新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第15讲三角函数的概念及诱导公式练习(学生版+解析)

这是一份新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第15讲三角函数的概念及诱导公式练习(学生版+解析)，共23页。

1. 借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义
2. 借助于单位圆的对称性，利用定义指导出诱导公式(，的正弦，余弦，正切)
3.理解同角三角函数的基本关系式：
【基础知识】
一、三角函数的概念
1.单位圆中三角函数的定义
2.三角函数值的符号
规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、利用三角函数的定义求值的策略
1.已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
方法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
3.若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
三、同角三角函数的基本关系
1.两个基本关系式
2.同角三角函数的基本关系式的变形形式
(1)平方关系变形
sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
(2)商的变形
sinα＝tanαcsα，csα＝eq \f(sinα,tanα).
3.求三角函数值的方法
(1)已知sinθ(或csθ)求tanθ常用以下方式求解
(2)已知tanθ求sinθ(或csθ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
4．已知角α的正切求关于sinα，csα的齐次式的值的方法
(1)关于sinα，csα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，csα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以csα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cs2α来代换，将分子、分母同除以cs2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
4.三角函数求值中常见的变形公式
(1)sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋csα)2＝1＋2sinαcsα；(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα.
(2)求sinα＋csα或sinα－csα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号．
四、利用同角三角函数关系化简的常用方法
1.化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；
2.对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；
3.对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简.
五、简单的三角恒等式的证明思路
1.从一边开始，证明它等于另一边；
2.证明左、右两边等于同一个式子；
3.逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.
六、诱导公式
(1)在公式一～四中，角α是任意角．
(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.
【考点剖析】
考点一：利用三角函数定义求值
例1．(2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一下学期期中)已知角的终边经过点，则角的正弦值为( )
A．B．C．D．
考点二：确定三角函数值的符号
例2．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)下列各式的符号为正的是( )
A．B．
C．D．
考点三：确定角所在象限
例3．(2021－2022学年北京市八一学校高一6月月考)若且，则角所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
考点四：给出一个角的一个三角函数值求该角的其他三角函数值
例4．(2022学年海南省华侨中学高一上学期期末)已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是( )
A．B．C．D．
考点五：齐次分式求值
例5. (2022学年江西省名校高一下学期期中)已知，则( )
A．B．C．D．
考点六：根据sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα的关系求值
例6．(2022学年山东省德州市第一中学高一下学期6月月考)在ABC中，若，则( )
A．B．C．D．
考点七：利用诱导公式求值
例7．(2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中)______．
考点八：三角函数式的化简
例8．(2020-2021学年黑龙江省绥化市第一中学高一上学期期末)若角，则( )
A．B．C．D．
考点九：三角函数式证明
例9．求证：
(1)
(2)
【真题演练】
1．(2022学年辽宁省沈阳市部分学校高一下学期期中)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则( )
A．B．C．D．1
2．(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)已知角终边在第一象限，，那么的值为( )
A．B．C．D．
3.(2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考)若，则( )
A．B．C．D．
4.(多选)(2022学年湖北省部分重点高中高一上学期期末)已知，，那么的可能值为( )
A．B．C．D．
5.(多选) (2022学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期期中)已知点在第一象限，则在内的取值范围是( )
A．B．C．D．
6.(2022学年上海财经大学附属北郊高级中学高一下学期3月月考)已知，则的取值范围是__．
7.(2022学年广西桂林市第十九中学高一下学期期中)(1)已知，求的值．
(2)化简．
8. (2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期月考)已知.
(1)求的值
(2)若，求的值.
【过关检测】
1. (2022学年北京市昌平区第一中学高一下学期期中)若角满足，，则在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.(2022学年安徽省皖中名校高一下学期期中)设，，则( )
A．B．C．D．
3.(2022学年北京市中国人民大学附中高一3月检测)若，则( )
A．B．C．D．
4.(多选)(2022学年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校协作联考高一上学期月考)以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标不可能的是( )
A．B．C．D．
5.(多选)(2022学年山东省德州市高一上学期数学期末)已知，，则可能等于( )
A．B．C．D．
6.(2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中)______．
7.(2022学年辽宁省沈阳市同泽高中高一下学期4月月考)已知，且，则的值为___________.
8.(2022学年上海财经大学附属北郊高中高一下学期月考)若，则__．
9．(1)化简：tan(其中α为第二象限角)；
(2)求证：1．
10.(2022学年北京市房山中学高一年级4月月考)已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值；
(2)求m的值；
(3)若，求的值.
第15讲 三角函数的概念及诱导公式
【学习目标】
1. 借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义
2. 借助于单位圆的对称性，利用定义指导出诱导公式(，的正弦，余弦，正切)
3.理解同角三角函数的基本关系式：
【基础知识】
一、三角函数的概念
1.单位圆中三角函数的定义
2.三角函数值的符号
规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、利用三角函数的定义求值的策略
1.已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
方法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
3.若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
三、同角三角函数的基本关系
1.两个基本关系式
2.同角三角函数的基本关系式的变形形式
(1)平方关系变形
sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
(2)商的变形
sinα＝tanαcsα，csα＝eq \f(sinα,tanα).
3.求三角函数值的方法
(1)已知sinθ(或csθ)求tanθ常用以下方式求解
(2)已知tanθ求sinθ(或csθ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
4．已知角α的正切求关于sinα，csα的齐次式的值的方法
(1)关于sinα，csα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，csα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以csα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cs2α来代换，将分子、分母同除以cs2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
4.三角函数求值中常见的变形公式
(1)sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋csα)2＝1＋2sinαcsα；(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα.
(2)求sinα＋csα或sinα－csα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号．
四、利用同角三角函数关系化简的常用方法
1.化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；
2.对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；
3.对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简.
五、简单的三角恒等式的证明思路
1.从一边开始，证明它等于另一边；
2.证明左、右两边等于同一个式子；
3.逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.
六、诱导公式
(1)在公式一～四中，角α是任意角．
(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.
【考点剖析】
考点一：利用三角函数定义求值
例1．(2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一下学期期中)已知角的终边经过点，则角的正弦值为( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：因为角的终边经过点，则，，所以.
故选D.
考点二：确定三角函数值的符号
例2．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)下列各式的符号为正的是( )
A．B．
C．D．
答案:C
解析：因为，所以，故A错误；
因为，，所以，，
所以，故B错误；
因为，所以，所以，故C正确；
因为 ，所以，故D错误.故选C.
考点三：确定角所在象限
例3．(2021－2022学年北京市八一学校高一6月月考)若且，则角所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案:D
解析：，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限，
所以满足且，角在第四象限.故选D
考点四：给出一个角的一个三角函数值求该角的其他三角函数值
例4．(2022学年海南省华侨中学高一上学期期末)已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是( )
A．B．C．D．
答案:AB
解析：A选项，由诱导公式得：，A正确；
B选项，因为，且为第二象限角，，所以，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，，D错误.故选AB
考点五：齐次分式求值
例5. (2022学年江西省名校高一下学期期中)已知，则( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：因为，所以，故选D.
考点六：根据sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα的关系求值
例6．(2022学年山东省德州市第一中学高一下学期6月月考)在ABC中，若，则( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：因为在ABC中，，两边平方得；，即，
所以，，即，解得，
所以，故选D
考点七：利用诱导公式求值
例7．(2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中)______．
答案:
解析：由题意，原式=
.
考点八：三角函数式的化简
例8．(2020-2021学年黑龙江省绥化市第一中学高一上学期期末)若角，则( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：
.故选C
考点九：三角函数式证明
例9．求证：
(1)
(2)
解析： (1)左边右边.
即证.
(2)左边
右边.
即证：.
【真题演练】
1．(2022学年辽宁省沈阳市部分学校高一下学期期中)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则( )
A．B．C．D．1
答案:A
解析：由三角函数的定义可得.故选A
2．(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)已知角终边在第一象限，，那么的值为( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：由题意，在第一象限，则，所以.
故选C.
3.(2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考)若，则( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：.故选C
4.(多选)(2022学年湖北省部分重点高中高一上学期期末)已知，，那么的可能值为( )
A．B．C．D．
答案:BD
解析：因为①，又sin2α+cs2α=1②，
联立①②，解得或，
因为，所以或．故选BD
5.(多选) (2022学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期期中)已知点在第一象限，则在内的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案:AB
解析：因为点在第一象限，
所以，即位于第一象限或者第三象限且，且满足，
所以，当位于第一象限时，时，；
当位于第三象限时，时，.故选AB
6.(2022学年上海财经大学附属北郊高级中学高一下学期3月月考)已知，则的取值范围是__．
答案:
解析：
所以，则
即
7.(2022学年广西桂林市第十九中学高一下学期期中)(1)已知，求的值．
(2)化简．
解析：(1)由sin，有sin，
所以sin；
.
(2).
8. (2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期月考)已知.
(1)求的值
(2)若，求的值.
解析： (1)，
∴.
(2)原式=，
∵，
又∵，∴，，，
∴，∴原式.
【过关检测】
1. (2022学年北京市昌平区第一中学高一下学期期中)若角满足，，则在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案:B
解析：，是第二或第四象限角；
当是第二象限角时，，，满足；
当是第四象限角时，，，则，不合题意；
综上所述：是第二象限角.故选B.
2.(2022学年安徽省皖中名校高一下学期期中)设，，则( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：因为，所以，，
与异号．而已知，所以，．
因为，所以取．
故选C.
3.(2022学年北京市中国人民大学附中高一3月检测)若，则( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：，
解得,
则
.故选C.
4.(多选)(2022学年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校协作联考高一上学期月考)以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标不可能的是( )
A．B．C．D．
答案:ABD
解析：以原点为圆心的单位圆上一点从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点，
则设运动过程中弧长对应的角为，则，根据三角函数的定义可得，
即.故选ABD.
5.(多选)(2022学年山东省德州市高一上学期数学期末)已知，，则可能等于( )
A．B．C．D．
答案:BD
解析：因为，
所以由得，
所以，
因为，所以可能等于或，故选BD
6.(2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中)______．
答案:
解析：
.
7.(2022学年辽宁省沈阳市同泽高中高一下学期4月月考)已知，且，则的值为___________.
答案:
解析：令，则
∵，则
8.(2022学年上海财经大学附属北郊高中高一下学期月考)若，则__．
答案:1
解析：因为，所以，
所以，
所以，
所以
9．(1)化简：tan(其中α为第二象限角)；
(2)求证：1．
解析：(1)；
(2)左边右边.
10.(2022学年北京市房山中学高一年级4月月考)已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值；
(2)求m的值；
(3)若，求的值.
解析： (1)因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以
(2)因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以
(3)由(2)可得，，
因为，所以，所以，
所以