新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第17讲三角恒等变换练习(学生版+解析)

这是一份新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第17讲三角恒等变换练习(学生版+解析)，共22页。

1. 经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义
2.能从两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)
【基础知识】
一、两角和与差的三角函数公式
1.两角和与差的余弦公式
2.两角和与差的正弦公式
3.两角和与差的正切公式
4.两角和与差的正切公式的变形
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；
二、二倍角的三角函数
1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角公式的变形形式
(1)(sinα±csα)2＝1±sin2α；
(2)cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
(3)sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
3．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：
(1)sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq \f(2tanα,1＋tan2α).
(2)cs2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cs2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α).
4.半角公式
三、积化和差与和差化积公式
1.积化和差公式
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]．
sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
2.和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sineq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2).
sinα－sinβ＝2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
csα＋csβ＝2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2).
csα－csβ＝－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
四、辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
【考点剖析】
考点一：给角求值
例1．(2022学年四川省成都市蓉城名校联盟学高一下学期期中)( )
A．B．C．D．
考点二：给值求值
例2．(2022学年山东省名校(历城二中、章丘四中等校)高一下学期5月联考)若，则( )
A．B．C．D．
考点三：给值求角
例3．(2022学年江苏省苏州高新区第一中学高一下学期期中)设，且，则( )
A．B．C．D．
考点四：辅助角公式的应用
例4．(2022学年陕西省安康中学高一上学期期末)当时，函数取得最大值，则_______________．
考点五：两角和与差正切公式变形的应用
例5. (2022学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研)已知，，则( )
A．B．C．D．
考点六：平方相加求值
例6．(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月)已知，，则( )
A．B．C．D．
考点七：三角函数式的化简
例7．(2022学年江西省名校高一下学期期中调研)化简______
考点八：三角函数式的证明
例8．(2022学年江西省名校高一下学期期中调研)(1)证明：
(2)求值：
【真题演练】
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( )
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷)已知，且，则( )
A．B．C．D．
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=( )
A．–2B．–1C．1D．2
4.(2021年高考全国甲卷)若，则( )
A．B．C．D．
5.(多选)(2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中)已知，，则恒等于( )
A．B．
C．D．
6.(多选)(2022学年江西省临川一中高一下学期月考)下列选项化简值为1的有( )
A．B．
C．D．
7.(2022学年山东省烟台市高一下学期期中)若，则______．
8.(2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中)化简下列各式：
(1)；
(2)．
【过关检测】
1. (2022学年湖北省荆州市沙市中学高一下学期期中)化简：( )
A．B．C．D．
2.(2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期段考)已知，，则( )
A．B．C．D．
3.(2022学年贵州省黔东南州高一下学期期中)设，，，则( )
A．B．C．D．
4.(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)若，，且，，则的值是( )
A．B．C．或D．或
5.(多选)(2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中)已知，以下选项正确的是( )
A．B．
C．D．
6.(多选)(2021—2022学年江西省南昌市第二中学高一下学期第一次月考) 下列等式中，正确的是( )
A．
B．
C．
D．
7.(2022学年云南省临沧市云县高一下学期期中)已知，均为锐角，且，，则cs＝___．
8.(2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中)在△ABC中，，则的取值范围是______．
9.(2022学年四川省广安市广安第三中学校高一下学期第一次考)(1)化简
(2)已知，求的值.
10.(2022学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一下学期期中)小萌在一次研究性学习中发现，以下5个式子都成立．
①；
②；
③；
④；
⑤．
她觉着好像有某种规律，你能帮她总结出这个规律么？并证明这个结论；并利用这一结论计算的值．
第17讲 三角恒等变换
【学习目标】
1. 经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义
2.能从两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)
【基础知识】
一、两角和与差的三角函数公式
1.两角和与差的余弦公式
2.两角和与差的正弦公式
3.两角和与差的正切公式
4.两角和与差的正切公式的变形
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；
二、二倍角的三角函数
1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角公式的变形形式
(1)(sinα±csα)2＝1±sin2α；
(2)cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
(3)sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
3．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：
(1)sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq \f(2tanα,1＋tan2α).
(2)cs2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cs2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α).
4.半角公式
三、积化和差与和差化积公式
1.积化和差公式
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]．
sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
2.和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sineq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2).
sinα－sinβ＝2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
csα＋csβ＝2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2).
csα－csβ＝－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
四、辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
【考点剖析】
考点一：给角求值
例1．(2022学年四川省成都市蓉城名校联盟学高一下学期期中)( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：因为sin(59°+61°)=sin(120°)=sin(180°-60°)=sin60°=.故选D.
考点二：给值求值
例2．(2022学年山东省名校(历城二中、章丘四中等校)高一下学期5月联考)若，则( )
A．B．C．D．
答案:B
解析：因为
＝＝
＝. 故选B.
考点三：给值求角
例3．(2022学年江苏省苏州高新区第一中学高一下学期期中)设，且，则( )
A．B．C．D．
答案:A
解析：因为，所以，且，所以，则，故选A．
考点四：辅助角公式的应用
例4．(2022学年陕西省安康中学高一上学期期末)当时，函数取得最大值，则_______________．
答案:
解析：当时，取得最大值(其中)，
∴，即，
∴．
考点五：两角和与差正切公式变形的应用
例5. (2022学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研)已知，，则( )
A．B．C．D．
答案:B
解析：因为，故，
故，同理，
故，故B成立.
而
故，故A错误.
而，故
因，故，所以，
又若，则， 解得，
因为，
，故无解，故D错误.
若，则，则，
这与矛盾，故D错误.故选B.
考点六：平方相加求值
例6．(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月)已知，，则( )
A．B．C．D．
答案:A
解析：由得，
由得，
两式相加得，得.故选A
考点七：三角函数式的化简
例7．(2022学年江西省名校高一下学期期中调研)化简______
答案:
解析：因为所以
考点八：三角函数式的证明
例8．(2022学年江西省名校高一下学期期中调研)(1)证明：
(2)求值：
解析：(1)证明：因为左边
右边，所以原命题成立.
(2)因为，
所以，
所以
【真题演练】
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( )
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
答案:D
解析：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选D．
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷)已知，且，则( )
A．B．C．D．
答案:A
解析：，得，即，解得或(舍去)，又．故选A．
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=( )
A．–2B．–1C．1D．2
答案:D
解析：，，令，则，整理得，解得，即．故选D．
4.(2021年高考全国甲卷)若，则( )
A．B．C．D．
答案:A
解析：，，
，，，解得，
，．故选A．
5.(多选)(2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中)已知，，则恒等于( )
A．B．
C．D．
答案:BC
解析：由可得，即，又，
，整理得，则，B，C正确；A，D错误.故选BC.
6.(多选)(2022学年江西省临川一中高一下学期月考)下列选项化简值为1的有( )
A．B．
C．D．
答案:ABD
解析：对于A，，故A正确；
对于B，，故B 正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D正确.故选ABD.
7.(2022学年山东省烟台市高一下学期期中)若，则______．
答案:
解析：
．
8.(2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中)化简下列各式：
(1)；
(2)．
解析： (1)
；
(2)
.
【过关检测】
1. (2022学年湖北省荆州市沙市中学高一下学期期中)化简：( )
A．B．C．D．
答案:A
解析：
故选A
2.(2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期段考)已知，，则( )
A．B．C．D．
答案:A
解析：因为，
所以，即，
因为，所以、，即，
又，解得或(舍去)；故选A
3.(2022学年贵州省黔东南州高一下学期期中)设，，，则( )
A．B．C．D．
答案:B
解析：根据正余弦和正切的二倍角公式有，，，.因为，，，故，故选B
4.(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)若，，且，，则的值是( )
A．B．C．或D．或
答案:B
解析：，又∵，∴.
又∵，∴，
于是
，易得，则.
故选B.
5.(多选)(2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中)已知，以下选项正确的是( )
A．B．
C．D．
答案:BCD
解析：根据题意，，两边平方，得，所以，，故A错误；
又因为，所以，，故B正确；
，故C正确；
，故D正确；
故选BCD
6.(多选)(2021—2022学年江西省南昌市第二中学高一下学期第一次月考) 下列等式中，正确的是( )
A．
B．
C．
D．
答案:ACD
解析：对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，
，所以，故C正确；
对于D，，
，
所以，故D正确.故选ACD.
7.(2022学年云南省临沧市云县高一下学期期中)已知，均为锐角，且，，则cs＝___．
答案:
解析：因为均为锐角，则，又，即，，
于是得，，又，
所以．
8.(2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中)在△ABC中，，则的取值范围是______．
答案:
解析：因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以
所以，
所以的取值范围为
9.(2022学年四川省广安市广安第三中学校高一下学期第一次考)(1)化简
(2)已知，求的值.
解析：(1)，
故，
又，
故
(2)，解得或
则或
10.(2022学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一下学期期中)小萌在一次研究性学习中发现，以下5个式子都成立．
①；
②；
③；
④；
⑤．
她觉着好像有某种规律，你能帮她总结出这个规律么？并证明这个结论；并利用这一结论计算的值．
解析：猜想规律：.
证明：
=.
=
=.