新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第09讲函数的基本性质练习(学生版+解析)

这是一份新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第09讲函数的基本性质练习(学生版+解析)，共21页。

1.借助函数图象，会有符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
【基础知识】
一、函数的单调性及其符号表达
1.函数单调性的概念
函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．
2.函数单调性的符号表达
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
如果∀x1，x2∈D，当x1如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．
二、增函数、减函数
1.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing functin)．
2.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing functin)．
3.如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【解读】
1.单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：
(1)属于同一个区间D；
(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；
(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x12.并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x是偶数，,0，x是奇数，))它的定义域为N，但不具有单调性．
3.这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
4.函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝eq \f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．
5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝eq \f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝eq \f(1,x)(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
三、定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
注意：对单调递增的判断，当x1四、函数的最大值
1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①∀x∈I，都有f(x)≤M；
②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
2.几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象eq \(□,\s\up4(03))最高点的纵坐标．
五、函数的最小值
1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①∀x∈I，都有f(x)≥M；
②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象eq \(□,\s\up4(03))最低点的纵坐标．
六、偶函数、奇函数
1.偶函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even functin)．
2.奇函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(dd functin)．
3.偶函数、奇函数的图象特征
(1)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
(2)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
【解读】
1.奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解)．
2.定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数．
3.对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0；对于偶函数f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
【考点剖析】
考点一：证明或判断函数单调性
例1．(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期期中)下列函数为奇函数的是( )
A．B．C．D．
考点二：求单调区间
例2．函数的单调增区间为( )
A．B．C．和D．
考点三：利用单调性比较大小
例3．(2020-2021学年江苏省镇江市高一上学期期中)若偶函数在上是减函数，则( )
A．B．
C．D．
考点四：求函数的最值
例4．函数 在 上的最小值为( )
A．2 B．1C． D．
考点五：判断函数的奇偶性
例5．(多选)(2022学年广东省化州市第三中学高一上学期期中)设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．是奇函数B．是偶函数
C．是偶函数D．是奇函数
考点六：抽象函数的单调性与奇偶性
例6．(2022学年新疆沙湾县高一上学期期中)已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
考点七：单调性与奇偶性的综合应用
例7．(2022学年浙江省杭州市高一下学期期末)设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为( )
A．B．
C．D．
【真题演练】
1.(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)下列函数既是偶函数又在上单调递减的是( )
A．B．C．D．
2.(2022学年广东省普宁市华侨中学高一下学期期中)设为奇函数，且当时，，则当时，( )
A．B．
C．D．
3.(2020-2021学年四川省巴中市恩阳区高一上学期期中)已知在为单调函数，则a的取值范围为( )
A．B．C．D．
4.(2021年高考全国乙卷)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．B．C．D．
5.(多选)(2022学年贵州省黔东南州高一上学期期末)已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的最大值为3B．f(0)＝2
C．若f(x)＝－1，则x＝2D．f(x)在定义域上是减函数
6.(多选)(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一段考)函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是( )
A．
B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．，使
7.(2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中)已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
8. (2022学年云南省昆明市高一月考)已知，函数．
(1)指出在上的单调性(不需说明理由)；
(2)若在上的值域是，求的值．
【过关检测】
1.(2022学年广东省揭阳华侨高级中学高一下学期考试) 定义在上的偶函数满足：对任意的有则( )
A．B．
C．D．
2. (2022学年甘肃省张掖市第二中学高一下学期3月月考)已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
3. (2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)函数的图象为( )
A．B．
C．D．
4. (2022学年广东省广州市华南师大附中高一下学期期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为( )
A．B．
C．D．
5. (2022学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)下列函数中，既是奇函数又是减函数的为( )
A．B．C．D．
6. (2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中)若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则( )
A．f(0)＞f(3)B．∀x∈R，f(x)≤f(2)
C．D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3
7.(2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高一上学期期中)已知函数，则的单调递增区间为______.
8. (2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式 x·f(x)＞0 的解集为_______________.
9. (2022学年内蒙古自治区赤峰市红山区高一上学期期末)已知是定义在上的偶函数，且时，．
(1)求函数的表达式；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性．
10.(2022学年河北省秦皇岛市高一上学期期末) 已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域.
第09讲 函数的基本性质
【学习目标】
1.借助函数图象，会有符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
【基础知识】
一、函数的单调性及其符号表达
1.函数单调性的概念
函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．
2.函数单调性的符号表达
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
如果∀x1，x2∈D，当x1如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．
二、增函数、减函数
1.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing functin)．
2.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing functin)．
3.如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【解读】
1.单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：
(1)属于同一个区间D；
(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；
(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x12.并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x是偶数，,0，x是奇数，))它的定义域为N，但不具有单调性．
3.这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
4.函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝eq \f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．
5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝eq \f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝eq \f(1,x)(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
三、定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
注意：对单调递增的判断，当x1四、函数的最大值
1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①∀x∈I，都有f(x)≤M；
②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
2.几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象eq \(□,\s\up4(03))最高点的纵坐标．
五、函数的最小值
1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①∀x∈I，都有f(x)≥M；
②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象eq \(□,\s\up4(03))最低点的纵坐标．
六、偶函数、奇函数
1.偶函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even functin)．
2.奇函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(dd functin)．
3.偶函数、奇函数的图象特征
(1)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
(2)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
【解读】
1.奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解)．
2.定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数．
3.对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0；对于偶函数f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
【考点剖析】
考点一：证明或判断函数单调性
例1．(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期期中)下列函数为奇函数的是( )
A．B．C．D．
答案:B
解析：对于A：定义域为，且，
所以为偶函数，故A错误；
对于B：定义域为，且，
所以为奇函数，故B正确；
对于C：定义域为，且，
所以为偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，
故为非奇非偶函数，故D错误；故选B
考点二：求单调区间
例2．函数的单调增区间为( )
A．B．C．和D．
答案:C
解析：由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和，故选C
考点三：利用单调性比较大小
例3．(2020-2021学年江苏省镇江市高一上学期期中)若偶函数在上是减函数，则( )
A．B．
C．D．
答案:B
解析：为偶函数，；在上是减函数，，
即.故选B.
考点四：求函数的最值
例4．函数 在 上的最小值为( )
A．2 B．1C． D．
答案:C
解析：因为函数 ， 所以函数 在 上是减函数，
所以当 时， .
考点五：判断函数的奇偶性
例5．(多选)(2022学年广东省化州市第三中学高一上学期期中)设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．是奇函数B．是偶函数
C．是偶函数D．是奇函数
答案:AB
解析：是奇函数，是偶函数，，，
，故是奇函数，A正确；
，故为偶函数，B正确；
，故是奇函数，C错误；
，故为偶函数，D错误.
故选AB．
考点六：抽象函数的单调性与奇偶性
例6．(2022学年新疆沙湾县高一上学期期中)已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
解析： (1)因为函数的定义域为R，
令，所以，即，
令，所以，即，
所以函数为奇函数．
(2)不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．
(3)由(1)可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．
考点七：单调性与奇偶性的综合应用
例7．(2022学年浙江省杭州市高一下学期期末)设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为( )
A．B．
C．D．
答案:B
解析：函数的图象关于点成中心对称，故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.记所以是偶函数，
对于任意正数，都，即，所以在 单调递增，且，是偶函数,故在 单调递减，且
当 时，，
当 时，，
故的解集为.故选B
【真题演练】
1.(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)下列函数既是偶函数又在上单调递减的是( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；
D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；
C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.故选C.
2.(2022学年广东省普宁市华侨中学高一下学期期中)设为奇函数，且当时，，则当时，( )
A．B．
C．D．
答案:B
解析：设，则，所以，又为奇函数，所以，所以当时，.故选B.
3.(2020-2021学年四川省巴中市恩阳区高一上学期期中)已知在为单调函数，则a的取值范围为( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，故选D
4.(2021年高考全国乙卷)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．B．C．D．
答案:B
解析：由题意可得，对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B
5.(多选)(2022学年贵州省黔东南州高一上学期期末)已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的最大值为3B．f(0)＝2
C．若f(x)＝－1，则x＝2D．f(x)在定义域上是减函数
答案:AB
解析：当时，是增函数，则此时(1)，
当，为减函数，则此时，综上的最大值为3，故A正确；
，故B正确；
当时，由时，得，此时≤1，成立，故C错误；
当时，是增函数，故D错误，故选AB．
6.(多选)(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一段考)函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是( )
A．
B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．，使
答案:AB
解析：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则，使
D不正确；
令，则，即
A正确；
若在上有最小值－1，即对，，使得
当时，，即在上有最大值1
B正确；
根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确；故选AB．
7.(2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中)已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
答案:
解析：不妨设，所以由可得：，
所以函数在上递减，故，解得：．
8. (2022学年云南省昆明市高一月考)已知，函数．
(1)指出在上的单调性(不需说明理由)；
(2)若在上的值域是，求的值．
解析： (1)因为，所以在上是增函数．
(2)易知，由(1)可知在上为增函数．
，解得，
由得，解得．
【过关检测】
1.(2022学年广东省揭阳华侨高级中学高一下学期考试) 定义在上的偶函数满足：对任意的有则( )
A．B．
C．D．
答案:A
解析：因为对任意的有所以函数在区间上单调递减，
所以，又因为函数是偶函数，所以.故选A
2. (2022学年甘肃省张掖市第二中学高一下学期3月月考)已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案:B
解析：依题意奇函数是定义在区间上的增函数，
，
.故选B
3. (2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)函数的图象为( )
A．B．
C．D．
答案:D
解析：因为的定义域为，且
所以为偶函数，可排除AB；又当时，，故C错误.故选D
4. (2022学年广东省广州市华南师大附中高一下学期期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为( )
A．B．
C．D．
答案:B
解析：因为，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因为，所以；故选B
5. (2022学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)下列函数中，既是奇函数又是减函数的为( )
A．B．C．D．
答案:BC
解析：对于A项，函数是奇函数，但是在或上单调递减，
在定义域上不具有单调性，故A项错误；
对于B项，函数可化为其图象如图：
故既是奇函数又是减函数，故B项正确；
对于C项，函数既是奇函数又是减函数，正确；
对于D项，是偶函数，故D项错误.故选BC.
6. (2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中)若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则( )
A．f(0)＞f(3)B．∀x∈R，f(x)≤f(2)
C．D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3
答案:AC
解析：由，，可得图象关于对称，
由，，可得在上单调递增，在上单调递减，当时，最小，结合函数的单调性和对称性得：距离越近函数值越小，则显然A正确，B不正确；
对C，，C正确；
对D，时，距更远，则，解得或，D不正确．
故选AC.
7.(2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高一上学期期中)已知函数，则的单调递增区间为______.
答案:
解析：，解得.
函数的对称轴为，开口向下，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为.
8. (2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式 x·f(x)＞0 的解集为_______________.
答案:
解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，所以，且在上单调递增．因此，当时，，当时，，当时，，当时，，所以x·f(x)＞0 的解集为．
9. (2022学年内蒙古自治区赤峰市红山区高一上学期期末)已知是定义在上的偶函数，且时，．
(1)求函数的表达式；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性．
解析： (1)设，则，，
因为函数为偶函数，所以，即，
所以．
(2)设，，
∵，∴，，
∴，∴在为单调减函数．
10.(2022学年河北省秦皇岛市高一上学期期末) 已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域.
解析： (1)在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
(2)的定义域为.
因为，所以为奇函数.
由(1)得在区间上单调递增，
结合奇偶性可得在区间上单调递增.
又因为，，所以在区间上的值域为.