新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第10讲幂函数练习(学生版+解析)

这是一份新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第10讲幂函数练习(学生版+解析)，共17页。

通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．
【基础知识】
一、幂函数的概念
1.一般地，函数y＝xα叫做幂函数(pwer functin)，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的特征
(1)xα的系数是1；
(2)xα的底数x是自变量；
(3)xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
二、一些常用幂函数的图象
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 的图象(如图)．
三、幂函数的性质
1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
2.如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
3.如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
4.在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
【考点剖析】
考点一：幂函数的定义
例1．(2022学年河北省沧州市高一上学期期末)下列函数是幂函数的是( )
A．B．
C．D．
考点二：幂函数的图象及应用
例2．(2022学年河北省博野中学高一上学期开学考试)函数和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么.
其中正确的是( ).
A．①④B．①C．①②D．①③④
考点三：利用幂函数单调性比较大小
例3．比较下列各题中两个值的大小：
(1)和 (2)和.
考点四：幂函数图象与性质的综合应用
例4．(多选)(2022学年广东省普宁市高一上学期期末)已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有( )
A．为偶函数B．为增函数
C．若，则D．若，则
【真题演练】
1.(2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期素质检测)幂函数在上单调递减，则实数m的值为( )
A．B．3C．或3D．
2.(2022学年四川省南充高级中学高一上学期期中)已知幂函数(a是常数)，则( )
A．的定义域是RB．在单调递增
C．过定点D．可能过定点
3.(2020-2021学年上海市晋元高级中学高一上学期期中)已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是( )
A．B．
C．D．
4. (多选)(2022学年广东省深圳市光明区高一上学期期末)已知幂函数，则( )
A．B．定义域为
C．D．
5.(多选)(2022学年湖北省十堰市区县普通高中联合体高一上学期期中)黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是且；③在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有( )
A．B．
C．D．
6. (2022学年甘肃省庆阳市宁县高一上学期期末)已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．
7.(2022学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一下学期期中)已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．
8.(2022学年广西十八校高一10月联考)已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．
【过关检测】
1. (2022学年安徽省宣城市六校高一上学期期中)已知点(a，2)在幂函数的图象上，则函数f(x)的解析式是( )
A．B．
C．D．
2.下列命题中正确的是( )
A．幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)
B．若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增
C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限
D．幂函数的图象不可能是直线
3.(2022学年】河北省石家庄市藁城区第一中学高一上学期月考)已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是( )
A．奇函数B．偶函数
C．在单调递减D．定义域为
4.(2022学年河南省郑州市中牟县高一上学期期中)若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是( )
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
5.(多选)下列关于幂函数的性质说法正确的有( )
A．当时，函数在其定义域上递减
B．当时，函数图象是一条直线
C．当时，函数是偶函数
D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为
6. (2022学年福建省漳州市高一上学期期末教学质量检测)已知幕函数的图象经过点，则( )
A．函数是偶函数
B．函数是增函数
C．函数的图象一定经过点
D．函数的最小值为0
7. (2022学年四川省德阳市什邡市什邡中学高一下学期月考)已知点在幂函数的图象上，则=_______．
8. (2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考)写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②；③任取，，且．
9.已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上的最大值为，求实数的值．
10.已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上函数值随着x的增大而减小.
(1)求m值.
(2)若满足，求a的取值范围.
第10讲 幂函数
【学习目标】
通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．
【基础知识】
一、幂函数的概念
1.一般地，函数y＝xα叫做幂函数(pwer functin)，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的特征
(1)xα的系数是1；
(2)xα的底数x是自变量；
(3)xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
二、一些常用幂函数的图象
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 的图象(如图)．
三、幂函数的性质
1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
2.如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
3.如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
4.在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
【考点剖析】
考点一：幂函数的定义
例1．(2022学年河北省沧州市高一上学期期末)下列函数是幂函数的是( )
A．B．
C．D．
答案:C
解析：形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选C.
考点二：幂函数的图象及应用
例2．(2022学年河北省博野中学高一上学期开学考试)函数和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么.
其中正确的是( ).
A．①④B．①C．①②D．①③④
答案:A
解析：当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ，
所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，所以，若，可得，所以②错误；
由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；
当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ，
所以，若时，可得，所以④正确.故选A．
考点三：利用幂函数单调性比较大小
例3．比较下列各题中两个值的大小：
(1)和 (2)和.
解析：(1)考察幂函数，因为其在区间上是增函数，而且，所以.
(2)考察幂函数，因为其在区间上是减函数，而且，所以.
考点四：幂函数图象与性质的综合应用
例4．(多选)(2022学年广东省普宁市高一上学期期末)已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有( )
A．为偶函数B．为增函数
C．若，则D．若，则
答案:BCD
解析：将点代入函数得：，则，
所以，
∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；
函数在定义域上为增函数，所以B正确；
当时，，即，所以C正确；
若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选BCD.
【真题演练】
1.(2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期素质检测)幂函数在上单调递减，则实数m的值为( )
A．B．3C．或3D．
答案:A
解析：因为是幂函数，
故，解得或，
又因为幂函数在上单调递减，所以需要，
则故选A
2.(2022学年四川省南充高级中学高一上学期期中)已知幂函数(a是常数)，则( )
A．的定义域是RB．在单调递增
C．过定点D．可能过定点
答案:C
解析：已知幂函数(a是常数)，
当，，此时定义域为，A错误，
当，，此时在单调递减，B错误，
当时，，过定点，C正确，D错误.故选C.
3.(2020-2021学年上海市晋元高级中学高一上学期期中)已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是( )
A．B．
C．D．
答案:A
解析：设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，
所以，即，
解得，
所以，
则函数的定义域为，所以排除CD，
因为，所以在上为减函数，
所以排除B，故选A
4. (多选)(2022学年广东省深圳市光明区高一上学期期末)已知幂函数，则( )
A．B．定义域为
C．D．
答案:AC
解析：为幂函数，，得，A对；
函数的定义域为，B错误；
由于在上为增函数，，C对；
，，D错误，故选AC.
5.(多选)(2022学年湖北省十堰市区县普通高中联合体高一上学期期中)黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是且；③在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有( )
A．B．
C．D．
答案:CD
解析：由已知可得，此函数为奇函数，而A选项为偶函数，不满足题意，排除选项；
选项B，的值域为，且该函数在R上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C、D同时满足三个条件.故选CD.
6. (2022学年甘肃省庆阳市宁县高一上学期期末)已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．
答案:
解析：由题意，设，代入点得，解得，则.
7.(2022学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一下学期期中)已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．
答案:4
解析：由于是幂函数，所以，解得或.
当时，，图象关于轴对称，符合题意.
当时，，图象关于原点对称，不符合题意.
所以的值为，∴.，.
8.(2022学年广西十八校高一10月联考)已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．
解析： (1)设，则，则，
∴函数的解析式为．
(2)因为，
∴函数的单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为．
【过关检测】
1. (2022学年安徽省宣城市六校高一上学期期中)已知点(a，2)在幂函数的图象上，则函数f(x)的解析式是( )
A．B．
C．D．
答案:A
解析：∵函数是幂函数，∴，即，
∴点(4，2)在幂函数的图象上，∴，故．故选A.
2.下列命题中正确的是( )
A．幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)
B．若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增
C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限
D．幂函数的图象不可能是直线
答案:C
解析：幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是A，B都不正确．
幂函数y＝x的图象是直线，D不正确．
当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，C正确
故选C．
3.(2022学年】河北省石家庄市藁城区第一中学高一上学期月考)已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是( )
A．奇函数B．偶函数
C．在单调递减D．定义域为
答案:C
解析：设幂函数，
由题意得： ，
故，定义域为 ，故D错误；
定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；
由于 ，故在在单调递减，C正确，故选C
4.(2022学年河南省郑州市中牟县高一上学期期中)若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是( )
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
答案:D
解析：设，将代入得：，解得：，所以，定义域为，故不是奇函数也不是偶函数，AC错误；
因为，所以，，B错误；
，，由于，则
，故，D正确.
故选D
5.(多选)下列关于幂函数的性质说法正确的有( )
A．当时，函数在其定义域上递减
B．当时，函数图象是一条直线
C．当时，函数是偶函数
D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为
答案:CD
解析：当时，，函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误；
当时，，，其图象是去掉点的直线，故B选项错误；
当时，，函数的定义域为，是偶函数，所以C选项正确；
当时，，其图象与轴只有个交点，且交点的横坐标为，所以D选项正确.
故选CD.
6. (2022学年福建省漳州市高一上学期期末教学质量检测)已知幕函数的图象经过点，则( )
A．函数是偶函数
B．函数是增函数
C．函数的图象一定经过点
D．函数的最小值为0
答案:BD
解析：依题意，所以，
由于的定义域是，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，A选项错误.
在上递增，所以B选项正确.
，所以C选项错误.，所以D选项正确.故选BD
7. (2022学年四川省德阳市什邡市什邡中学高一下学期月考)已知点在幂函数的图象上，则=_______．
答案:16
解析：因为点在幂函数的图象上，所以，解得，
所以，则
8. (2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考)写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②；③任取，，且．
答案:(答案不唯一)
解析：取，函数为幂函数，满足①；，则函数为偶函数，满足②；③表示函数在上单调递增，由幂函数的性质可知满足③.
9.已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上的最大值为，求实数的值．
解析：(1)由幂函数可知，解得或
当时，，函数为偶函数，符合题意；
当时，，不符合题意；
故求的解析式为
(2)由(1)得：
函数的对称轴为：，开口朝上
，
由题意得在区间上，解得
所以实数的值为2.
10.已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上函数值随着x的增大而减小.
(1)求m值.
(2)若满足，求a的取值范围.
解析：(1)因为函数在上单调递减，
所以，
解得.
又因为，所以，；
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，故.
(2)由(1)可知，，所以得，解得或，
即a的取值范围为.