1.6≈78(m),
    ∴AB=AF+BF=78+38=116(m),
    答:贵州民族文化宫AB的高度约为116m.
    【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角,熟悉直角三角形中的边角关系是解题的关键.熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键.
    21.(10分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为正方形,其中点A、C分别在x轴负半轴,y轴负半轴上,点B在第三象限内,点A(t,0),点P(1,2)在函数 的图象上.
    (1)求k的值;
    (2)连接BP、CP,记△BCP的面积为S,设T=2S﹣2t2,求T的最大值.
    【分析】(1)根据点P(1,2)在函数 的图象上,代入即可得到k的值;
    (2)根据点A(t,0)在x轴负半轴上得到OA=﹣t,根据正方形的性质得到OC=BC=OA=﹣t,根据二次函数的性质即可得到结论.
    【解答】解:(1)∵点P(1,2)在函数 的图象上,
    ∴2=,
    ∴k=2,
    即k的值为2;
    (2)∵点A(t,0)在x轴负半轴上,
    ∴OA=﹣t,
    ∵四边形OABC为正方形,
    ∴OC=BC=OA=﹣t,BC∥x轴,
    ∴△BCP的面积为S=×(﹣t)×(2﹣t)=t2﹣t,
    ∴T=2S﹣2t2=2(t2﹣t)﹣2t2=﹣t2﹣2t=﹣(t+1)2+1,
    ∵﹣1<0,
    ∴抛物线开口向下,
    ∴当t=﹣1时,T有最大值,T的最大值是1.
    【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质,正方形的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
    22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是一条弦,D是弧AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,交⊙O于点H,DB交AC于点G.
    (1)求证:AF=DF.
    (2)若AF=,sin∠ABD=,求⊙O的半径.
    【分析】(1)由D是弧AC的中点,得出,再由垂径定理得出,根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH=∠CAD,即可证明出结论.
    (2)证明出∠ADE=∠B,得出tan∠ADE=,设AE=x,根据勾股定理求出x,再求出直径即可.
    【解答】(1)证明:∵D是弧AC的中点,
    ∴,
    ∵AB⊥DH,且AB是⊙O的直径,
    ∴,
    ∴,
    ∴∠ADH=∠CAD,
    ∴AF=DF.
    (2)解:∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∴∠DAB+∠B=90°,
    ∵∠DAE+∠ADE=90°,
    ∴∠ADE=∠B,
    ∴sin∠ADE=,
    ∴tan∠ADE=,
    设AE=x,则DE=2x,
    ∵DF=AF=,
    ∴EF=2x﹣,
    ∵AE2+EF2=AF2,
    ∴x=2,
    ∴AD==2,
    ∴AB=,
    ∴AB=10,
    ∴⊙O的半径为5.
    【点评】本题考查了圆的相关性质的应用,解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键.
    23.(12分)某中学组织学生研学,原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆,则有30人没有座位;若租用可坐乘客60人的B种客车,则可少租6辆,且恰好坐满.
    (1)求原计划租用A种客车多少辆?这次研学去了多少人?
    (2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆,要求B种客车不超过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案?
    (3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租金每辆300元,应该怎样租车才最合算?
    【分析】(1)设原计划租用A种客车x辆,则这次研学去了(45x+30)人,根据这次去研学的人数不变,可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;
    (2)设租用B种客车y辆,则租用A种客车(25﹣y)辆,根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人,且租用的B种客车不超过7辆”,可得出关于y的一元一次不等式组,解之可得出y的取值范围,再结合y为正整数,即可得出各租车方案;
    (3)利用总租金=每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数,可分别求出选择各方案所需总租金,比较后,即可得出结论.
    【解答】解:(1)设原计划租用A种客车x辆,则这次研学去了(45x+30)人,
    根据题意得:45x+30=60(x﹣6),
    解得:x=26,
    ∴45x+30=45×26+30=1200.
    答:原计划租用A种客车26辆,这次研学去了1200人;
    (2)设租用B种客车y辆,则租用A种客车(25﹣y)辆,
    根据题意得:,
    解得:5≤y≤7,
    又∵y为正整数,
    ∴y可以为5,6,7,
    ∴该学校共有3种租车方案,
    方案1:租用5辆B种客车,20辆A种客车;
    方案2:租用6辆B种客车,19辆A种客车;
    方案3:租用7辆B种客车,18辆A种客车;
    (3)选择方案1的总租金为300×5+220×20=5900(元);
    选择方案2的总租金为300×6+220×19=5980(元);
    选择方案3的总租金为300×7+220×18=6060(元).
    ∵5900<5980<6060,
    ∴租用5辆B种客车,20辆A种客车最合算.
    【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次方程,(3)根据各数量之间的关系,求出选择各方案所需总租金.
    24.(12分)据统计,每年因汽车追尾而造成的交通事故占交通事故总数的70%以上.注意车速,保持车距是行车安全中必须遵守的.某公路上正在行驶的甲车,发现前方道路有一辆乙车并开始减速,减速后甲车行驶的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系如表所示.
    (1)根据所得数据中甲车行驶的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的变化规律,利用初中所学函数知识求出s与t之间的函数关系式,并写出n的值;
    (2)若乙车因事故抛锚在距甲车50米处,甲车是否会追尾抛锚的车辆?试说明理由;
    (3)乙车以4m/s的速度匀速行驶,若要避免发生追尾事故,甲车至少在距离乙车多少米处开始刹车?
    【分析】(1)由表格数据可知,s是t的二次函数,且其图象经过原点(0,0),利用待定系数法求出s与t之间的函数关系式;将t=3代入函数关系式,求出n的值即可;
    (2)当甲车停止前进时s的值最大,求出(1)中求得的s与t的函数的最大值并与50比较大小即可得出结论;
    (3)设甲车在距离乙车x米处开始刹车,经过t s甲车追上乙车.当甲车追上乙车时,根据二者行驶路程之间的关系列方程,将x表示出来,求出x的最大值即可.
    【解答】解:(1)由表格数据可知,s是t的二次函数,且其图象经过原点(0,0).
    设s=at2+bt(a、b为常数,且a≠0).
    将t=1,s=15和t=2,s=28分别代入s=at2+bt,
    得,
    解得,
    ∴s=﹣t2+16t;
    当t=3时,n=﹣32+16×3=39;
    ∴s与t之间的函数关系式为s=﹣t2+16t,n=39.
    (2)甲车会追尾抛锚的车辆.理由如下:
    ∵s=﹣t2+16t=﹣(t﹣8)2+64,
    ∴当t=8时,s的最大值为64,此时甲车停止前进,
    ∵50<64,
    ∴甲车会追尾抛锚的车辆.
    (3)设甲车在距离乙车x米处开始刹车,经过t s甲车追上乙车.
    当甲车追上乙车时,得﹣t2+16t=x+4t,即x=﹣t2+12t=﹣(t﹣6)2+36,
    ∴当t=6时,x取最大值,x的最大值为36,
    ∴甲车至少在距离乙车36米处开始刹车.
    【点评】本题考查二次函数的应用,掌握待定系数法求二次函数的关系式及其最值的求法是解题的关键.
    25.(12分)问题情境:如图1,在△ABC中,AB=AC=17,BC=30,AD是BC边上的中线.如图2,将△ABC的两个顶点B,C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合,折痕分别交AB,AC,BC于点E,F,G,H.
    猜想证明:(1)如图2,试判断四边形AEDG的形状,并说明理由;
    问题解决:(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN折叠,使得顶点B与点H重合,折痕分别交AB,BC于点M,N,BM的对应线段交DG于点K,求四边形MKGA的面积.
    【分析】(1)由AB=AC,AD是BC边上的中线,得BD=CD=BC,AD⊥BC,由折叠得BF=DF=BD,CH=DH=CD,EF⊥BD,GH⊥CD,则EF∥GH∥AD,可证明BE=AE,CG=AG,所以DE=AE=AB,GD=AG=AC,则DE=AE=GD=AG,所以四边形AEDG是菱形;
    (2)作KI⊥DH于点I,由AB=AC=17,BC=30,得BD=CD=15,AD==8,所以CH=DH=,则GH=AD=4,BH=,所以BN=HN=,因为MN∥AD,所以△MBN∽△ABD,则==,所以MN=AD=6,再证明KD=KH,则DI=HI=,由=tan∠KHI=tanC==,求得KI=HI=2,即可由S四边形MKGA=S△ABC﹣S△MBH﹣S△GDC+S△KDH,求得S四边形MKGA=30.
    【解答】解:(1)四边形AEDG是菱形,
    理由:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
    ∴BD=CD=BC,AD⊥BC,
    ∴∠ADB=∠ADC=90°,
    由折叠得BF=DF=BD,CH=DH=CD,EF⊥BD,GH⊥CD,
    ∴EF∥GH∥AD,
    ∴==1,==1,
    ∴BE=AE,CG=AG,
    ∴DE=AE=AB,GD=AG=AC,
    ∵AB=AC,
    ∴DE=AE=GD=AG,
    ∴四边形AEDG是菱形.
    (2)如图3,作KI⊥DH于点I,则∠KIH=90°,
    ∵AB=AC=17,BC=30,
    ∴BD=CD=BC=×30=15,
    ∴AD===8,CH=DH=CD=×15=,
    ∴GH=AD=×8=4,BH=BC﹣CH=30﹣=,
    由折叠得BN=HN=BH=×=,MN⊥BH,
    ∴MN∥AD,
    ∴△MBN∽△ABD,
    ∴===,
    ∴MN=AD=×8=6,
    ∵∠KHD=∠B,∠KDH=∠C,且∠B=∠C,
    ∴∠KHD=∠KDH,
    ∴KD=KH,
    ∴DI=HI=DH=×=,
    ∵∠KHI=∠B=∠C,
    ∴=tan∠KHI=tanC==,
    ∴KI=HI=×=2,
    ∴S四边形MKGA=S△ABC﹣S△MBH﹣S△GDC+S△KDH,
    ∴S四边形MKGA=×30×8﹣××6﹣×15×4+××2=30,
    ∴四边形MKGA的面积是30.
    【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、根据转化思想求图形的面积等知识与方法,此题综合性强,难度较大,属于考试压轴题.射击(环)
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