七年级数学暑期精品讲义第1讲.有理数的概念-满分班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第1讲.有理数的概念-满分班(学生版+解析)，共28页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1正数与负数
正数与负数
正数：像，，这样大于的数叫做正数．
正数都大于．
负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．
负数都小于．
符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．
负数前面的“” 号不可以省略．
用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．
“”的特殊性
既不是正数，也不是负数；
是正数与负数的分界；
是自然数；
的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度．
常见名词：
非负数：正数和零统称为非负数；
非正数：负数和零统称为非正数；
【例题精选】
例1(2023•长春模拟）检验4个工件，每个工件以标准质量为基准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的工件是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．3D．5
【随堂练习】
1.(2023秋•云冈区期末）如图，检测4个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度，下列最接近标准的是（ ）
A．B．C．D．
2.如果以每月生产180个零件为标准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数，那
么1月生产160个零件记作______个，2月生产200个零件记作______个．
2有理数
有理数
整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
有理数：整数和分数统称为有理数．
有理数的分类：
（1）
（2）
【例题精选】
例1(2023秋•临洮县期中）把下列各数填在相应的括号内：
﹣19，2.3，﹣12，﹣0.92，，0，﹣，0.563，π
正数集合{ …}；
负数集合{ …}；
负分数集合{ …}；
非正整数集合{ …}．
例2(2023秋•崇川区校级月考）把下列各数填在相应的大括号内
15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14
正整数集合{ …}
负整数集合{ …}
整数集合{ …}
分数集合{ …}．
【随堂练习】
1．(2023秋•建邺区校级月考）如图，两个圈分别表示负数集合和分数集合，请将3，0，，﹣3，﹣5，3.4中符合条件的数填入圈中：
2．(2023秋•香洲区校级月考）把下列各数填入相应的集合的括号内．
﹣，1，﹣1.5，，0，﹣（﹣），﹣（+8），﹣7，0.38，|﹣2|，﹣20%
3．(2023秋•双流区校级月考）把下列各数填入相应集合的括号内：
+8.5，，0.3，0，﹣3.4，12，﹣9，，﹣1.2，﹣2．
（1）正数集合：{ …}；
（2）整数集合：{ …}；
（3）负分数集合：{ …}．
3数轴
数轴
数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．
原点是数轴的基准点．
正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
数轴的画法
画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
利用数轴比较有理数的大小
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
【例题精选】
例1(2023秋•仁寿县期末）已知a+b＜0，且b＜0＜a，则数a、b在数轴上距离原点较近的是（ ）
A．aB．b
C．a、b一样远近D．无法判断
例2(2023秋•思明区校级月考）一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（ ）
A．1969B．1968C．﹣1969D．﹣1968
【随堂练习】
1．(2023秋•潢川县期中）如图数轴上一个单位长度表示，点A离原点4个单位长度，则点A表示的数是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．﹣0.5
2．(2023秋•辛集市期末）点M表示的有理数是﹣1，点M在数轴上移动5个单位长度后得到点N，则点N表示的有理数是__________．
3．(2023秋•阳信县期末）数轴上表示﹣4.5与2.5之间的所有整数之和是_______．
4相反数
相反数
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
一般地，与互为相反数，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是．
特别地，的相反数是．
相反数是成对出现的．
相反数的几何意义：
互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
多重符号的化简
一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号
【例题精选】
例1．(2023秋•襄汾县期末）数轴上A点表示﹣3，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是__________．
例2．(2023秋•荔湾区期末）代数式3x﹣8与2互为相反数，则x＝________．
【随堂练习】
1．(2023•皇姑区二模）如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）
A．+a和﹣（﹣a）互为相反数B．+a和﹣a一定不相等
C．﹣a一定是负数D．﹣（+a）和+（﹣a）一定相等
2．(2023春•嘉定区期末）如果两个数a与b的是互为相反数，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．a＝bB．a＝C．a+b＝1D．a＝﹣b
3．(2023秋•新宾县期末）如果a的相反数是2，那么（a+1）2019的值为________．
5绝对值
绝对值
绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．
即：
有理数的比较大小
两个负数，绝对值大的反而小．
正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
【例题精选】
例1(2023秋•广安期末）若|m﹣n|＝n﹣m，且|m|＝4，|n|＝3，则m+n＝_______．
例2．(2023秋•和平区校级月考）已知a，b，c，x为实数，且c＜a＜b，代数式|x﹣|+|x﹣|+|x﹣|的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【随堂练习】
1.(2023秋•无棣县期末）如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）

A．pB．qC．mD．n
2．(2023秋•渝中区校级期中）已知4﹣|5﹣b|﹣|a+2|＝|4+a|+|b﹣3|，则ab的最大值是（ ）
A．﹣12B．20C．﹣20D．﹣6
综合练习
一．选择题
1．若数轴上表示数﹣3和1的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
2．如果实数a满足|a|＝3，且a＜0，那么a的值为（ ）
A．±3B．1C．3D．﹣3
3．下列各对数中互为相反数的是（ ）
A．﹣（+3）和+（﹣3）B．+（﹣3）和+|﹣3|
C．﹣（﹣3）和+|﹣3|D．+（﹣3）和﹣|+3|
4．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（ ）
A．a＜b＜﹣b＜﹣aB．a＜﹣b＜﹣a＜bC．a﹣b＞0D．﹣a+b＞0
5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣2|a|的结果为（ ）
A．﹣a﹣bB．3a﹣bC．a+bD．2a﹣b
6．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0B．﹣a+b＞0C．ab＜0D．﹣a﹣b＞0
二．填空题
7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|＝ ．
三．解答题
8．快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3
（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？
（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？
第1讲 有理数
1正数与负数
正数与负数
正数：像，，这样大于的数叫做正数．
正数都大于．
负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．
负数都小于．
符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．
负数前面的“” 号不可以省略．
用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．
“”的特殊性
既不是正数，也不是负数；
是正数与负数的分界；
是自然数；
的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度．
常见名词：
非负数：正数和零统称为非负数；
非正数：负数和零统称为非正数；
【例题精选】
例1(2023•长春模拟）检验4个工件，每个工件以标准质量为基准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的工件是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．3D．5
【解答】解： ﹣2最接近标准质量，
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数；理解正数和负数在实际中的应用是解题的关键．
【随堂练习】
1.(2023秋•云冈区期末）如图，检测4个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度，下列最接近标准的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解： ﹣0.6最接近标准值，
所以这个球是最接近标准的球．
故选：D．
2.如果以每月生产180个零件为标准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数，那
么1月生产160个零件记作______个，2月生产200个零件记作______个．
【解答】解：1月生产160个零件记作20；2月生产200个零件记作20.
故答案为：-20， 20
2有理数
有理数
整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
有理数：整数和分数统称为有理数．
有理数的分类：
（1）
（2）
【例题精选】
例1(2023秋•临洮县期中）把下列各数填在相应的括号内：
﹣19，2.3，﹣12，﹣0.92，，0，﹣，0.563，π
正数集合{ …}；
负数集合{ …}；
负分数集合{ …}；
非正整数集合{ …}．
分析：按照有理数的分类以及意义直接填空即可．
【解答】解：正数集合{2.3，，0.563，π…}；
负数集合{﹣19，﹣12，﹣0.92，﹣ …}；
负分数集合{﹣0.92，﹣ …}；
非正整数集合{﹣19，﹣12，0 …}．
故答案为：{ 2.3，，0.563，π…}； {﹣19，﹣12，﹣0.92，﹣ …}；{﹣0.92，﹣ …}； {﹣19，﹣12，0 …}．
【点评】此题考查有理数的分类，注意：非正包括负数和0；分数包括小数．
例2(2023秋•崇川区校级月考）把下列各数填在相应的大括号内
15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14
正整数集合{ …}
负整数集合{ …}
整数集合{ …}
分数集合{ …}．
分析：按照有理数的分类填写．有理数，根据整数，正数，正分数，负有理数的定义可得出答案．
【解答】解：正整数集合{15，171，…}
负整数集合{﹣3，﹣4，…}
整数集合{15，﹣3，﹣4，171，0，…}
分数集合{﹣，0.81，，﹣3.1，3.14 …}．
【点评】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
【随堂练习】
1．(2023秋•建邺区校级月考）如图，两个圈分别表示负数集合和分数集合，请将3，0，，﹣3，﹣5，3.4中符合条件的数填入圈中：
【解答】解：符合条件的数填入圈中：
2．(2023秋•香洲区校级月考）把下列各数填入相应的集合的括号内．
﹣，1，﹣1.5，，0，﹣（﹣），﹣（+8），﹣7，0.38，|﹣2|，﹣20%
【解答】解：如图所示：
，
故答案为：1，0，|﹣2|，﹣（+8），﹣7；﹣（＝8），﹣7，﹣，﹣1.5，﹣20%；﹣，﹣1.5，﹣20%，﹣（﹣），0.38．
3．(2023秋•双流区校级月考）把下列各数填入相应集合的括号内：
+8.5，，0.3，0，﹣3.4，12，﹣9，，﹣1.2，﹣2．
（1）正数集合：{ …}；
（2）整数集合：{ …}；
（3）负分数集合：{ …}．
【解答】解：（1）正数集合：{+8.5，0.3，12，，…}：
（2）整数集合：{0，12，﹣9，﹣2…}：
（3）负分数集合：{，﹣3.4，﹣1.2…}．
故答案为：（1）+8.5，0.3，12，；（2）0，12，﹣9，﹣2；（3），﹣3.4，﹣1.2．
3数轴
数轴
数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．
原点是数轴的基准点．
正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
数轴的画法
画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
利用数轴比较有理数的大小
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
【例题精选】
例1(2023秋•仁寿县期末）已知a+b＜0，且b＜0＜a，则数a、b在数轴上距离原点较近的是（ ）
A．aB．b
C．a、b一样远近D．无法判断
分析：根据已知条件判断出a，b的符号及绝对值的大小即可．
【解答】解：∵a+b＜0，且b＜0＜a，
∴|a|＜|b|，
∴数a在数轴上距离原点较近，
故选：A．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键．
例2(2023秋•思明区校级月考）一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（ ）
A．1969B．1968C．﹣1969D．﹣1968
分析：根据移动的规律，列方程求解即可．
【解答】解：设P0所表示的数是a，则a﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝2019，
即：a+（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣99+100）＝2019．
a+50＝2019，
解得：a＝1969．
点P0表示的数是1969．
故选：A．
【点评】考查数轴表示数的意义，利用移动规律列出方程是解决问题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•潢川县期中）如图数轴上一个单位长度表示，点A离原点4个单位长度，则点A表示的数是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．﹣0.5
【解答】解：OA＝×4＝，
点A在原点的左侧，
因此点A所表示的数为：﹣
故选：A．
2．(2023秋•辛集市期末）点M表示的有理数是﹣1，点M在数轴上移动5个单位长度后得到点N，则点N表示的有理数是__________．
【解答】解：﹣1﹣5＝﹣6，
或﹣1+5＝4．
故点N表示的有理数是﹣6或4．
故答案为：﹣6或4．
3．(2023秋•阳信县期末）数轴上表示﹣4.5与2.5之间的所有整数之和是_______．
【解答】解：如图所示：
，
数轴上表示﹣4.5与2.5之间的所有整数为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
故符合题意的所有整数之和是：﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2＝﹣7．
故答案为：﹣7．
4相反数
相反数
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
一般地，与互为相反数，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是．
特别地，的相反数是．
相反数是成对出现的．
相反数的几何意义：
互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
多重符号的化简
一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号
【例题精选】
例1．(2023秋•襄汾县期末）数轴上A点表示﹣3，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是__________．
分析：根据相反数的定义和到点A的距离是2的点的概念，求得点B表示的数为﹣1或﹣5，则点C表示的数应该是1或5．
【解答】解：∵点B到点A的距离是2，∴点B表示的数为﹣1或﹣5，
∵B、C两点表示的数互为相反数，∴点C表示的数应该是1或5．
故答案为1或5．
【点评】本题考查了数轴的有关概念以及相反数的定义．
例2．(2023秋•荔湾区期末）代数式3x﹣8与2互为相反数，则x＝________．
分析：让两个数相加得0列式求值即可．
【解答】解：∵代数式3x﹣8与2互为相反数，
∴3x﹣8+2＝0，
解得x＝2．
【点评】用到的知识点为：互为相反数的两个数的和为0．
【随堂练习】
1．(2023•皇姑区二模）如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）
A．+a和﹣（﹣a）互为相反数B．+a和﹣a一定不相等
C．﹣a一定是负数D．﹣（+a）和+（﹣a）一定相等
【解答】解：A、+a和﹣（﹣a）互为相反数；错误，二者相等；
B、+a和﹣a一定不相等；错误，当a＝0时二者相等；
C、﹣a一定是负数；错误，当a＝0时不符合；
D、﹣（+a）和+（﹣a）一定相等；正确．
故选：D．
2．(2023春•嘉定区期末）如果两个数a与b的是互为相反数，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．a＝bB．a＝C．a+b＝1D．a＝﹣b
【解答】解：∵a与b的是互为相反数，
∴a+b＝0，
∴a＝﹣b．
故选：D．
3．(2023秋•新宾县期末）如果a的相反数是2，那么（a+1）2019的值为________．
【解答】解：∵a的相反数是2，
∴a＝﹣2，
∴（a+1）2019＝﹣1．
故答案为：﹣1．
5绝对值
绝对值
绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．
即：
有理数的比较大小
两个负数，绝对值大的反而小．
正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
【例题精选】
例1(2023秋•广安期末）若|m﹣n|＝n﹣m，且|m|＝4，|n|＝3，则m+n＝_______．
分析：根据绝对值的意义得到m＝±4，n＝±3，且n＞m，则n＝3，n＝﹣4或n＝﹣3，m＝﹣4，然后分别代入m+n中计算即可．
【解答】解：∵|m|＝4，|n|＝3，
∴m＝±4，n＝±3，
而|m﹣n|＝n﹣m，
∴n＞m，
∴n＝3，m＝﹣4或n＝﹣3，m＝﹣4，
∴m+n＝3+（﹣4）＝﹣1；或m+n＝﹣3+（﹣4）＝﹣7．
故答案为﹣1或﹣7．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
例2．(2023秋•和平区校级月考）已知a，b，c，x为实数，且c＜a＜b，代数式|x﹣|+|x﹣|+|x﹣|的最小值是（ ）
A．B．C．D．
分析：由已知可得a+b＞b+c＞a+c，则当x＝时，|x﹣|+|x﹣|+|x﹣|的最小值．
【解答】解：∵c＜a＜b，
∴a+b＞b+c＞a+c，
∴当x＝时，|x﹣|+|x﹣|+|x﹣|的最小值，
即|x﹣|+|x﹣|+|x﹣|＝+＝，
故选：C．
【点评】本题考查绝对值的意义；熟练掌握绝对值的几何意义，利用不等式和数轴解题是关键．
【随堂练习】
1.(2023秋•无棣县期末）如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）

A．pB．qC．mD．n
【解答】解：∵n+q＝0，
∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，
∴绝对值最小的点M表示的数m，
故选：C．
2．(2023秋•渝中区校级期中）已知4﹣|5﹣b|﹣|a+2|＝|4+a|+|b﹣3|，则ab的最大值是（ ）
A．﹣12B．20C．﹣20D．﹣6
【解答】解：4﹣|5﹣b|﹣|a+2|＝|4+a|+|b﹣3|即为4＝|5﹣b|+|a+2|+|4+a|+|b﹣3|，
由绝对值不等式的性质可得：|a+2|+|a+4|≥2，|5﹣b|+|b﹣3|≥2，
∴﹣4≤a≤﹣2，3≤b≤5，
∴ab的最大值为﹣6，
故选：D．
综合练习
一．选择题
1．若数轴上表示数﹣3和1的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【解答】解：1﹣（﹣3）＝4
故选：D．
2．如果实数a满足|a|＝3，且a＜0，那么a的值为（ ）
A．±3B．1C．3D．﹣3
【解答】解：∵|a|＝3，且a＜0，
∴a＝﹣3．
故选：D．
3．下列各对数中互为相反数的是（ ）
A．﹣（+3）和+（﹣3）B．+（﹣3）和+|﹣3|
C．﹣（﹣3）和+|﹣3|D．+（﹣3）和﹣|+3|
【解答】解：A、﹣（+3）＝﹣3和+（﹣3）＝﹣3，不是相反数，故此选项错误；
B、+（﹣3）＝﹣3和+|﹣3|＝3，是相反数，符合题意；
C、﹣（﹣3）＝3和+|﹣3|＝3，不是相反数，故此选项错误；
D、+（﹣3）＝﹣3和﹣|+3|＝﹣3，不是相反数，故此选项错误；
故选：B．
4．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（ ）
A．a＜b＜﹣b＜﹣aB．a＜﹣b＜﹣a＜bC．a﹣b＞0D．﹣a+b＞0
【解答】解：观察图形可知a＜0＜b，且|a|＞|b|，
∴a＜﹣b＜b＜﹣a
∴答案A、B都错误；
又∵a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，b﹣a＞0
故选：D．
5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣2|a|的结果为（ ）
A．﹣a﹣bB．3a﹣bC．a+bD．2a﹣b
【解答】解：根据题意得，a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|﹣2|a|＝b﹣a+2a＝a+b．
故选：C．
6．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0B．﹣a+b＞0C．ab＜0D．﹣a﹣b＞0
【解答】解：由图可知b＜a＜0，|b|＞|a|，
所以a+b＜0，﹣a+b＜0，ab＞0，﹣a﹣b＞0，
故选：D．
二．填空题
7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|＝ ﹣a ．
【解答】解：由题可得a﹣c＜0，c﹣b＞0，b＜0，
∴|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|
＝﹣a+c﹣c+b﹣b
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
三．解答题
8．快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3
（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？
（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？
【解答】解：（1）由题意得：
+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3
＝﹣9+8
＝﹣1
答：王叔叔送完最后一个快递时，在出发点的南方，距离出发点是1km．
（2）设王叔叔总的行驶路程为S，则S＝|+3|+|﹣4|+|+2|+|+3|+|﹣1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣1|＝18
∵每行驶1千米耗油0.2升，
∴耗油量为18×0.2＝3.6
答：王叔叔这天送快递（含返回）共耗油3.6升．